FOKOEP_-_CHastina_2
.pdf
Доволі суттєво, що введені значення спектральної густини потоку Ф( ,t) [вт/гц] і спектральна густина кількості фотонів
N ( ,t) [ г ц 1 с 1 ] будуть залежать від вибору інтервалу , на якому
відбувається їх усереднення, тобто будуть функціями часу. Середнє їх значення визначається виразами
Ф ( ) 1 T Ф( , t)dt,
limT 2T T
N ( ) 1 T N ( , t)dt.
limT 2T T
Відповідно до (2.64), будемо мати:
N ( ) Ф ( ) . h
Якщо тіло випромінює як сіре або чорне, то значення
(2.65)
(2.66)
Ф ( )
визначається на основі формули Планка.
Якщо спектральна густина задана у функції довжини хвилі, то
N ( ) |
|
|
|
Ф |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
(2.66а) |
|||||||
|
|
hc |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
оскільки |
h |
|
|
|
, |
c - швидкість сітла. Середнє значення має |
|||||||||||||||
hc |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
наведений |
вище |
зміст. Одиниця вимірювання величини |
N ( ) |
- |
|||||||||||||||||
с 1 мкм 1 , Ф |
- |
вт мкм 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Загальна |
кількість |
фотонів у всьому спектральному |
діапазоні |
||||||||||||||||||
(кількість квантів у секунду) буде такою: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
N |
|
|
1 |
|
|
Ф( ) d |
1 |
Ф( ) |
d . |
|
|
(2.67) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ф |
hc |
|
|
h |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Якщо довжина хвилі подана в мкм, спектральна густина потоку |
|||||||||||||||||||||
Ф() - у |
вт мкм 1 |
і швидкість поширення випромінювання - |
у |
||||||||||||||||||
мкм с 1 , то розрахункова формула для значення N |
Ф |
буде така: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- 41 -
|
|
NФ 5,03 1018 Ф( ) d . |
(2.68) |
0 |
|
Нехай у просторі предметів у деякій точці задана спектральна |
|
яскравість у вигляді функції |
довжини хвилі L() в одиницях - |
Вт см 2 ср 1 мкм 1 , тоді |
спектральна яскравість, виражена |
кількістю фотонів у секунду, буде такою:
NL ( ) |
L() |
5,031018 L( ). |
(2.69) |
||||
hc |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Одиниця вимірювання N |
L |
( ) - с 1 |
см 2 |
ср 1 мкм 1 . |
|||
|
|
|
|
|
|
||
Інтегральна яскравість, виражена кількістю фотонів у секунду, що випромінюються площадкою в 1 см 2 у тілесний кут 1 ср по нормалі до її поверхні, визначиться інтегралом
N L ( ) 5,03 1018 L( ) d .
0
Одиниця вимірювання NL ( ) - с 1 см 2 ср 1 .
У функції частоти спектральна яскравість у фотонних одиницях виражається аналогічно:
N |
|
( ) |
L() |
. |
(2.70) |
L |
|
||||
|
|
h |
|
||
|
|
|
|
||
Інтегральна, відповідно, буде такою: |
|
||||
|
|
|
1 |
|
L( ) |
|
|
N |
L |
( ) |
h |
|
|
d . |
(2.71) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Одиниці вимірювання цих величин - |
Гц 1 с 1 см 2 ср 1 та |
||||||
с 1 см 2 ср 1 |
відповідно. |
|
|||||
2.4.1. Флуктуації поля випромінювання
Як уже зазначалось, потік випромінювання в просторі предметів формується великою числом випромінюваних квантів. Сам процес випромінювання має випадковий характер. Тому наведені вище величини, що виражають кількість фотонів, випущених у секунду і дозволяють визначити середній потік чи яскравість, слід розглядати як
- 42 -
середні в часі. Ці величини флуктуюють у часі. Величина їх флуктуацій буде залежати від природи випромінювання тіла, його температури.
Визначимо флуктуації потоку, яскравості чи світності для «сірих» чи «чорних» тіл. Для таких тіл генерація випромінювання підпорядковується статистиці Бозе-Енштейна. Для неї характерно, що при енергіях фотонів h kT їх можна розглядати як незалежні корпускули. При енергіях h kT спостерігається часткове злипання
|
|
|
h |
|
||||
фотонів і середня енергія фотона |
|
|
|
|
|
стає однаковою для |
||
exp( |
h |
) 1 |
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
kT |
|
|||
всіх частот, тобто kT .
