FOKOEP_-_CHastina_2
.pdf2 5 k 4
15c2 h3 - постійна Стефана-Больцмана,
5,66910 12 вт см 2 К 4 .
З виразу (2.86) видно, що повне значення світлового потоку випромінювання пропорційне значенню самого потоку S M (T )
при температурі тіла T та ширині смуги f .
Отриманому значенню диспресії потоку випромінювання можна поставити у відповідність спектральну густину флуктуацій потоку (з урахуванням усіх оптичних частот):
|
|
f |
|
|
|
|
Ф2 (T ) |
|
SM ( f )df |
2SM ( f ) f , |
(2.87) |
||
|
f |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де SM ( f ) |
Ф2 (Т ) |
f |
|
|
|
|
|
|
- спектральна густина флуктуацій відповідної |
||||
2f |
|
|||||
|
|
|
|
|
дисперсії (2.87), яка також носить характер білого шуму практично до частот ~ 1013 Гц .
Саме наявність цих флуктуацій і визначить порогове значення Фп потоку випромінювання у смузі частот f , що асоціюється із шумом (f fш ) . Згідно з (2.86), значення Фп визначається так:
|
|
|
f 1 |
S 1 |
|
|
|
|
Ф Ф2 |
|
|
4k T 5 . |
(2.88) |
||||
п |
f |
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо приймачем виступає болометр із приймальною площею S , то порогові значення також будуть визначатися флкуктуаціями потоку, що випромінює сама приймальна площадка, а також від флуктуацій потоку, пов’язаних з оточуючим фоном.
Розмірність величини Фп - вт см 1 Гц 1/ 2 .
Якщо випромінює не чорне тіло, а сіре, то у виразі (2.86) використовується коефіцієнт сірості .
Дисперсія світності сірого тіла, відповідно до (2.86), (2.77), (2.78), буде такою:
M 2 S 1 f |
ш |
4kT M (T ) . |
(2.88а) |
f |
|
|
|
|
|
|
- 51 -
Аналогічно з виразів (2.78), (2.79), (2.87) отримаємо дисперсію яскравості сірого тіла:
L2 (T ) |
M 2 (T ) |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||
|
f |
|
|
|
f |
|
|
(2.88б) |
||
|
|
|
|
|
M (T ) |
|
|
|
||
S 1 1 f |
|
4kT |
|
S 1 1 f |
|
4kT L(T ) , |
||||
ш |
|
|
ш |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де S - площа, в межах якої проводиться вимірювання яскравості L(T ) з усередненням у межах тілесного кута .
Згідно з отриманими виразами, флуктуації світності обернено
пропорційні площі S , а флуктуації яскравості обернено пропорційніS та .
2.5. Розрахунок кількості інформації, що міститься у випромінюванні простору предметів
Сутність методики розрахунку полягає ось у чому. Спочатку необхідно зробити дискретизацію функції яскравості за координатами.
Якщо |
поле |
яскравості |
детерміноване, |
то необхідно знайти |
спектр |
|
|
|
|
|
|
|
x max , |
Фур’є від функції |
L(q) і визначити |
максимальні частоти |
||||
y max , |
…, |
t max |
у |
багатовимірному |
просторі частот, заданому |
вектором q . Потім за знайденими максимальними частотами
визначити інтервали розбивки кожної незалежної змінної х, у, … , t у п-вимірному просторі, положення точки в якому задається вектором q ,
x |
|
, y |
|
, …, t |
|
. |
|
|
|
|
|||||
x max |
y max |
t max |
|||||
|
|
|
|
У результаті такої розбивки буде отримано N точок функції L(q) у п-вимірному просторі, загальне число яких визначається добутком:
N (1 2Fx max X )(1 2Fy maxY )...(1 2Ft maxT ),
де F x max ,0 X ,0 Y ,...,0 T - інтервал упросторі
x max |
2 |
|
|
|
|
координат, на котрих задана функція яскравості L(q) . |
- 52 -
Для всієї сукупності точок відліків необхідно знайти N-вимірну функцію сукупної густини ймовірності (L1, L2 ,..., LN ) , після чого загальна ентропія визначиться N-кратним інтегралом:
|
|
|
H |
... (L1, L2 |
,..., LN ) |
|
|
(2.89) |
log2 1 2 ... N (L1 |
, L2 ,..., LN ) dL1dL2 ...dLN , |
1 2 ... N - рівні дискретизації яскравості в кожній точці відліку.
