Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

FOKOEP_-_CHastina_2

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
1.86 Mб
Скачать

що функція 12 ( ) у загальному випадку характеризує об’єм

когерентності.

Розглянемо сутність часової когерентності. Нехай точка С на екрані освітлюється двома пучками, які отримуються від одного джерела при використанні дзеркала (рис. 39).

Рис. 39. Уведення часової когерентності з часовою затримкою

Така схема еквівалентна схемі інтерферометра Майкельсона з напівпрозорим світлоподільником.

У даному випадку інтенсивність у точці С описується виразом

 

 

 

 

 

 

 

Re

11( ) ,

 

IC I1c

I2c

2 I1c IC

(2.35)

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

де 11( )

 

E

1

(t )E* 1 (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

E 1 (t)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функція 11( ) описує кореляцію одного хвильового випадкового процесу в точці В у моменти часу, рознесені на інтервал . У зв’язку

з цим

функція 11( )

(чи просто ( ) ) характеризує часову

когерентність.

 

При цьому функція 11( ) однозначно визначається спектром

потужності хвильового процесу. Можна показати, що

Re 11( ) f ( ) cos( )d ,

0

- 21 -

де f ()

I ( )

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I ( )d

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

I ( ) - спектральна густина випромінювання.

 

 

Косинусне Фур’є-перетворення від величини Re 11( )

дозволяє

визначити сам спектр I ( ) . Це лежить в основі Фур’є-спектроскопії.

Характерно,

що

часова

когерентність,

яка

враховує

скорельованість випромінювання само з собою в різні моменти часу, буде залежати від ширини спектра випромінювання. Останній буде задавати інтервал t , протягом якого випромінювання можна вважати скорельованим.

Розглянемо просторову модель випромінювання у вигляді випадкових цугів однакової протяжності. Цуг - аналітичне представлення хвильового процесу, коли фаза в наступний момент визначається попереднім моментом.

Нехай деяке джерело випромінює хвильові цуги однакової протяжності (в часі) t на частоті 0 2 0 .

Представимо в аналітичній формі випромінювання такого цугу:

E exp(i2

 

t)

при

 

t

 

t / 2.

 

 

 

 

 

E(t)

0

0

 

 

 

t

 

 

t / 2.

(див. рис. 40). (2.36)

 

 

 

 

 

 

0

 

 

при

 

 

 

 

Рис. 40. Зображення монохроматичного цугу протяжністю t

- 22 -

Застосовуючи перетворення Фур’є до функції E(t) , отримаємо:

 

 

 

 

 

 

E( ) E(t) exp( 2i t)dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E0

t / 2

sin 2 (

 

) t

.

exp( 2i( 0 )t)dt E0 t

 

0

2

 

 

 

 

 

 

 

( 0 ) t

 

Інтенсивність такого гармонічного процесу визначиться виразом

I ( ) (E t)2

sin2 (

0

) t

(див. рис. 41).

(2.37)

( 0 ) t 2

 

0

 

 

Рис. 41. Спектральна густина інтенсивності монохроматичного цугу протяжністю t

Частотний інтервал , який відповідає напівширині контуру спектральної лінії, де інтенсивність ще достатньо велика (не менше

0,4I

(

max ) визначиться співвідношенням 1t .

sin

2

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.4,

коли

t / 2 ).

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Звідси випливає таке правило: ефективна смуга частот хвильового цугу обернено пропорційна його протяжності. Довжина

- 23 -

L c t c

1

буде відповідати максимальній різниці ходу, коли

 

 

 

зберігаються фазові співвідношення в інтерференційному досліді. При

різниці ход, суттєво більшій ніж

c

1

, спостереження

 

 

інтерференційної картини стає неможливим.

Розглянутий механізм випромінювання сильно ідеалізований. У дійсності мають місце процеси затухання випромінювання, статистичного розподілу довжин і амплітуд цугів, зміни фази цугу через співударяння атомів, зміна частоти у зв’язку з тепловим рухом.

Розглянемо, до чого приводить процес випромінювання із затуханням, що пов’язано із суттєвою втратою енергії в часі, в результаті чого амплітуда хвильового цугу зменшується в часі:

 

 

 

 

 

t

 

 

t 0.

