- •Многочлени. Дії над ними.
- •Означення многочлена від однієї змінної
- •Дії над многочленами
- •Теорема про ділення многочленів з остачею
- •Подільність многочленів. Дільники. Спільні дільники. Алгоритм Евкліда знаходження нсд двох многочленів.
- •Означення спільного дільника та найбільшого
- •Алгоритм Евкліда знаходження нсд двох многочленів .
- •Корені многочленів.Теорема Безу. Схема Горнера
- •Основна теорема алгебри комплексних чисел та наслідки з неї.
- •(Без доведення).
- •Алгебраїчне знаходження коренів многочлена.
- •Многочлени над полем раціональних чисел.
- •Властивості незвідних у полі многочленів
- •Знаходження раціональних коренів многочленів з раціональними (цілими) коефіцієнтами.
- •Раціональні дроби
- •Межі дійсних коренів многочленів з дійсними коефіцієнтами.
- •Теорема Штурма. Кількість дійсних коренів многочлена - ними коефіцієнтами.
- •3 0 0 -5 3
- •Відокремлення коренів методом Штурма.
Межі дійсних коренів многочленів з дійсними коефіцієнтами.
У попередніх параграфах ми вивчали питання існування та кількості коренів алгебраїчних рівнянь (многочленів). Але, щоб знайти корені рівняння з достатньою точністю, варто знати, як ці корені розташовані на комплексній площині або на дійсній осі.
Зауважимо, що інколи навіть не потрібно знаходити числові значення коренів, а досить з’ясувати лише їх розміщення на площині (кількість дійсних, зокрема додатніх чи від’ємних і.т.д.).Задача для многочленів з - ними коефіцієнтами досить складна і стосується теорії функції- ної змінної. Тому вивчаємо лише цю проблему для многочленів з дійсними коефіцієнтами і для їх дійсних коренів.
Наведемо лише два зауваження, що стосується комплексних коренів многочленів.
Твердження 1. Усі корені многочлена ,, лежать всередині круга з центром у початку координат і радіусом, де.
Доведення. Випливає з однієї частини доведення основної теореми алгебри комплексних чисел (лема про модуль старшого члена).
(без доведення).
Твердження 2. Комплексні корені многочлена з - тими коефіцієнтами розташовані симетрично дійсної вісі.
Доведення. Оскільки - корінь многочлена з- тими коефіцієнтами, то й- теж корінь цього многочленна (див. §4.5, п. 4.5.4). А числа та- симетричні відносно дійсної вісі.
Теорема доведена.
Із наведеного вище твердження 1
Твердження 3. Усі дійсні корені многочленна ,, містяться в інтегралі, де.
Доведення. Дійсно, всі комплексні корені знаходяться у крузі , а тому, якщо серед них є дійсні, то вони повинні попасти в зазначений інтеграл.
Теорема доведена.
Означення 1. Додатне число називається верхньою межею додатних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами, якщо додатний корінь цього многочленна не перевищує:.
Аналогічно, нижньою межею додатних коренів многочлена називається таке додатне числощо кожен додатний корінь многочленане менше цього числа:.
Аналогічно визначають нижню межі від’ємних коренів
Наше завдання – навчитися знаходити всі ці межі.
Враховуючи твердження 3, маємо, що за ВМдк многочлена можна вибрати, наприклад число , де .
Побудуємо тепер допоміжні многочлени:
1.
(1)
2. (2) 3.
(3)
Позначимо: - вмдк ;
- вмдк ;
- вмдк ;
- вмдк .
1. Нехай довільний додатній корінь многочлена:. Тоді- корінь многочлена.
Отже, ;- корінь
Отже, НМдк .(4)
2. Нехай - довільний від’ємний корінь многочлена:. Тодікорінь многочлена.
Звідси маємо, що .
Отже, НМВК (5)
3. Крім того, якщо - довільний від’ємний корінь многочлена, тобто. Тоді
корінь многочлена .
Звідси отримуємо, що .
Отже, Вмвк .(6)
Довели наступне твердження:
Теорема1: Всі додатні корені многочлена з дійсними коефіцієнтами знаходяться в інтервалі, а всі від’ємні – в інтервалі, (де числавизначені вище).
Доведення вище.
Зауваження 1. Якщо всі коефіцієнти многочлена додатні, тоне має додатних коренів.
Зауваження 2. ВМдк довільного многочлена можна обчислювати за допомогою твердження 3:
(7)
Для знаходження Вмдк можна використати ще один метод ( дещо точніший, ніж формула (7).
Нехай
Причому нехай
(Якщо , то отриманий многочлен, ст. коефіцієнт якого, але їх корені – рівні). Позначимо тепер
серед модулів від’ємних коефіцієнтів ;
- перший від’ємний коефіцієнт многочлена .
Тоді число є верхньою межею додатних коренів многочлена.
(без доведення).
Приклад. , де
(заокруглюємо до більшого).
Теорема 2. (Ньютона) Число є вмдк многочлена, якщо примногочленамає додатне значення, а всі похідні – невід’ємні значення: .
Доведення. Кожен многочлена можна подати за степенями - формула Гейлора. Підставляючи , матимемо:
,
звідки бачимо, що при , тобто всі дійсні корені многочлена менші за.
Теорему доведено.
Оскільки знак многочлена та його похідних в точці збігається зі знаком відповідних коефіцієнтів Тейлора при розкладі за степенями, то на практиці числазручно підбирати (уточнювати) за допомогою схеми Горнера. При цьому в більшості випадків немає потреби обчислювати всі коефіцієнти Тейлора: як тільки в процесі діленнянадістанемо рядок з невід´ємних чисел, - можна прийняти це числоза Вмдк, бо наступне застосування схеми Горнера ніколи не приведе до від´ємних коефіцієнтів.
Приклад. .
Вище було обчислено, що Вмдк . Спробуємо її уточнити за допомогою теореми Ньютона.
|
3 |
2 |
3 |
-5 |
7 |
-15 |
2 |
3 |
8 |
19 |
33 |
73 |
131 |
1 |
3 |
5 |
8 |
3 |
10 |
-5 |
3 |
І так далі. А тому ВДМК .