Відома така формула для флуктуації енергії системи, в умовах термодинамічної рівноваги із температурою T і середньою енергією
E :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 kT 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
||
|
|
2 (E |
|
)2 |
E 2 |
|
|||||||
E |
E |
E |
(2.72) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
||
Тут усереднення здійснено за ансамблем випадкових величин у заданому фазовому просторі (формула Енштейна-Фаулера).
Для чорного тіла характерні такі значення енергетичних величин: 
Ф
S 
M 
S 
L
- повний потік енергії в напівсферу (повна
потужність), 
M 
- світність. Якщо 
- об’ємна густина енергії, то
4c 
M 
4c T 4 . - постійна Стефана-Больцмана. Відповідні значення спектральних густин такі:
M ( ) |
|
c |
( ) |
|
2h 3 |
|
1 |
|
|
, |
(2.73) |
|||
4 |
c2 |
|
h |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp( |
|
) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|||
L( ) |
1 |
|
|
M ( ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.74) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Середня енергія, що випромінюється чорним тілом (отвором АЧТ) площею S за час t , така:
- 43 -
E
Ф
t 
M 
S t T 4 S t.
В інтервалі частот d |
в околі частоти |
середня енергія буде |
|||||
такою: |
|
|
|
|
|
|
|
dE |
E d dФ |
t Ф |
d t M ( ) d S t , |
де |
|||
M ( ) - спектральна густина світності ЧТ, що задається виразом |
|||||||
(2.73). |
|
|
|
|
|
|
|
Розглянемо таку модель випромінювання. |
|
|
|
||||
Нехай |
маємо |
чорне тіло при |
температурі Т з |
отвором |
S . |
||
Уведемо |
шкалу |
відліку |
часу |
t із |
малим |
інтервалом |
|
t t1 t0 t2 t1 ti 1 ti .
Рис. 47. До розрахунку флуктуацій світлового поток
Вважаємо, що енергія, яка випромінюється в інтервалі оптичних
частот |
d в |
околі частоти |
з |
отвору |
S |
за малий |
інтервал |
t ti 1 |
ti , буде такою: dE i |
E i |
d , де |
E i - спектральна густина |
|||
енергій, |
що |
відповідає |
інтервалу |
t . |
Оскільки |
процес |
|
випромінювання має випаковий (квантований) характер, то порції енергії, що відповідають моментам ti , будуть величинами
флуктуюючими. Тобто значення dE 1 , dE 2 ,..., dE i - випадкові
величини, дисперсію яких можна визначити за формулою ЕнштейнаФаулера (2.72).
Згідно із цією формулою, дисперсія спектральної густини енергії, що випромінюється за однаковий час t , визначається так:
- 44 -
dE2 |
kT2 |
|
M |
|
t S. |
|
|
(2.75) |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Згідно із (2.73), матимемо: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ) h E( ) d D( ), (2.76) |
||
dE2 |
(dE |
dE |
|
)2 ( |
dE2 |
dE |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де D( ) |
|
exp(h / kT) |
- величина, що |
враховує відмінність |
|||||||||
|
|
||||||||||||
exp(h / kT) 1 |
|||||||||||||
статистики Бозе-Енштейна |
від |
статистики |
Больцмана. Коли |
||||||||||
h kT , значення D( ) 1.
E M ( ) t S |
2h 3 |
|
1 |
|
|
t S. |
||
c2 |
exp(h / kT) |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
||||
Розглянемо |
саме флуктуації |
світлового потоку. Зауважимо, що |
||||||
миттєве значення світлового потоку dФ (t) |
|
dE |
- дуже сильно |
|||||
|
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
флуктуююча величина, оскільки випромінювання фотону миттєве. Однак вимірюючий пристрій завжди проводить усереднення
потоку випромінювання впродовж деякого часу t . Час усереднення буде залежати від властивоcтей приймача та підсилюючого електронного пристрою. Так, для вузькосмугового підсилювача на
несучій радіочастоті f |
|
|
зі смугою f |
( f 1) |
час t |
1 |
. |
|||||||||
0 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f0 |
|
f |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Значення спектрального потоку, усередненого за час |
dФ (t) , можна |
|||||||||||||||
визначити так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
t t / 2 |
|
|
|
dE , t |
|
|
|
|
|
||||
dФ |
(t) |
|
|
|
dФ (t)dt |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
, t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
t / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Дана величина потоку буде флуктуюючою. Її серенє значення, |
||||||||||||||||
отримане усередненням за великим інтервалом часу, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
t t / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dФ |
lim |
|
|
dФ (t)dt, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
t t t / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
- 45 -
або за ансамблем випадкових величин dФ |
|
dE |
t |
, повинно |
|
|
|||
, t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
визначатися формулою Планка: |
|
|
|
|
dФ |
2h 3 |
|
|
1 |
|
d S. |
|
c2 |
|
|
|
||||
|
|
|
exp(h / kT) 1 |
||||
Чим |
менший |
час t |
|
усереднення світлового потоку, тим |
|||
більшими будуть його флуктуації. Ця обставина ілюстується рис. 48.