 

E

 

exp(i2

 

t

 

)

при

(2.38)

 

 

 

E(t)

0

 

0

 

 

при

t 0.

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частотний спектр Фур’є такого процесу визначається виразом

 

E0

 

E( ) E0 exp( 2 i( 0 )t t / )dt

.

2 i(

0 )t 1/

0

 

Спектральна інтенсивність такого цугу буде такою:

I ( )

 

E( )

2

 

 

E 2

 

 

 

 

 

0

.

(2.39)

 

 

4

2i(

0

)2 t 1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 42. Спектральна інтенсивність затухаючого цугу (Лоренцовий контур)

- 24 -

Напівширина контуру лінії визначається з умови:

 

 

 

1

 

 

 

2

, звідси

1

.

4

2

 

2

1/

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Якщо реальний хвильовий процес охарактеризувати середньостатистичним часом t , що відповідає напівширині контуру, то можна ввести поняття довжини когерентності, в межах якої зберігаються фази цугів хвиль, що проходять.

l

 

tc

c

 

0

2

.

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З (2.40) випливає, що довжина когерентності чисельно дорівнює максимальній кількості смуг стаціонарної інтерференційної картини, помноженій на середню довжин хвилі в спектрі.

Поняття часу когерентності та довжини когерентності еквівалентні.

2.2.1. Поняття просторової когерентності

Повернемось до розгляду інтерференційного досліду з двома отворами, коли точка «С» вибрана так, що часова затримка

2 1 0 (рис. 43):

Рис. 43. Введення просторової когерентності

- 25 -

У такому випадку відносна функція взаємної когерентності12 (0) , дійсна частина якої визначає сумарну інтенсивність, визначиться усередненням

 

 

(0)

E 1 E*

2

(t)

 

12

 

 

 

 

 

.

(2.41)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I B

I B

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

У теорії когерентності доводиться, що числове значення 12 (0) пов’язане з кутовою розбіжністю випромінювання чи кутовими розмірами протяжного джерела.

Рис. 44. Геометричні параметри, що визначають просторову когерентність від круглого дзеркала радіусом .

Для протяжного випромінювача, утвореного ансамблем статично незалежних елементарних випромінювачів, просторова когерентність розраховується на основі теореми Ван-Циттера-Церніке.

Так, для круглого теплового джерела, розміщеного в площині, постійна яскравості, ступінь когерентності у двох точках B1 та B2 ,

що знаходяться на відстані R, що набагато більше від радіуса джерела ρ (рис. 44), розраховується згідно з формулою.

 

 

12

(0)

 

2

J1 (z)

,

(2.42)

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

- 26 -

де J1 (z)

функція

Бесселя першого роду аргументу

 

 

 

/ R 2tg .

z 2 x2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графік функції

 

12 (0)

 

 

наведено на рис. 44а.

 

 

Рис. 44а. Функція 12 (0) в залежності від параметра z

Висока ступінь когерентності можлива тільки для малих кутів β. Лінійна відстань L, що відповідає значенню 0 12 (0) 1, не

повинна перебільшувати величини L 0.16 , де – кутовий радіус

джерела ( R ).

Якщо RL – кутова розбіжність променів джерела, то кут розбіжності практично когерентного пучка не повинен

перебільшувати величини 0.16 , де – радіус джерела.

Можна зробити висновок, що з когерентністю випромінювання, яка характеризується комплексними функціями 12 ( ) , 11( ) ,12 (0) , пов’язані такі характеристики випромінювання як монохроматичність і розбіжність випромінювання. При цьому

- 27 -

враховують, що всі компоненти когерентного випромінювання мають однакові стани поляризації (лінійні чи еліптичні). Плоска монохроматична хвиля завжди поляризована.

На практиці зручно пов’язати ступінь когерентності з контрастом інтерференційної картини, що вимірюється в площині її спостереження. Величина контрасту визначається співвідношенням

K

(Imax Imin )

.

