FOKOEP_-_CHastina_2

2.2.3. Інтегральні перетворення когерентних полів

Як ми бачили, введення середньої частоти 0 , навколо якої відбувається коливання квазімонохроматичного хвильового процесу з

Середнє значення комплексної амплітуди плоскої квазімонохроматичної хвилі у прямокутній системі координат, відповідно до виразу (2.45), можна визначити рівнянням

координат.

Уведення усередненої комплексної амплітуди дозволяє скористатись для опису квазімонохроматичних хвиль та інтегральних перетворень когерентних полів представленням монохроматичних

хвиль для частоти 0 , які були розглянуті вище.

Нехай у площині x0 , y0 , z0 0 набір плоских хвиль із сукупністю

хвильових векторів k створює деяке поле з комплексною амплітудою

E (x0 , y0 , z 0) .

- 31 -

Згідно з теорією сигналів, будемо вважати, що на вході лінійної системи заданий вхідний сигнал E (x0 , y0 ,0) , який передається через вільний простір (відстань Oz), формуючи на виході системи у

E (x, y, z) E (x0 , y0 ,0)w(x x0 , y y0 )dx0 dy0 . (2.45в)

У заданому випадку функція ваги характеризує відгук системи на монохроматичне точкове збурення поля в околі елемента площею

dx0 dy0 . Таке збурення, що передається через вільний простір, може бути визначене на основі явища дифракції. Тому, згідно із хвильовою

множником, який використовується при розрахунках комплексної амплітуди дифрагованої хвилі на заданому отворі й описуватиметься виразом:

r (x x0 )2 ( y y0 )2 z2 , cos rz .

У даному випадку функція (x x0 , y y0 ) має назву функції

Френеля-Кіргофа-Зоммерфельда.

Характерно, що її аналітичний вигляд можна отримати не з теорії дифракції, а використавши формалізм теорії сигналів, знаючи, що функція ваги визначається як Фур’є-перетворення від амплітудночастотної фазової передаточної функції (додаток №1).

Неплоска квазімонохроматична хвиля в початковій площині z 0 може бути задана або функцією E (x0 , y0 ,0) , що визначає середнє

значення комплексних амплітуд у будь-якій точці цього простору, або кутовим спектром середніх амплітуд плоских квазімонохроматичних

- 33 -

LL(x, y, , , ,t) L(q),

залежна від шести сукупних параметрів, що характеризують розподіл яскравості по поверхні x, y , спектральний склад ( ),

напрямок ( , ) та зміни в часі (t). Цій функції можна поставити у

Якщо відома функція L(i q ) , то зворотне Фур’є-перетворення визначає яскравість у заданому шестивимірному просторі.

Якщо оптико-електронний пристрій працює при всіх можливих реалізаціях розподілу яскравості, що змінюється за всіма незалежними змінними, а саме поле є випадковим. Для однотипних умов експерименту, для оцінки мікроструктури яскравісного поля

використовуваному багатовимірному просторі.

Для кожної пари таких точок можна знайти кореляційну функцію, що характеризує середньостатистичний зв’язок між значеннями яскравості в даних точках,

(n 6)

У випадку, коли поле яскравості в усіх можливих реалізаціях за всіма незалежними змінними є стаціонарним, то кореляційна функція

точок багатовимірного простору, врахування властивостей ергодичності значення кореляційної функції можна визначити з розрахунку інтегралу

де - сукупність інтервалів інтегрування, що

прямують до нескінченності за всіма незалежними змінними. Якщо стаціонарне яскравісне поле описується кореляційною функцією (2.54), то для нього можна знайти спектральну густину потужності флуктуацій за всіма змінними:

Для більшості практичних задач можна вважати, що випромінювання в площині предметів підпорядковується закону Ламберта, при цьому важливо мати усереднену інформацію за достатньо великий проміжок часу спостереження Т про інтегральне випромінювання в деякому спектральному діапазоні . У такому випадку яскравісне поле описується тільки функцією від двох координат L L(x, y) .

У випадку, коли поле L(x, y) детерміноване (тобто має

детерміновану структуру), то воно повинно мати характерний просторово-частотний спектр.

- 37 -

Зворотне Фур’є-перетворення дає значення яскравості:

Коли яскравість у просторі предметів розподілена випадково, то основною характеристикою такого поля буде кореляційна функція. Відомо, що для знаходження кореляційної функції в загальному

предметів з координатами xi , yi та xk , yk .

Для стаціонарних полів двовимірна густина ймовірності залежить тільки від різниці координат і не залежить від початку відліку самих

ізотропним, то його просторово-частотний спектр потужності флуктуацій яскравості SL ( r ) й кореляційна функція KL ( ) визначаються парою перетворень Ганкеля.

- 38 -

інтервалі частот (центрованому навколо частоти ), що

Якщо використати δ-функцію, то миттєвий потік, зумовлений одним фотоном можна записати в такому вигляді:

dФ1 (1, t) Ф1 ( , t)d h (t tk ),

tk - момент випромінювання або попадання фотона на площадку S . При такому підході «миттєвий» потік

N

dФ( ,t) Ф( ,t)d h (t tk ),

k 1

визначається кількістю випромінювальних N фотонів за час τ, центрованих відносно tk . Зауважимо, що при використанні δ-функції із часовою залежністю розмірність потоку – дж/с.

- 40 -