Рис. 48. Флуктуації світлового потоку ЧТ для різних інтервалів усереднення
за часом: 1 t1 ,2 t2 ,3 t , t1 t2
За аналогією із величиною dФ , t (t) , можна ввести значення
світності та яскравості ЧТ, які також будуть флуктуюючими та залежатимуть від часу усереднення t , площі S і тілесного кута(яскравість):
dМ , t , S (t) dФ , t (t) S 1 ,
dL , t , S , (t) dФ , t (t) S 1 1 dM , t , S (t) 1.
Дисперсію світлового потоку в інтервалі d можна визначити усередненням за часом згідно з виразом:
dФ2 |
|
lim |
1 |
T (dФ |
(t) dФ )2 dt |
|
|
|
|||||
|
t |
T T |
|
, t |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
- 46 -
або усередненням за ансамблем випадкових величин dE , t :
dФ2 |
|
|
dE , t |
|
. |
||
|
t |
|
dE |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
, t |
dФ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розділивши вираз (2.76) на t 2 , матимемо: |
|
||||||||||
dФ2 |
|
dФ |
|
(t) |
|
2 Ф2 ( ) |
|
d |
|
||
|
|
dФ |
|
|
|||||||
|
t |
, t |
|
|
|
|
t |
|
(2.77) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
h Ф( , t) d D( ,T ) t 1, |
|
|
|
|
|||||||
де величина |
Ф2 ( ) |
|
|
Ф2 ( ,T ) |
- спектральна густина дисперсії |
||||||
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
світлового потоку ЧТ при температурі Т, усереднена за інтервалом
часу t . |
Одиниці дисперсії |
потоку |
Ф2 ( ) |
- |
Вт2 , |
а |
його |
||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
спектральна густина - Вт2 / Гц . |
|
|
|
|
|
||||
Аналогічно із (2.76), вводячи елементи t, S, , отримаємо |
|||||||||
дисперсію спектральної світності та яскравості: |
|
|
|
|
|||||
M 2 |
( , t) d h M ( ,T ) d D( , t) t 1 S 1. |
|
(2.78) |
||||||
t , S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
( , t) d h |
L( ,T ) d D( , t) t 1 S 1 1. |
(2.79) |
|||||
t , S , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Одиниці вимірювань |
у |
введених |
величин |
Вт2 см 4 |
та |
||||
Вт2 см 4 |
стр 2 відповідно. |
|
|
|
|
|
|
||
Отримані вище дисперсії можна також подати у фотонних |
|||||||||
одиницях світлового потоку |
N( ,T ) , світності |
NM ( ,T ) , яскравості |
|||||||
NL ( ,T ) , вводячи відповідні дисперсії. Використовуючи вирази
(2.77)-(2.79), матимемо:
- 47 -
Ф2t ( ,T )
d h 2 
N 2t ( , t)
d ,
|
2 |
|
|
hс 2 |
|
|
2 |
|
|
|||
Ф |
|
|
( ,T ) d |
|
|
|
N |
t |
( , t) d , |
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
(2.80) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M 2t , S ( ,T ) d h 2 |
|
NM2 , t , S ( , t) d , |
|
|||||||||
L2 t , S , ( ,T ) d h 2 |
|
N L2, t , S , ( , t) d . |
|
|||||||||
Значення дисперсій фотонних спектрів потужності, світності та |
||||||||||||
яскравості згідно з (2.77)-(2.79), будуть такими: |
|
|||||||||||
N |
2 |
|
( ,T ) d N ( , t) d D( ) t 1 , |
|
||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
2 |
|
|
( ,T ) d |
N |
M |
( , t) d D( ) t 1 S 1 , |
(2.81) |
||||
|
M t , S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
N |
2 |
( ,T ) d N |
L |
( , t) d D( ) t 1 S 1 1. |
|
|||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4.2. Розрахунок флуктуацій енергетичного спектра
Квантовий механізм випромінювання приводить до флуктуацій світлового потоку відносно середнього значення. А це у свою чергу зумовлює те, що на постійну складову енергетичних величин (потік, світність, яскравість) накладається випадкова змінна у вигляді білого шуму. Крім того, коли робоча площадка приймача (насамперед ІЧприймача) приймає потік випромінювання, то вона знаходиться під впливом вищезгаданого білого шуму, а також шуму, створеного оточуючим серевищем і шумом власного випромінювання. Саме ці обставини і приводять до обмежень чутливостей приймачів ІЧдіапазону. Здійснимо розрахунок флуктуацій світлового потоку, використовуючи поняття спектра потужності.
