Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

FOKOEP_-_CHastina_2

.pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
1.86 Mб
Скачать

2 5 k 4

15c2 h3 - постійна Стефана-Больцмана,

5,66910 12 вт см 2 К 4 .

З виразу (2.86) видно, що повне значення світлового потоку випромінювання пропорційне значенню самого потоку S M (T )

при температурі тіла T та ширині смуги f .

Отриманому значенню диспресії потоку випромінювання можна поставити у відповідність спектральну густину флуктуацій потоку (з урахуванням усіх оптичних частот):

 

 

f

 

 

 

 

Ф2 (T )

 

SM ( f )df

2SM ( f ) f ,

(2.87)

 

f

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де SM ( f )

Ф2 (Т )

f

 

 

 

 

 

- спектральна густина флуктуацій відповідної

2f

 

 

 

 

 

 

дисперсії (2.87), яка також носить характер білого шуму практично до частот ~ 1013 Гц .

Саме наявність цих флуктуацій і визначить порогове значення Фп потоку випромінювання у смузі частот f , що асоціюється із шумом (f fш ) . Згідно з (2.86), значення Фп визначається так:

 

 

 

f 1

S 1

 

 

 

 

Ф Ф2

 

 

4k T 5 .

(2.88)

п

f

ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо приймачем виступає болометр із приймальною площею S , то порогові значення також будуть визначатися флкуктуаціями потоку, що випромінює сама приймальна площадка, а також від флуктуацій потоку, пов’язаних з оточуючим фоном.

Розмірність величини Фп - вт см 1 Гц 1/ 2 .

Якщо випромінює не чорне тіло, а сіре, то у виразі (2.86) використовується коефіцієнт сірості .

Дисперсія світності сірого тіла, відповідно до (2.86), (2.77), (2.78), буде такою:

M 2 S 1 f

ш

4kT M (T ) .

(2.88а)

f

 

 

 

 

 

- 51 -

Аналогічно з виразів (2.78), (2.79), (2.87) отримаємо дисперсію яскравості сірого тіла:

L2 (T )

M 2 (T )

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

f

 

 

(2.88б)

 

 

 

 

 

M (T )

 

 

 

S 1 1 f

 

4kT

 

S 1 1 f

 

4kT L(T ) ,

ш

 

 

ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де S - площа, в межах якої проводиться вимірювання яскравості L(T ) з усередненням у межах тілесного кута .

Згідно з отриманими виразами, флуктуації світності обернено

пропорційні площі S , а флуктуації яскравості обернено пропорційніS та .

2.5. Розрахунок кількості інформації, що міститься у випромінюванні простору предметів

Сутність методики розрахунку полягає ось у чому. Спочатку необхідно зробити дискретизацію функції яскравості за координатами.

Якщо

поле

яскравості

детерміноване,

то необхідно знайти

спектр

 

 

 

 

 

 

x max ,

Фур’є від функції

L(q) і визначити

максимальні частоти

y max ,

…,

t max

у

багатовимірному

просторі частот, заданому

вектором q . Потім за знайденими максимальними частотами

визначити інтервали розбивки кожної незалежної змінної х, у, … , t у п-вимірному просторі, положення точки в якому задається вектором q ,

x

 

, y

 

, …, t

 

.

 

 

 

x max

y max

t max

 

 

 

 

У результаті такої розбивки буде отримано N точок функції L(q) у п-вимірному просторі, загальне число яких визначається добутком:

N (1 2Fx max X )(1 2Fy maxY )...(1 2Ft maxT ),

де F x max ,0 X ,0 Y ,...,0 T - інтервал упросторі

x max

2

 

 

 

координат, на котрих задана функція яскравості L(q) .

- 52 -

Для всієї сукупності точок відліків необхідно знайти N-вимірну функцію сукупної густини ймовірності (L1, L2 ,..., LN ) , після чого загальна ентропія визначиться N-кратним інтегралом:

 

 

 

H

... (L1, L2

,..., LN )

 

 

(2.89)

log2 1 2 ... N (L1

, L2 ,..., LN ) dL1dL2 ...dLN ,

1 2 ... N - рівні дискретизації яскравості в кожній точці відліку.

У випадку, коли відліки у всіх точках виявляються статистично незалежними, то визначення загальної кількості інформації здійснюється шляхом підсумовування ентропій у кожній точці відліку.

Розглянемо приклад.

Необхідно визначити кількість інформації, яка можа бути

отримана від детермінованого стаціонарного в часі яскравістного поля L L(x, y, ) , заданого в інтервалах координат 0 x X , 0 y Y

в інтервалі довжин хвиль 0 . Спостерігаємого в напрямку кутів 1, , у межах яких, сама яскравість залишається постійною. В кожній точці простору на площині x, y яскравість може змінюватись довільно від довжини хвилі у заданому діапазоні відповідно до функції L(x, y, ) . Застосувавши до цієї функції перетворення Фур’є,

знайдемо спектр яскравості

L(i

, i

y

, i ) ,

що

дає

значення

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

максимальних частот

xm

2F ,

 

ym

2F

 

,

 

2F

.

