Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Algebra_i_geometriya / ІІ модуль / NE_2.1 / опорний конспект многочлени.doc
Скачиваний:
242
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
3.06 Mб
Скачать

Знаходження раціональних коренів многочленів з раціональними (цілими) коефіцієнтами.

Перейдемо тепер до вивчення питання про елементарні способи знаходження раціональних коренів многочленів (рівнянь) з раціональними коефіцієнтами.

Нехай задано многочлен

де

Коефіцієнти можуть бути, як цілими, так і дробовими. Якщо всі дробові коефіцієнти звести до спільного знаменника, то після домножування многочленана цей спільний знаменник отримаємо многочлен з цілими коефіцієнтами, корені якого збігаються з коренями многочлена:

(1)

А тому обмежемося розглядом многочленна з цілими коефіцієнтами.

Зауваження: Якщо то в полімногочленможе мати як цілі, так і дробові корені.

Теорема 6: Якщо нескоротній дріб є раціональними коренями многочленназ цілими коефіцієнтами (1), то

є дільником вільного члена ;

є дільником старшого коефіцієнта .

Доведення: Нехай - корінь многочлена, тобто. Оскількинескоротній дріб, то. Підставимо цей корінь в (1):

,

Звідси маємо:

;

.

Праві та ліві частини обох виразів – цілі числа.

А тому

,

але

,

що і треба було довести.

Наслідок 1. Цілий корінь многчлена з цілими коефіцієнтами повинен бути дільником вільного члена.

- корінь.

Наслідок 2. Многочлен зі старшими коефіцієнтамита цілими коефіцієнтамиу поліможе мати тільки цілі корені ( інші корені – або ірраціональні, або комплексні ).

Оскільки дільників вільного члена та й старшого коефіцієнта може бути дуже багато. Тому щоб не перебирати всі дроби на предмет кореня, варто мати ознаку, за якою можна відкидати ті числа, які не можуть бути коренями.

Побудуємо спочатку таку ознаку для цілих коренів.

Теорема 7: Для того, щоб ціле число було коренем многочленаз цілими коефіцієнтаминеобхідно щоб числа

та (2)

були одночасно цілими.

Доведення:

Обчислимо спочатку та. Якщоабо- корінь многочлена, то понизимо степінь, поділивши його наабовідповідно:

або .

І далі можна розглядати множини або, що не маютькоренем.

Тому в загальному випадку одразу можна вважати, що і. Тоді можна записати:

(3) ,

де - остача від діленняна(теорема Безу), а- многчлен з цілими коефіцієнтами, степеня.

Якщо - корінь, то. Підставимо це в (3):

Аналогічно, можна записати:

(3’) ,

де - многчлен з цілими коефіцієнтами. Оскільки- корінь, то:

Отримали потрібні умови.

Зауваження: Не всі числа, які задовольняють умову (2) будуть коренями рівняння . Тобто (2) – необхідна, але не достатня умова того, що ціле числоє коренем многочленакористуємося, наприклад, схемою Горнера.

Аналогічно доводиться наступна

Теорема 8: Для того, щоб нескоротній дріб був коренем многочлена, необхідно, щоб числа

та

були одночасно цілими.

Доведення: - самостійно.

Зауваження. Дробові корені многочлена з цілими коефіцієнтами можна також знайти за допомогою наступного алгоритму.

Нехай Домножимо цей многочлен на:

Зробимо заміну: . Позначимо многочлен: Тоді, де.

Знаходимо цілі корені цього многочлена. Тоді дробові корені многочлена маємо із формули

Але у цьому випадку досить суттєво збільшуються коефіцієнти (особливо, якщо та).

Приклади.

Знайти раціональні корені многчлена:

1.

Даний многочлен у полі може мати лише цілі корені ( бо), які є дільниками вільного члена. (Решта коренів – або іррац., або комплек.).

.

Числа та- одночасно.

Тобто і

Можливі корені: 2; -2; 3; -3. Перевіримо їх за допомогою схеми Горнера:

1

0

-7

-12

6

36

2

1

2

-3

-18

-42

-48

-2

1

-2

-3

-6

18

0

3

1

3

2

-6

-12

0

-3

1

-3

2

-18

-48

0

Отже, - коренііз. Крім того,.

2.

, маємо

;

Шукаємо цілі корені многочленна :

.

та ;та

Можливі корені: ; 2; -4; 6; 8. Перевіримо їх за допомогою схеми Горнера:

1

-6

-2

20

-48

2

1

-4

-10

0

-48

-4

1

-10

38

-132

0

6

1

0

-2

8

0

8

1

8

62

0

Отже, . Цілих коренів:дробові корені:решта ірраціональні або комплексні.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.