У випадку, коли відліки у всіх точках виявляються статистично незалежними, то визначення загальної кількості інформації здійснюється шляхом підсумовування ентропій у кожній точці відліку.
Розглянемо приклад.
Необхідно визначити кількість інформації, яка можа бути
отримана від детермінованого стаціонарного в часі яскравістного поля L L(x, y, ) , заданого в інтервалах координат 0 x X , 0 y Y
в інтервалі довжин хвиль 0 . Спостерігаємого в напрямку кутів 1, , у межах яких, сама яскравість залишається постійною. В кожній точці простору на площині x, y яскравість може змінюватись довільно від довжини хвилі у заданому діапазоні відповідно до функції L(x, y, ) . Застосувавши до цієї функції перетворення Фур’є,
знайдемо спектр яскравості |
L(i |
, i |
y |
, i ) , |
що |
дає |
значення |
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
максимальних частот |
xm |
2F , |
|
ym |
2F |
|
, |
|
2F |
. |
||
|
|
xm |
|
ym |
|
m |
m |
|
Вважаємо, що окремі відліки статистично незалежні.
Загальна кількість інформації, яка може бути отримана в
результаті |
ідентифікації |
заданої |
функції |
яскравості L L(x, y,) , |
|||||
визначається такою сумою: |
|
|
|||||||
|
|
1 |
2F X 2FymY 2F |
|
|
|
|||
|
|
xm |
|
m |
|
|
|
||
I H |
log2 (1 |
i,k ,n ), |
(2.90) |
||||||
|
|||||||||
|
2 |
i 0 |
k 0 |
n 0 |
|
|
|||
де i,k ,n |
- співвідношення сигнал/шум |
за потужністю в точці з |
|||||||
аргументами xi , yk , n . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
- 53 - |
|
Саме співвідношення сигнал/шум буде залежати від способу вимірювання яскравості. Розглянемо потенціальну величину кількості інформації, що міститься в яскравісному полі L(x, y,) ,
припускаючи, що вимірювальна система здатна реєструвати кожний фотон окремо, а отже, обмеження інформації буде пов’язане з фотонним шумом (фотонними флуктуаціями).
Врахуємо потік випромінювання, що створюється яскравісним полем L(x, y,) і попадає на вхідну зіницю оптичної системи (див рис. 50).
Рис. 50
Тут dS2 - площина вхідної зіниці, що знаходиться на відстані l
від площини XY . |
|
Спектральна складова потоку в діапазоні |
довжин хвиль |
0 d , що падає на вхідну зіницю |
|
dФ(x, y, )d L(x, y, )dS1 cos 1d d . |
(2.90а) |
де dS1 dxdy - площина елементарної випромінювальної площадки;
d - тілесний кут, під |
яким видно вхідну зіницю |
з центру |
|||
елементарної площадки, |
тобто |
d |
dS2 cos 2 |
. |
Оскільки |
|
|||||
|
|
|
r 2 |
|
- 54 -
r2 x2 y2 l 2 , |
cos 1 cos 2 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
, то рівняння |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(x |
2 |
y |
2 |
l |
2 |
1/ 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
||||
(2.90) запишеться в такому вигляді: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dФ(x, y, )d |
L(x, y, )l 2dS |
dxdy |
d . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.91) |
||||
|
(x2 y2 l 2 )2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Цьому значенню спектрального потоку відповідає середня |
|||||||||||||||
кількість фотонів в секунду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
N (x, y, ) d |
dФ(x, y, ) d |
|
|
|
|
|
|
|
(2.92) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
hc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і дисперсія потоку квантів N 2 (x, y, )d .
