Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
7
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
403.01 Кб
Скачать

Дисципліна: Радіоавтоматика. Лекція 1.2.

1

Лекція 1.2.

Перетворення Лапласа.

1.Основи теорії перетворення Лапласа.

2.Передавальна функція.

1. Основи теорії перетворення Лапласа.

Припустимо ми маємо елемент автоматичної системи і на вхід подаємо якусь величину. Нас цікавить який зв'язок існує між вхідною і вихідною діями:

Такий зв'язок може бути заданий диференційним рівнянням,

передавальною функцією, частотною характеристикою:

a

 

dn Xвх

 

a

 

 

dn 1Xвх

... a

 

Xвх b

dm Xвих

... b Xвих

 

 

dtn

 

 

 

 

dtn 1

 

 

dtm

 

n

 

 

 

n 1

 

 

 

0

m

0

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таке рівняння дуже складно розв’язати. В узагальненому випадку це

рівняння можна записати:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

di Xвих

 

m

 

d j Xвих

 

 

 

 

 

ai

 

 

 

 

 

bj

 

 

 

(2)

 

 

 

dt

i

 

 

dt

j

 

 

i 0

 

 

 

 

 

j 0

 

 

 

 

 

 

 

 

Введемо нові величини Хвих(р) і Хвх(р) і запишемо такі інтеграли:

Дисципліна: Радіоавтоматика. Лекція 1.2.

 

2

 

 

 

 

 

Xвих(p) Xвих(t)e pt dt

 

 

 

0

 

(3), де р – нова комплексна змінна → јω d/dt.

 

 

 

Xвх(p) Xвх(t)e pt dt

 

 

 

0

 

 

 

Такі інтеграли називаються інтегралами Лапласа.

 

Підставивши (3) в (2) отримаємо:

 

an pn Xвих an 1 pn 1Xвих ... a0 Xвих

(4)

b

pm Xвх b

pm 1Xвх ... b Xвх

m

m 1

 

0

 

Перехід від (1) до (4) називається перетворенням Лапласа.

L

Якщо ми Xвв(t) X(p) то ми маємо пряме перетворення Лапласа яке

позначається L. А вираз X(p) L 1 Xвв(t) – зворотнє претворення Лапласа, яке позначається L-1.

Запишемо властивості, які слідують із перетворення Лапласа:

1. Операція диференціювання Хвх і Хвих відповідає множенню оригіналу на комплексну частоту:

dx

L dt pX(p)

2. Інтегрування відповідає:

L x(t)dt X(p)

p

3. Перетворення Лапласа від суми оригіналів рівне сумі зображень:

n

L i 1

 

n

xi (t)

Xi (p)

 

i 1

4. Константу можна виносити за символ перетворення:

L aX(t) aX(p)

В результаті можна сказати, що в інженерній практиці важко вирішити рівняння (1). Перетворення Лапласа веде до рішення простих алгебраїчних рівнянь.

Дисципліна: Радіоавтоматика. Лекція 1.2.

3

Приклади типових перетворень:

оригінал

зображення

X(t)

X(p)

X(t - )

e- pX(p)

e t X(t)

X(p )

1(t)

1

p

(t)

1

 

sin

1

(p2 2 )

 

 

 

Дисципліна: Радіоавтоматика. Лекція 1.2.

4

2. Передавальна функція

Визначення: завдяки перетворенням Лапласа можна ввести поняття передавальної функції, яка характеризує динамічні властивості системи. З

допомогою динамічної передавальної функції розрахунок АСР спрощується.

Визначимо передавальну функцію:

Xвих

b pm b

m 1

pm 1

... b

 

Q(p)

 

 

m

 

0

 

 

 

an pn an 1 pn 1

... a0

 

Хвх

 

P(p)

Xвих(р)

W(p) Хвх(р) (7) це відношення визначає передавальну функцію і

звідси очевидно, що:

Хвих(р) W(p)Xвх(p)

Часто ставиться завдання визначити вид передавальної функції. Це завдання аналізу.

Приклад: Визначити передавальну функцію даної ланки:

1)

W(p)

Xвих(р)

 

U2

 

 

R2

R R

 

 

1

 

 

R R

 

 

 

Хвх(р) U

1

 

1

2

2

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

W(p) 1 k

2

Визначити передавальну функцію ланок:

2)

Дисципліна: Радіоавтоматика. Лекція 1.2.

5

1

 

 

 

Z1

 

 

 

1

 

 

 

1

W(p)

 

 

 

 

c

 

 

 

W(p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

Z

 

 

 

 

1

 

1 Rc

1 RC

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

c

 

 

 

W(p)

1

 

 

 

 

1 pT

 

3) Знайти самостійно:

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Радіоавтоматика