Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Algebra_i_geometriya / ІІ модуль / NE_2.1 / опорний конспект многочлени.doc
Скачиваний:
242
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
3.06 Mб
Скачать

Раціональні дроби

Хоча основним завданням даного розділу є вивчення многочленів (цілих раціональних функцій), у даному параграфі розглянемо питання, що стосується дробово – раціональних функцій. Це питання має важливе значення для математичного аналізу (зокрема, для інтегрального числення), але за своїм математичним змістом воно алгебраїчне і безпосередньо пов’язане з розкладанням многочленів на незвідні множники .

Означення 1. Раціональним дробом (або дробово – раціональною функцією) над полем називається функція вигляду

,

де - деякі многочлени над полем;.

Означення 2. Два раціональні дроби таназиваються рівними:

=, якщо.

Звідси маємо, що кожен раціональний дріб можна домножити (скоротити) на довільний ненульовий спільний множник:

=,.

Означення 3. Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь< степеняі відповідно, неправильним, якщо степіньстепеня.

Означення 4. Раціональний дріб називається нескоротнім, якщо НСД. У протилежному випадку дріб називається скоротним.

Наприклад

а) - неправильні дроби

- нескоротній дріб; -скоротній дріб.

б) -правильний нескоротній дріб.

в) -неправильний нескоротній дріб.

Теорема 1. Кожен раціональний дріб дорівнює деякому нескоротному дробу, який визначається єдиним чином з точністю до спільного для чисельника та знаменника ненульового множника нульового степеня:

=,

де НСД,.

Доведення: Нехай - даний раціональний дріб, у якого НСД.Тоді чисельник та знаменник цього дробу можна скоротити на , після чого отримаємо рівний йому нескоротний дріб. Далі, якщо два нескоротні дроби рівні,(*) то із того, що тамаємо, що:

а) ;

б) . Аналогічно, враховуючи (*), маємо:.

Отже, теорему доведено.

Над раціональними дробами можна виконувати арифметичні дії за тими ж законами, що і над звичайними числовими дробами.

  1. Додавання (віднімання):

при

  1. Множення :

при

  1. Ділення:

при

Виконується при цьому властивості асоціативності та комунікативності дій додавання та віднімання; існують обернені елементи при дії додавання (протилежний дріб) та при дії множення (обернений дріб до ненульового дробу).

Отже, множина всіх раціональних дробів відносно дій додавання та множення дробів утворює поле, яке називають полем раціональних дробів.

Теорема 2: Довільний раціональний дріб можна подати у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дробу. Причому таке зображення єдине.

Доведення: Нехай - єдиний раціональний дріб. Поділившина, матимемо:де степінь< степеня .Тоді =(1), де многочлен, - правильний раціональний дріб.

Покажемо, що таке зображення (1) єдине. Припустимо, що має місце ще одна рівність: (1´) , де степінь< степеня , - многочлен.

Із (1) та (1´), прирівнюючи ліві частини, маємо:

Зліва в останній рівності многочлен, а справа – раціональний дріб, який є правильним (різниця правильних дробів). Тому вони рівні тоді і тільки тоді, коли є нульовими:

зображення (1) – єдине.

Отже, теорему доведено.

Нагадуємо (§ 4.8), що незвідними у полі є многочлени першого степеня вигляду, та многочлени другого степеня вигляду.

Означення 6. Правильний раціональний дріб називається простим, елементарним якщо:а) степінь < степеня ;

б) - незвідний многочлен.

Приклади.

1. - не простий;

2. - простий;

3. - не простий;

4. - простий.

Теорема 3 (основна теорема про раціональні дроби).

Довільний правильний раціональний дріб розкладається в суму простих дробів.

Доведення. Нехай - заданий правильний раціональний дріб (,степінь< степеня ).

Доведення теореми складається з кількох кроків.

І). Нехай знаменник раціонального дробу розкладається на добуток взаємно простих многочленів:

Тобто

(2)

Покажемо, що тоді дріб можна розкласти на суму дробів, знаменниками яких є многочлени та .