Оскільки у виразі (2.90) величина i,k ,n |
являє собою відношення |
||||||
сигналу до завад по потужності, то |
|
||||||
i,k ,n |
N (xi , yk , n ) d 2 |
. |
(2.93) |
||||
N 2 (x , y |
|
, |
|
) d |
|||
|
k |
n |
|
|
|||
|
i |
|
|
|
|
||
При умові, що розподіл кількості фотонів за 1 секунду |
|||||||
підпорядковується |
закону Пуассона |
і виконується умова |
|||||
N 2 N t 1 , маємо: |
|
|
|
|
i,k ,n |
|
|
, n ) d |
L(x , y |
k |
, |
n |
)l |
2 dS |
2 |
dxdyd |
|
|
N (xi , yk |
i |
|
|
|
|
. |
(2.94) |
||||||
hc(l |
2 x2 |
y2 ) t 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
k |
|
|
|
|
Підставляючи (2.94) у (2.90), отримаємо значення інформації, що
міститься в полі випромінювання простору предметів, коли яскравість
описується детермінованою функцією L(q) .
У випадку, коли яскравість L(q) у просторі предметів змінюється
від реалізації до реалізації випадко і являє собою стаціонарний процес, то кількість інформації, яка міститься в яскравісному полі L(x, y) , визначиться виразом
H (1 2F |
X )(1 2F |
|
|
(1 |
фс2 |
1/ 2 |
|
|
Y ) log |
|
|
) |
, |
(2.95) |
|||
|
2 |
|||||||
xm |
ym |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
- 55 -
де Fxm , Fym - значення максимальних просторових частот в яскравісному спектрі потужності; Х,У – максимальне значення координат поля, фс2 - дисперсія просторових флуктуацій потоку, що попадає на одиничну вхідну зіницю, зумовлену випадковими змінами яскравості за всіма можливими реалізаціями яскравісного поля, ш2 - дисперсія часових флуктуацій потоку яскравісного поля, зумовлена шумами при середньому значенні яскравості L .
2.6. Типові яскравісні поля в просторі предметів
Хоча в кожному конкретному випадку розподіл яскравості в просторі предметів буде відмінний, можна виділити ряд типових полів, які будуть характерними для розгляду роботи ОЕП.
2.6.1. Ідеальне точкове джерело
Нехай всю енергію, зосереджену в геометричній точці з
координатами x0 , y0 , у просторі предметів можна |
описати δ- |
|||||||
функцією: |
|
|
|
|
|
|||
|
L(x, y) L0 (x x0 , y y0 ) . |
|
(2.96) |
|||||
Спетр Фур’є такої функції має вигляд |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(i x , i y ) L0 |
|
(x x0 , y y0 ) exp( i( x x y y))dxdy |
(2.97) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L0 exp i( x x0 |
y y0 ) . |
|
|
|||||
Звідси амплітудні та фазові характеристики просторово- |
||||||||
частотного спектра такі: |
|
|
||||||
|
L(i x , i y ) |
|
L0 , (x , y ) x x0 y y0 . |
|
(2.98) |
|||
|
|
|
У зв’язку з цим на всіх частотах гармонік просторових частот однакова та дорівнює L0 .
Кількість інформації, яку можна отримати від точкового джерела
визначається виразом |
|
I IL IФ IK . |
(2.99) |
- 56 -
Тут IL , IФ , IK - складові кількості інформації, які можна тримати
експериментально в результаті встановлення (ідентифікації) яскравості джерела, його форми та положення в системі координат.
Для |
|
точкового джерела xm ,ym , |
X ,Y 0 , тому |
N lim |
(1 2Fxm X )(1 2FymY ) 1. |
|
|
X ,Y |
|
|
|
У зв’язку з цим для ідентифікації форми яскравісного профіля такого джерела достатньо володіти однією точкою відліку, саме тому
IL IФ log(1 )1/ 2 , |
(2.100) |
|
де |
- відношення квадрата потоку до дисперсії його |
фотонних |
змінних флуктуацій. |
|
|
Складову I K обчислимо вводячи функцію густини ймовірності, |
||
що визначає положення джерела (x, y) : |
|
|
|
|
|
IK |
H K (x, y) log2 x y (x, y) dxdy. |
(2.101) |
|
де x , y - мінімальні похибки, з якими можна поміряти координати джерела.
