Межі дійсних коренів многочленів з дійсними коефіцієнтами.

У попередніх параграфах ми вивчали питання існування та кількості коренів алгебраїчних рівнянь (многочленів). Але, щоб знайти корені рівняння з достатньою точністю, варто знати, як ці корені розташовані на комплексній площині або на дійсній осі.

Зауважимо, що інколи навіть не потрібно знаходити числові значення коренів, а досить з’ясувати лише їх розміщення на площині (кількість дійсних, зокрема додатніх чи від’ємних і.т.д.).Задача для многочленів з - ними коефіцієнтами досить складна і стосується теорії функції- ної змінної. Тому вивчаємо лише цю проблему для многочленів з дійсними коефіцієнтами і для їх дійсних коренів.

Наведемо лише два зауваження, що стосується комплексних коренів многочленів.

Твердження 1. Усі корені многочлена ,, лежать всередині круга з центром у початку координат і радіусом, де.

Доведення. Випливає з однієї частини доведення основної теореми алгебри комплексних чисел (лема про модуль старшого члена).

(без доведення).

Твердження 2. Комплексні корені многочлена з - тими коефіцієнтами розташовані симетрично дійсної вісі.

Доведення. Оскільки - корінь многочлена з- тими коефіцієнтами, то й- теж корінь цього многочленна (див. §4.5, п. 4.5.4). А числа та- симетричні відносно дійсної вісі.

Теорема доведена.

Із наведеного вище твердження 1

Твердження 3. Усі дійсні корені многочленна ,, містяться в інтегралі, де.

Доведення. Дійсно, всі комплексні корені знаходяться у крузі , а тому, якщо серед них є дійсні, то вони повинні попасти в зазначений інтеграл.

Теорема доведена.

Означення 1. Додатне число називається верхньою межею додатних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами, якщо додатний корінь цього многочленна не перевищує:.

Аналогічно, нижньою межею додатних коренів многочлена називається таке додатне числощо кожен додатний корінь многочленане менше цього числа:.

Аналогічно визначають нижню межі від’ємних коренів

Наше завдання – навчитися знаходити всі ці межі.

Враховуючи твердження 3, маємо, що за ВМдк многочлена можна вибрати, наприклад число , де .

Побудуємо тепер допоміжні многочлени:

1.

(1)

2. (2) 3.

(3)

Позначимо: - вмдк ;

- вмдк ;

- вмдк ;

- вмдк .

1. Нехай довільний додатній корінь многочлена:. Тоді- корінь многочлена.

Отже, ;- корінь

Отже, НМдк .(4)

2. Нехай - довільний від’ємний корінь многочлена:. Тодікорінь многочлена.

Звідси маємо, що .

Отже, НМВК (5)

3. Крім того, якщо - довільний від’ємний корінь многочлена, тобто. Тоді

корінь многочлена .

Звідси отримуємо, що .

Отже, Вмвк .(6)

Довели наступне твердження:

Теорема1: Всі додатні корені многочлена з дійсними коефіцієнтами знаходяться в інтервалі, а всі від’ємні – в інтервалі, (де числавизначені вище).

Доведення вище.

Зауваження 1. Якщо всі коефіцієнти многочлена додатні, тоне має додатних коренів.

Зауваження 2. ВМдк довільного многочлена можна обчислювати за допомогою твердження 3:

(7)

Для знаходження Вмдк можна використати ще один метод ( дещо точніший, ніж формула (7).

Нехай

Причому нехай

(Якщо , то отриманий многочлен, ст. коефіцієнт якого, але їх корені – рівні). Позначимо тепер

серед модулів від’ємних коефіцієнтів ;

- перший від’ємний коефіцієнт многочлена .

Тоді число є верхньою межею додатних коренів многочлена.

(без доведення).

Приклад. , де

(заокруглюємо до більшого).

Теорема 2. (Ньютона) Число є вмдк многочлена, якщо примногочленамає додатне значення, а всі похідні – невід’ємні значення: .

Доведення. Кожен многочлена можна подати за степенями - формула Гейлора. Підставляючи , матимемо:

,

звідки бачимо, що при , тобто всі дійсні корені многочлена менші за.

Теорему доведено.

Оскільки знак многочлена та його похідних в точці збігається зі знаком відповідних коефіцієнтів Тейлора при розкладі за степенями, то на практиці числазручно підбирати (уточнювати) за допомогою схеми Горнера. При цьому в більшості випадків немає потреби обчислювати всі коефіцієнти Тейлора: як тільки в процесі діленнянадістанемо рядок з невід´ємних чисел, - можна прийняти це числоза Вмдк, бо наступне застосування схеми Горнера ніколи не приведе до від´ємних коефіцієнтів.

Приклад. .

Вище було обчислено, що Вмдк . Спробуємо її уточнити за допомогою теореми Ньютона.

	3	2	3	-5	7	-15
2	3	8	19	33	73	131
1	3	5	8	3	10	-5
	3

І так далі. А тому ВДМК .