Оскільки , тотакі многочлени, що

(3)

Поділимо тепер на :

де степінь < степеня . Підставимо останню рівність у (3):

(3´)

У останній рівності маємо, що степінь < степеня , степінь< степеня .

Крім того, степінь < степеня (4)

бо із (3´) :

та степінь < степеня ,

степінь < степеня .

А тому, із (4) маємо, що степінь < степеня . Підставимо (3´) у (2):

,

причому степінь < степеня ; степінь < степеня .

Отже, дроби та- правильні.

Висновок: якщо знаменник правильного раціонального дробу розкладається на добуток взаємно простих многочленів , то такий дріб розкладається на суму правильних дробів, знаменниками яких є многочлени та .

Якщо отриманих правильних дробів знову розкладаються на добуток взаємно простих многочленів, то кожен з цих дробів розкладається на суму правильних дробів і т. д..

Цей процес продовжується до тих пір, поки не прийдемо до дробів, знаменники яких є незвідними многочленами полі(тобто вже не розкладається на взаємно прості множники) або степені цих незвідних многочленів. Тобто знаменники дробів матимуть вигляд, де- незвідний у полімногочлен.

ІІ). Нехай тепер у правильному раціональному дробі знаменникрозкладається на добуток незвіднихполімногочленів (Згідно з п.4.8.1, такий розклад єдиний з точністю до порядку запису співмножників):

,

де - незвідні многочлени над полем.

Тоді, враховуючи першу частину доведення цієї теореми маємо:

, (5)

де степінь < степеня , тобто всі доданки у (5) є правильними, але не простими дробами.

ІІІ). Розглянемо тепер правильний дріб , де- незвідний у полімногочлен.

З´ясуємо, як саме цей правильний дріб розкласти на суму простих дробів. Очевидно, що степінь < степеня .

Поділимо на:

, але степінь степеня(6)

Ділимо потім на:

але степінь степеня, та степіньстепеняі т. д. (7)

Нарешті можна отримати:

степінь степеня, та степіньстепеня. (8)

Підставляючи ці рівності одна в одну знизу вверх, отримаємо:

.

Поділимо тепер обидві частини цієї рівності на . Маємо:

,

де степінь < степеня

степінь < степеня , тобто кожен з доданків – простий дріб.

Висновок: кожен правильний дріб вигляду , де- незвідний у полімногочлен,, можна подати у вигляді простих дробів:

, (степінь < степеня ).

Виконуючи аналогічні розклади для кожного з дробів у (5), отримуємо твердження теореми.

Теорему доведено.

Нагадуємо (див. § 4.8, теореми 2 і 3), що в полі дійсних чисел незвідними є многочлени 1 – го степеня виглядута многочлени 2 – го степеня вигляду.

Тому, враховуючи основну теорему про раціональні дроби (алгоритм її доведення), можемо сформулювати наступний наслідок:

Наслідок: Нехай - правильний дріб (многочлени з дійсними коефіцієнтами). Нехай- розкладаємо на незвідні множники 1 – го і 2 –го степеня. Тоді,

  • розклад даного добутку на прості дроби. (10)

().

Зауваження 1. У полі комплексних чисел дріброзкладається

лише на прості дроби вигляду

Зауваження 2. У випадку розкладу дробу у полі дійсних чисел(або комплексних чисел) чисел зручно користуватися методом невизначених коефіцієнтів.

Цей метод полягає у наступному.

Дріб записуємо у вигляді (10) з невизначеними (буквенними) коефіцієнтами. Помножуємо потім обидві частини отриманої рівності на. Отримуємо рівність двох многочленів, порівнюємо коефіцієнти біля відповідних степенів змінної.

Приклади:

1). Розкласти на суму простих дробів раціональний дріб.

Отже, .

2).

Коефіцієнт шукаємо як у попередньому прикладі.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.