Теорема Штурма. Кількість дійсних коренів многочлена - ними коефіцієнтами.

Знання кількості та розташування дійсних коренів многочлена є важливою передумовою застосування багатьох методів чисельного розв’язування рівнянь (метод спроб, ітераційні методи – хорд (січних), дотичних і т. д.), детальніші які ви вивчатимете в курсі «Методів обчислень» на 4 курсі.

В окремих випадках деякі відомості про кількість -них коренів можна отримати за допомогою досить поверхневого аналізу. А саме, із наслідку ОТА про многочлена з -ними коефіцієнтами маємо, що кількість - них коренів можна з - ними коефіцієнтами дорівнює степеню многочлена, або на парне число менша.

Іноді, при знаходженні меж коренів многочлена з’ясовується, що цей многочлена не має додатних або від’ємних коренів.

Але для повної відповіді на питання про кількість дійсних коренів многочлена з -ними коефіцієнтами (або про кількість коренів на деякому відрізку ) потрібне більш глибоке дослідження, яке ми проведемо в цьому параграфі.

Існує багато методів для знаходження точної кількості коренів на відрізку , проте всі вони досить громіздкі і складні. Найзручніший – метод Штурма.

Перш ніж формулювати твердження, зробимо деякі зауваження.

1. Будемо розглядати кількість змін знаків (кількість знакозмін) в заданій впорядкованій скінченній послідовності дійсних чисел.

розумінні під цим кількість пар сусідніх чисел цієї послідовності, які мають протилежні знаки.

Наприклад: знакозмін.

знакозмін.

Зауваження 1. Якщо хоч одне (чи кілька) з чисел рівні нулю, то при підрахунку кількості знакозмін їх до уваги не беруть.

2.Будемо вважати, що многочлена , який будемо розглядати, не має кратних коренів.

Зауваження 2. Якщо має кратні корені, то всі обчислення можна проводити для многочленів

,

корені якого - ті ж, що й у , але вже всі прості.

3.

Теорема 1.(Декарт) – про кількість додатних коренів множина з -ними коефіцієнтами.

Кількість додатних коренів многочлена

з дійсними коефіцієнтами дорівнює або на парне число менше від кількості знакозмін у послідовності його коефіцієнтів

(без доведення)

Приклад.1) Многочлен має послідовність коефіцієнтів

3 0 0 -5 3

Кількість знакозмін = 2 кількість додатних коренів множинарівна 2 або 0.

2)

1 3 -1 -1 1 знакозміннамножинточно має 1 додатний корінь.

3)

1 1 0 1 1 1 0 знакозмін

- не має жодного додатного кореня.

Зауваження 3.Правило Декарта (теорема 1) можна застосувати і для оцінки кількості від’ємних коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами.

Для цього в многочлені

потрібно зробити заміну . Тоді кількість від’ємних коренів множинадорівнює кількості додатних коренів множина, яку можна оцінити за правилом Декарта.

Зауваження 4. Коли наперед відомо, що всі корені заданого множина дійсні, то правило Декарта дає точну відповідь про кількість дійсних коренів. А саме: кількість додатних коренів дорівнює числу знакозмін послідовності коефіцієнтів множина , а кількість від’ємних коренів – кількості знакозмін в послідовності коефіцієнтів множина.

На жаль, у більшості випадків наперед не відомо, чи всі корені множина дійсні. У зв’язку з цим правило Декарта, хоч і зручне з точки зору простоти застосування, не дає повної відповіді на питання про кількість дійсних коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами та їх розподіл між додатною та від’ємною півосями.