Відокремлення коренів методом Штурма.

Поставимо завдання: З’ясувати, скільки дійсних коренів множина з дійсними коефіцієнтами знаходження в довільному наперед заданому інтервалі , .

Багато зусиль доклали математики 17-19 ст., щоб розв’язати питання про розміщення (дійсних) коренів множина. Його вивчали такі видатні математики, як Ролля, Декарт, Маклорен, Фур’є та інші. Лише у 1829 р. французький математик Ж.Ш.Штурм (1803-1855) до кінця розв’язав проблему відокремлених коренів, довівши свою відому теорему. Результат Штурма, опубліковано у 1835 р., одразу отримав загальне визначення ті схвалення. Цікаво, що сам Штурм у своїх лекціях подавав його зі словами «Ось теорема, ім’я якої я маю честь носити».

Незабаром Коші (в 1831 р.) узагальнив теорему Штурма на випадок комплексних коренів.

Нехай задано многочлен , який не має кратних коренів.

Побудуємо для деяку послідовність многочленів, які пов’язані з множником - т. зв. Систему многочленів Штурма (або ряд Штурма), який відіграє основну роль в методі Штурма.

Шукаємо похіднута будуємо длятаалгоритм, подібний до алгоритму Евкліда. Відмінність – всі остачі беремо з протилежними знаками, замінюючи їх множниками.

Маємо:

,

,

,

....................................... (1)

,

…………………………

,

.

Оскільки НСД =1 (не має кратних коренів, за припущенням), то- це і є остання ненульова остача при такому діленні (1).

Означення 1. Послідовність многочленів

,,,,…,, (2) називається рядом многочленів Штурма (системою).

Зауваження 5.Оскільки в методі Штурма важливим є не самі функції ряду Штурмана чи їх значення, а лише знаки числових значень цих функцій, то функція ряду (2) можна будувати з точністю до сталого додатного множника, тобто виконувати ділення з остачею, помножувати на сталі додатні множники.

Означення 2.Покладемо в ряді функцій , де- деяке число. Тоді скінченна послідовність многочленів (2) перетворюється на послідовність чисел

,,,,…,,

Кількість знакозмін у цій послідовності чисел називається кількістю знакозмін у ряді Штурма (2) в точці і позначають.

Розглянемо основні властивості ряду многочленів Штурма (2) .

Лема 1.Жодні два сусідні многочлена ряду Штурма (2) не мають спільних коренів.

Доведення. (від супротивного): Нехай - спільний корінь многочлена та, тобто

.

Тоді із (1) бачимо, що . Аналогічно переконуємося, що . Але рівністьозначає, що множникмає кратний корінь , а за припущенням, не має кратних коренів. Суперечність. Лему доведено.

Лема 2. Якщо є коренем однієї з проміжних функцій ряду Штурма (2), то значення сусідніх з нею функцій ряду Штурма мають у цій точці протилежні знаки.

Доведення. Нехай . Тоді, згідно з лемою 1,

та .

Із (1) маємо , де , що й доводить лему (вони однакові, але мають протилежні знаки).

Зауваження 6. Оскільки кожна функція в ряді Штурма (2)- це многочлена, а тому неперервна на всій дійсні осі, отже вона може змінити знак лише при проходженні аргумента через її корінь. Отже, якщо, зростаючи, не проходить через корінь жодної з функцій ряду Штурма (2), то знаки всіх многочленів цього ряду, а тому й кількість знакозмін у ньому залишається незмінними.

Розглянемо тепер як впливатиме на кількість знакозмін в ряді Штурма проходить через корінь однієї з функцій цього ряду.

Лема 3. Якщо , зростаючи, проходить через корінь будь-якої проміжної функції ряду Штурмана, але не проходить через корінь многочлена, то число знакозмін у ряді Штурмана при цьому не змінюється.

Доведення. Нехай - корінь довільного множника . Зауважимо одразу, що, бота- за умовою.

При та(лема 1) таімають протилежні знаки (лема 2).