 

 

xm

 

ym

 

m

m

 

Вважаємо, що окремі відліки статистично незалежні.

Загальна кількість інформації, яка може бути отримана в

результаті

ідентифікації

заданої

функції

яскравості L L(x, y,) ,

визначається такою сумою:

 

 

 

 

1

2F X 2FymY 2F

 

 

 

 

 

xm

 

m

 

 

 

I H

log2 (1

i,k ,n ),

(2.90)

 

 

2

i 0

k 0

n 0

 

 

де i,k ,n

- співвідношення сигнал/шум

за потужністю в точці з

аргументами xi , yk , n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 53 -

 

Саме співвідношення сигнал/шум буде залежати від способу вимірювання яскравості. Розглянемо потенціальну величину кількості інформації, що міститься в яскравісному полі L(x, y,) ,

припускаючи, що вимірювальна система здатна реєструвати кожний фотон окремо, а отже, обмеження інформації буде пов’язане з фотонним шумом (фотонними флуктуаціями).

Врахуємо потік випромінювання, що створюється яскравісним полем L(x, y,) і попадає на вхідну зіницю оптичної системи (див рис. 50).

Рис. 50

Тут dS2 - площина вхідної зіниці, що знаходиться на відстані l

від площини XY .

 

Спектральна складова потоку в діапазоні

довжин хвиль

0 d , що падає на вхідну зіницю

 

(x, y, )d L(x, y, )dS1 cos 1d d .

(2.90а)

де dS1 dxdy - площина елементарної випромінювальної площадки;

d - тілесний кут, під

яким видно вхідну зіницю

з центру

елементарної площадки,

тобто

d

dS2 cos 2

.

Оскільки

 

 

 

 

r 2

 

- 54 -

r2 x2 y2 l 2 ,

cos 1 cos 2

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

, то рівняння

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

2

y

2

l

2

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

(2.90) запишеться в такому вигляді:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x, y, )d

L(x, y, )l 2dS

dxdy

d .

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.91)

 

(x2 y2 l 2 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Цьому значенню спектрального потоку відповідає середня

кількість фотонів в секунду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N (x, y, ) d

(x, y, ) d

 

 

 

 

 

 

 

(2.92)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і дисперсія потоку квантів N 2 (x, y, )d .

Оскільки у виразі (2.90) величина i,k ,n

являє собою відношення

сигналу до завад по потужності, то

 

i,k ,n

N (xi , yk , n ) d 2

.

(2.93)

N 2 (x , y

 

,

 

) d

 

k

n

 

 

 

i

 

 

 

 

При умові, що розподіл кількості фотонів за 1 секунду

підпорядковується

закону Пуассона

і виконується умова

N 2 N t 1 , маємо:

 

 

 

 

i,k ,n

 

 

, n ) d

L(x , y

k

,

n

)l

2 dS

2

dxdyd

 

 

N (xi , yk

i

 

 

 

 

.

(2.94)

hc(l

2 x2

y2 ) t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

i

k

 

 

 

 

Підставляючи (2.94) у (2.90), отримаємо значення інформації, що

міститься в полі випромінювання простору предметів, коли яскравість

описується детермінованою функцією L(q) .

У випадку, коли яскравість L(q) у просторі предметів змінюється

від реалізації до реалізації випадко і являє собою стаціонарний процес, то кількість інформації, яка міститься в яскравісному полі L(x, y) , визначиться виразом

H (1 2F

X )(1 2F

 

 

(1

фс2

1/ 2

 

 

Y ) log

 

 

)

,

(2.95)

 

2

xm

ym

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш

 

 

 

- 55 -

де Fxm , Fym - значення максимальних просторових частот в яскравісному спектрі потужності; Х,У – максимальне значення координат поля, фс2 - дисперсія просторових флуктуацій потоку, що попадає на одиничну вхідну зіницю, зумовлену випадковими змінами яскравості за всіма можливими реалізаціями яскравісного поля, ш2 - дисперсія часових флуктуацій потоку яскравісного поля, зумовлена шумами при середньому значенні яскравості L .

2.6. Типові яскравісні поля в просторі предметів

Хоча в кожному конкретному випадку розподіл яскравості в просторі предметів буде відмінний, можна виділити ряд типових полів, які будуть характерними для розгляду роботи ОЕП.

2.6.1. Ідеальне точкове джерело

Нехай всю енергію, зосереджену в геометричній точці з

координатами x0 , y0 , у просторі предметів можна

описати δ-

функцією:

 

 

 

 

 

 

L(x, y) L0 (x x0 , y y0 ) .

 

(2.96)

Спетр Фур’є такої функції має вигляд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L(i x , i y ) L0

 

(x x0 , y y0 ) exp( i( x x y y))dxdy

(2.97)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L0 exp i( x x0

y y0 ) .

 

 

Звідси амплітудні та фазові характеристики просторово-

частотного спектра такі:

 

 

 

L(i x , i y )

 

L0 , (x , y ) x x0 y y0 .