Теоретично для точкового джерела значення x та y не можуть
бути меншими, ніж величина дифракційного круга розсіяння, що розраховується згідно з методикою Релея.
Припустивши, що функція підпорядковується нормальному закону,
(x, y) (2 |
|
) 1 exp( |
1 |
( |
x2 |
|
y2 |
)) |
||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
2 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
маємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
log |
|
( |
2e x y |
) . |
|
|
|
|
|
|
||
K |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді
I IL IФ IK
|
|
|
(1 )1/ 2 2e |
|
|
log |
|
|
x |
y |
. |
|
|
|
|||
|
2 |
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
- 57 -
2.6.2. Кругле джерело постійної яскравості
Розподіл яскравості такого джерела описується функцією
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
x |
2 |
y |
2 |
r |
||
L |
|
|
|
|
|||||
L(x, y) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 , |
|
|
x2 |
y2 |
||||||
0 |
при |
r |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
де початок координат збігається з його центром (рис. 51).
Рис. 51. Функція яскравості
Оскільки функція L(x, y) має осьову симетрію, то для
знаходження просторовочастотного спектра доцільно застосувати перетворення Ганкеля, в результаті чого отримаємо:
|
|
|
|
|
|
|
J |
( r ) |
|
||
|
L( r ) L0 2 rJ0 |
( r r)dr 2 r02 |
|
||||||||
|
|
1 |
r 0 |
, |
(2.103) |
||||||
|
r r0 |
||||||||||
|
|
|
2 |
0 |
1/ 2 |
|
|
|
|
||
де |
|
r |
2 |
- просторові |
частоти |
в деякому |
напрямку, |
||||
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
J0 (r r) та J1 ( r r) - функції Бесселя нульвого та першого порядків.
- 58 -
Рис. 52. Функція J0 (r r)
Загальна кількість інформації, яка може бути отримана в результаті ідентифікації яскравості джерела, його форми та пложення
центру в системі x, y визначаться також сумою I IL IФ IK . Складову I K визначають аналогічно попередньому випадку через
функцію густини ймовірності знаходження центра джерела - (x, y) . Сума IL IФ визначається з того, що за рахунок осьової симетрії
функцію яскравості доцільно подати в полярній системі координат r, .
L |
при |
r r , |
0 2 |
|
|
|
L(r, ) |
0 |
|
0 |
|
. |
(2.104) |
|
0 |
при |
r r0 , |
0 2 |
|
|
Отже, яскравість джерела та його форма можуть бути визначені (ідентифіковані), якщо будуть виміряні яскравості в деякій кількості
точок уздовж радіуса (в області 0 r r0 ) та при деяких значеннях кута ( 0 2 ).
Визначимо кількість точок, на які необхідно дискретизувати функцію L(r, ) за радіусом r і кутом відповідно до теореми
Котєльнікова. Знайдемо прострові частоти функцій L(r) і L( ) роздільно. Згідно із (2.103), просторово-частотний спектр фунції L(r) (тобто вздовж радіуса) лежить у межах від 0 до частот r . Проте з точки зору «енергії» можна вважати, що найбільша її частина
- 59 -
зосереджена |
в |
області частот |
0 r 0 10,2 / r0 . Звідси можна |
||||||||
припустити, |
що |
максимальна |
частота F |
10,2 |
|
і |
величина |
||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
rm |
2r0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2F r |
10,2 |
3 . Відповідно для визначення форми вздовж радіуса |
|||||||||
|
|||||||||||
rm 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
необхідно розбити цей радіус на 3 ділянки ( N |
X |
) |
r |
r0 |
і |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2Fxm |
|
3 |
|
взяти чотири точки відліку; одну в центрі і три з кроком r .
Для визначення форми яскравісного профілю по окружності в кожному радіусі з інтервалом r необхідно знайти спектр Фур’є- функції L( ) у межах кутів r 0 (рис. 53).
Рис. 53. Визначення спектра функції L( )
|
|
|
|
|
sin |
||
L(i |
) L |
|
exp( i )d 2 L |
||||
|
|||||||
|
|
. |
|||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Спектр цієї функції зображений на рис. 54.
- 60 -