В силу неперервності многочленів ,та, можна підібрати такий окіл точки, де функціїтазберігають свій знак.

Нехай це буде окіл .

Дослідимо кількість знакозмін у ряді трьох функцій ,,, якщо, зростаючи змінюється в межах цього околу.

Схематично зобразимо можливі варіанти:

	Знак	Знак	Знак
	-		+	1
	-	0	+	1
	-		+	1

або

	Знак	Знак	Знак
	+		-	1
	+	0	-	1
	+		-	1

У цих табличках не заповнено місце для знаків в околі точки, бо вони не впливають на кількість знакозмін (які би знаки там не стояли, в кожному рядку кількість знакозмін рівна 1).

Отже, і при , і прикількість знакозмін у системі многочленів,,однакова.

Щодо решти функцій ряду Штурма, то тут можливі лише два випадки:

а)або всі ці функції ряду Штурма не перетворюються в нулі при і тому зберігають свої знаки в досить малому околі точки;

б)або деяка з проміжків функцій(але не чи) перетворюється в нуль при, але тоді для неї та двох її сусідніх многочленів кількість знакозмін залишається однаковою, як і для трьох функцій, розглянутих вище.

Отже, в цілому, кількість знакозмін залишається сталою для всього ряду Штурмана. Лема 3 доведена.

Лема 4. Якщо , зростаючи, проходить через корінь многочлена, то кількість знакозмін в ряді Штурма зменшується на одиницю.

Доведення. Нехай - корінь довільного множника . Тоді

, але ,

бо множник не має кратних коренів (за умовою).

Виберемо так, щоб воколі точкифункціїне змінювала знак (окіл).

Можливі два випадки:

1) в цьому околі ().

- зростаюча.

Тоді - зростаюча в околі точки.

Отже, при

при .

Маємо табличку знаків:

	Знак	Знак
	-	+	1
	0	+	0
	+	+	0

2) в околі. Тоді- спадна. Тому отримуємо таку таблицю знаків:

	Знак	Знак
	+	-	1
	0	-	0
	-	-	0

В обох випадках кількість знакозмін у цій частині ряду Штурма зменшується на одиницю, Щодо інших функцій ряду Штурма, то на підставі леми 3 для них кількість знакозмін не змінюється, навіть якщо проходить при цьому через корені деяких з них. Лема 4 доведена.

Леми 3 і 4 показують, що на кількість знакозмін у ряді Штурма впливає лише проходження через корені многочлена. Отже, зміна цього числа на певному проміжку може характеризувати кількість дійсних коренів множникана цьому проміжку.

Теорема 2.(Штурма). Якщо ()- довіль дійсні числа, які не є коренями множника , то кількістьдійсних коренів многочленана інтервалі дорівнює

, (3)

де - кількість знакозмін у ряді Штурма відповідно в точках .

Доведення. Якщо , зростаючи віддоне пройде через жоден корінь множника, то, згідно з лемою 3,

.

Якщо ж , зростаючи, пройде черезкоренів множника, то проходженні через кожен корінь кількість знакозмін зменшується на 1 (лема 4). А тому числобуде наодиниць більше, ніж, тобто

.

Теорему доведено.

Зауваження 1. В теоремі 2 зазначено, що іне є коренями множника. Якщо ж(або) є коренем, то питання про розміщення цього кореня розв’язалася автоматично, а для визначення положення інших коренів слід змінити межі вибраного інтервалу, або розглядати многочлена, який отримаємо діленням на.

Зауваження 2. Якщо з проміжних функцій ряду Штурма не має дійсних коренів, то можна не шукати наступних многочленів ряду Штурма і теорему Штурма застосовувати до укороченого ряду

Дійсно, кількість знакозмін у «залишковому» ряді Штурма

(*)

є сталою (бо може пройти лише через коріньпроміжної функції ряду (*), що за лемою 3 не впливає на кількість знакозмін у цьому ряді). А тому різниця при такому «укороченні» не зміниться.

Приклад. Знайти кількість додатних та від´ємних коренів многочлена

. Відокремити корені.

59