Згідно з (2.77), флуктуації потоку, усередненого за час t , в
інтервалі d такі: dФ , t (t) 
dФ 
2 
dФ2 (t)
t 
dФ2 (t)
t d будуть пропорційними значенню постійної складової потоку й обернено пропрційними часу його усереднення. Сам вимірювальний
потік dФ , t (t) dФ~ (t) dФ складається з постійної dФ та змінної dФ~ (t) складових, причому змінна складова формується
- 48 -
широким спектром частот f . Очевидно, що середнє значення змінної складової дорівнює нулю 
dФ~ (t)
0 .
Оскільки процес випромінювання можна вважати випадковим і стаціонарним, то його можна розглядати як спектр потужності (спектр Вінера-Хінчера):
|
|
|
|
|
Ф2 ( ,T ) d S ( f )df |
2 S ( f )df , |
(2.82) |
||
|
|
|
0 |
|
де S ( f ) - спектральна |
|
густина дисперсії світлового потоку, |
||
визначеного в інтервалі d |
оптичної частоти . |
|
||
Нехай світловий потік |
|
Ф( )d реєструється |
підсилювачем |
|
змінного сигналу в околі частоти f в інтервалі радіочастот f .
Тоді усереднене значення спектральної глубини дисперсії світлового потоку за смугою f , згідно з (2.82), буде таким:
|
|
f |
f |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Ф2 ( ,T ) |
d 2 |
S ( f )df |
2S ( f ) f . |
(2.83) |
|
|
f |
|
f |
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Дисперсія потоку Ф f ( ,T )d , визначену у смузі |
f , можна |
||||
розглядати як таку, що отримана з ансамблю випадкових величин сигналів, отриманих у різні часові моменти.
Тоді значенню дисперсії, згідно з (2.83) можна поставити у відповідність дисперсію світлового потоку, усередненого за інтервалом часу t . Дані дисперсії повинні бути пов’язані між собою
відповідними інтервалами |
t |
і f |
згідно з рівністю f t 1 . |
Тобто усереднення по інтервалу смуги f еквівалентне часу t 1 . |
|||
На основі (2.77) маємо: |
|
|
|
Ф2 ( , t) d Ф2 |
( , t) |
|
d 2S ( f ) f |
|
|
t |
,t |
|
f |
|
(2.84) |
|
|
|
|||
Sh 
M ( ,T )
D( )d f .
Спектральна густина дисперсії випромінювання оптичного діапазону має характер білого шуму аж до діапазону, межуючого з оптичним. Відповідно до (2.84), її значення
- 49 -
2S ( f ) Sh 
M ( ,T )
D( )d , а сама функція S ( f ) зображена на рис. 49.
Рис. 49. Спектр Віннера-Хінчера для чорного тіла оптичного діапазону
Повне значення дисперсії потоку, що випромінюється площею
S у всьому спектральному діапазоні, |
отримується інтегруванням |
|||||||||||||||||||||
виразу (2.84) в межах оптичних частот |
від 0 до : |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф2 |
Ф2 |
|
f S |
h M ( ,T ) D( )d |
||||||||||||||||||
|
f |
|
|
t |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.85) |
|
|
2h2 4 |
exp(h kT) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
f S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d , |
|
|
|
|
|||
|
c |
2 |
|
exp(h kT 1) |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де S - площа |
отвору |
ЧТ, |
значення |
|
f |
|
повинно відповідати |
|||||||||||||||
напівширині смуги електронного тракту підсилювача. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4ex |
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Інтегруючи |
|
(2.85), |
|
x |
|
2 dx |
|
|
|
|
отримаємо повне |
|||||||||||
|
|
(e |
1) |
15 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
значення дисперсії світлового потоку: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ф2 |
4f Sk T 5 f S 4kT M (T ) , |
|
|
(2.86) |
||||||||||||||||||
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1,3810 23 |
Дж К 1 |
- постійна Больцмана, |
|
|||||||||||||||||||
- 50 -