Корені многочленів.Теорема Безу. Схема Горнера

Означення кореня многочлена

Нехай

, (1)

многочлен п-го степеня

де ,.

Якщо деяке число, то число

( яке отримане заміною у виразі (1) змінної х числом с і послідовним виконанням всіх дій), називається значення многочленна при .

Властивості.

1. Якщо , то

2. Якщо

то

3. Якщо , то .

Означ. Якщо , то число с називається коренем многочленна .

Зокрема, якщо , то будь-яке число є його коренем.

Якщо ж многочлен нульового степеня, відмінний від нульового многочленна, то не має коренів.

Теорема Безу

Розглянемо окремий випадок ділення многочленів – ділення довільного многочленна на лінійний двочлен .

Із теореми про ділення многочленів з остачею маємо:

де або , або константа.

Наступне твердження дозволяє знайти цю остачу не виконуючи самого ділення, у випадку, коли виконується ділення на многочлена .

Теорема Безу. Остача від ділення многочлена на лінійний двочлен дорівнює значенню цього многочленна при .

Доведення. Рівність

має місце для всіх значень змінної х. підставимо у цю рівність :

Звідси випливає наступний важливий

Наслідок. Число с буде коренем многочлена т.і.т.т., коли .

Доведення. – корінь многочлена у рівності

.

Висновок. Знаходження коренів многочлена рівносильне значенню його лінійних дільників (дільників першого степеня).

Схема Горнера

Розглянемо один із методів ділення многочлена на лінійний двочлен , більш простий ніж алгоритм ділення многочленів.

Нехай задано многочлен

,,.

Поділимо многочлен на (х-с):

(2)

Частка – це многочлен (п-1)-го степення:

Розпишемо тепер умову (2) детальніше:

Прирівняємо коефіцієнти біля відповідних степенів змінної х:

(3)

Формули (3) називають схемою Горнера. Коефіцієнти отримується множенням попереднього коефіцієнтанас та додаванням відповідного коефіцієнта .

Тобто, коефіцієнти частки та остачу можна послідовно отримати за допомогою однотипних обчислень, які зручно виписувати у вигляді таблиці.

				…
				…

Приклад:

Поділити на

	3	0	0	-4	2	-1
-1	3	-3	3	-7	9	-10

Розклад многочлена за стененями

Як було зазначено, за схемою Горнера зручно многократно ділити многочлена на лінійний двочлен . За допомогою такого ділення легко отримати розклад довільного многочлена за степенями , який широко застосовується в алгебрі та аналізі.

Нехай – заданий многочлен п-го степеня над полем С (або Р); .

Ділення на дає

(4)

де многочлен (п-1)-го степеня;

числа з С.

Якщо , то аналогічно можна отримати

(5)

Степінь кожного з многочленів щоразу зменшується рівно на одиницю. Тому

Позначимо . Рухаючись у формулах (5) зверху вниз, виключаючи з них многочлени , маємо:

(6)

Отже, многочлен з комплексними коефіцієнтами ми подали як многочлен того ж степеня знову з комплексними коефіцієнтами, але вже від змінної .

При цьому коефіцієнти однозначно визначається через та коефіцієнти многочлена . А саме, це остача від ділення на ; це остача від ділення першої частки на .

Що ж до – то це остання частка в процесі послідовного ділення.

При застосуванні схеми Горнера для такого послідовного ділення не потрібно щоразу наново виписувати коефіцієнти часток: закінчення одного з кроків ділення є одразу початком наступного.

Приклад: Розкласти многочлен за степенями двочлена.

Розв’язання: Складаємо схему Горнера:

	1	0		-3		1		-2		1
1	1	1		-2		-1		-3		-2
1	1	2		0		-1		-4
1	1	3		3		2
1	1	4		7
1	1	5
1	1

Похідна від многочленна.

Формула Тейлора.

З курсу математичного аналізу відомо, що кожен многочлен п-го степення з дійсними коефіцієнтами

заданий на множині всіх дійсних чисел, має в кожній точці похідну , яка теж є многочлен (п-1)-го степення:

У алгебрі розглядають 2-гу, 3-тю, …, к-ту похідну від многочлена .

і т.д.

Якщо многочлен має степінь п, то при; .

(старший коефіцієнт многочлена ).

За допомогою похідних легко виразити коефіцієнти розкладу многочлена за степенями

Теорема Тейлора. Для довільного многочлена і довільного числа справедлива формула

(7)

Доведення. В курсі математичного аналізу. (без доведення).

Формула (7) це розклад многочлена в ряд Тейлора.

Порівнюючи (6) та (7), маємо, що

Приклад. Дивись попередній приклад – розклад за степенями.

Маємо:

– значення многочлена та всіх його похідних в точці .

Кратні корені.

Нагадаємо, що число є коренем многочлена т.і.т.т., коли

.

З’ясуємо, чи і т.д.

Очевидно, що коли , то , якщо .

Означ. Число називають- кратним коренем,, многочлена , якщо:

і

Якщо , то коріньназивають простим. (однократним коренем).

Якщо число є- кратним коренем многочлена , , то можна записати:

причому

Тоерема (про кратні корені)

Якщо число є- кратним коренем многочлена , , то це число- кратним коренем його першої похідної (якщо ).

Доведення. Нехай многочлен щонайменше другого степеня, і нехай - - кратний корінь многочлена .

і

де

Обчислимо тепер похідну многочлена :

Обчислимо

Отже, та твердження теореми.

Зауваження. Якщо , то не буде коренем похідної .

Наслідок. - кратний корінь многочлена буде - кратним коренем йогоs-тої похідної .

На практиці, коли потрібно з’ясувати кратність кореня заданого многочлена, зручно користуватись схемою Горнера і формулою Тейлора.

Приклад. Визначити кратність кореня для многочлена

	1	6	11	2		-12		8
-2	1	4	3	-4		-4
-2	1	2	-1	-2
-2	1	0	-1
-2	1	-2

кратність кореня для многочлена .

Теорема. Для того, щоб був коренем кратність многочлена , необхідно і досить, щоб у точці с

(без доведення).