 

 

 

 

 

(2.43)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Imax Imin )

 

 

 

 

 

 

Представив реальну частину

функції 12 ( )

 

у

вигляді

Re 12 ( )

 

 

 

Im

12

( )

 

 

 

 

 

12 ( )

cos( ) , де

( ) arctg

 

 

 

 

- її

 

 

 

 

 

Re 12

( )

 

аргумент, вираз для інтенсивності результуючої інтерференційної картини можна записати так:

I I1 I2 2I1I2 12 ( ) cos( ).

При введенні середньої частоти фазовий множник

результуючої інтерференційної картини подається так:

( ) ( ) 2 ,

чи

( ) ( ) 2 ,

де ( ) , ( ) - функції, що характеризують зміну усередненої фази для сукупності квазімонохроматичного інтервалу в залежності від часу чи різниці ходу. Зауважимо, що зміна величин ( ) та ( )

несуттєва у порівнянні з величинами 2 чи 2 .

Для двох найближчих екстримальних значень інтенсивності, що отримуються коли cos( ) 1, будемо мати:

I max

I1 I2

2

 

I1 I2

12

( ),

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.44)

I min

I1 I 2

2

I1 I 2

12 ( ).

Звідки

- 28 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

2 I1I2

12

( )

.

 

 

 

 

 

I1 I

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо I1 I2

 

, то K

 

12 ( )

 

.

 

 

 

З вищевикладеного випливає, що основною відмінністю когерентного випромінювання від монохроматичного є введення усереднених амплітуд E(t) і фаз (t) для сукупного спектрального

інтервалу на деякій усередненій частоті 0 , що є функціями, які повільно змінюються при аргументах t 1 . При цьому при

складанні двох полів, інтерференційна картина стає менш контрастною за рахунок усереднення миттєвої інтенсивності по часу.

2.2.2. Фазові та групові швидкості в середовищі

Якщо в деякій початковій точці однорідного, ізотропного діелектричного середовища сумарна напруженість плоскої хвилі (без врахування поляризації) задана виразом

E (t) E(t) exp(i(0t (t))) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то в точці, що визначається

радіусом

r , ця напруженість

запишеться таким чином:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rn

 

E (r , t) E(t) exp i (t) exp

i 0

(t

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

E(t) exp i (t) exp i(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t k '

r )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k0' k0 k ; k0'

 

 

; k0

 

0

 

 

 

2n(k

0

)

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

(k0 )

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- середня швидкість для груп хвиль із напівшириною спектра

,

(k0 ) - фазова швидкість хвильового вектора в середовищі з

довжиною хвилі

, k

 

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 29 -

Очевидно, що k k ; k k

k

k

 

,

 

k

0

 

 

 

 

 

 

0

 

де k - напівширина спектрального інтервалу задана у хвильових

числах. Отже,

E (r ,

 

 

 

 

 

t) E(t) exp i (t) kr

exp i( 0t k0r ) .

Вираз (2.45) дозволяє знайти фазову чи групову швидкість

 

 

сумарних коливань уздовж хвильвої нормаі. Коли r // n, k , маємо:

E (r, t) E(t) exp i (t) kr exp i(0t k0r) .

Взявши похідну по часу від умови постійності фази на несучій

частоті 0 отримаємо

 

 

 

 

 

 

 

 

d

(

t k

r) const ,

 

0

.

 

 

ф

 

dt

 

0

 

0

 

 

 

k0

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Групова швидкість визначиться з умови постійності амплітуди в

просторі, тобто (t) kr const .

 

 

 

 

 

 

 

dr

d (t)

 

 

 

d

 

гр

 

 

 

 

 

/ k

k

 

 

 

.

dt

 

 

dk

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

Коли

в

середовищі характерна

дисперсія,

 

тобто

n n( ) ,

n n(k) , то ф гр .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Враховуючи

співвідношення

 

k

 

,

 

dk

d

d

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

d dk

d ,

 

групова

швидкість

 

 

визначиться

 

такими

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дисперсійними співвідношеннями:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

2 d

, k

 

 

2

 

,

dk

 

2

,

 

 

 

 

 

d ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

dk

 

dk

 

 

 

d

2

гр

ф

d

 

d

 

 

d

 

 

 

dk

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dk

d

 

d

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

Для діелектриків поза смугою поглинання ф

гр , а у смузі

поглинання ф

гр .

 

 

- 30 -

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]