 

(2.98)

 

 

 

У зв’язку з цим на всіх частотах гармонік просторових частот однакова та дорівнює L0 .

Кількість інформації, яку можна отримати від точкового джерела

визначається виразом

 

I IL IФ IK .

(2.99)

- 56 -

(x, y)

Тут IL , IФ , IK - складові кількості інформації, які можна тримати

експериментально в результаті встановлення (ідентифікації) яскравості джерела, його форми та положення в системі координат.

Для

 

точкового джерела xm ,ym ,

X ,Y 0 , тому

N lim

(1 2Fxm X )(1 2FymY ) 1.

 

X ,Y

 

 

 

У зв’язку з цим для ідентифікації форми яскравісного профіля такого джерела достатньо володіти однією точкою відліку, саме тому

IL IФ log(1 )1/ 2 ,

(2.100)

де

- відношення квадрата потоку до дисперсії його

фотонних

змінних флуктуацій.

 

Складову I K обчислимо вводячи функцію густини ймовірності,

що визначає положення джерела (x, y) :

 

 

 

 

IK

H K (x, y) log2 x y (x, y) dxdy.

(2.101)

 

де x , y - мінімальні похибки, з якими можна поміряти координати джерела.

Теоретично для точкового джерела значення x та y не можуть

бути меншими, ніж величина дифракційного круга розсіяння, що розраховується згідно з методикою Релея.

Припустивши, що функція підпорядковується нормальному закону,

(x, y) (2

 

) 1 exp(

1

(

x2

 

y2

))

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x

y

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

маємо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

log

 

(

2e x y

) .

 

 

 

 

 

 

K

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді

I IL IФ IK

 

 

 

(1 )1/ 2 2e

 

 

log

 

 

x

y

.

 

 

 

 

2

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

- 57 -

2.6.2. Кругле джерело постійної яскравості

Розподіл яскравості такого джерела описується функцією

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

 

x

2

y

2

r

L

 

 

 

 

L(x, y)

0

 

 

 

 

 

 

 

0 ,

 

 

x2

y2

0

при

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

де початок координат збігається з його центром (рис. 51).

Рис. 51. Функція яскравості

Оскільки функція L(x, y) має осьову симетрію, то для

знаходження просторовочастотного спектра доцільно застосувати перетворення Ганкеля, в результаті чого отримаємо:

 

 

 

 

 

 

 

J

( r )

 

 

L( r ) L0 2 rJ0

( r r)dr 2 r02

 

 

 

1

r 0

,

(2.103)

 

r r0

 

 

 

2

0

1/ 2

 

 

 

 

де

 

r

2

- просторові

частоти

в деякому

напрямку,

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

J0 (r r) та J1 ( r r) - функції Бесселя нульвого та першого порядків.

- 58 -

Рис. 52. Функція J0 (r r)

Загальна кількість інформації, яка може бути отримана в результаті ідентифікації яскравості джерела, його форми та пложення

центру в системі x, y визначаться також сумою I IL IФ IK . Складову I K визначають аналогічно попередньому випадку через

функцію густини ймовірності знаходження центра джерела - (x, y) . Сума IL IФ визначається з того, що за рахунок осьової симетрії

функцію яскравості доцільно подати в полярній системі координат r, .

L

при

r r ,

0 2

 

 

L(r, )

0

 

0

 

.

(2.104)

 

0

при

r r0 ,

0 2

 

 

Отже, яскравість джерела та його форма можуть бути визначені (ідентифіковані), якщо будуть виміряні яскравості в деякій кількості

точок уздовж радіуса (в області 0 r r0 ) та при деяких значеннях кута ( 0 2 ).

Визначимо кількість точок, на які необхідно дискретизувати функцію L(r, ) за радіусом r і кутом відповідно до теореми

Котєльнікова. Знайдемо прострові частоти функцій L(r) і L( ) роздільно. Згідно із (2.103), просторово-частотний спектр фунції L(r) (тобто вздовж радіуса) лежить у межах від 0 до частот r . Проте з точки зору «енергії» можна вважати, що найбільша її частина

- 59 -

зосереджена

в

області частот

0 r 0 10,2 / r0 . Звідси можна

припустити,

що

максимальна

частота F

10,2

 

і

величина

 

 

 

 

 

rm

2r0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2F r

10,2

3 . Відповідно для визначення форми вздовж радіуса

 

rm 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

необхідно розбити цей радіус на 3 ділянки ( N

X

)

r

r0

і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Fxm

 

3

 

взяти чотири точки відліку; одну в центрі і три з кроком r .

Для визначення форми яскравісного профілю по окружності в кожному радіусі з інтервалом r необхідно знайти спектр Фур’є- функції L( ) у межах кутів r 0 (рис. 53).

Рис. 53. Визначення спектра функції L( )

 

 

 

 

 

sin

L(i

) L

 

exp( i )d 2 L

 

 

 

.

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Спектр цієї функції зображений на рис. 54.

- 60 -

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]