MetodMA1

63

Нехай функцiя y = f(x) диференцiйовна в точцi x0 2 Df . Тодi для малих значень приросту аргументу ¢x, для яких x0 + ¢x 2 Df , маємо

f(x0 + ¢x) ¡ f(x0) = (¢f)(x0) ¼ df(x0):

Тому

f(x0 + ¢x) ¼ f(x0) + f0(x0) ¢x:

Якщо функцiя задається параметричними рiвняннями x = '(t), y = Ã(t), t 2 T , де ' i à – диференцiйовнi на T , причому '(t) =6 0 на T , то вона диференцiйовна на множинi X = '(T ), причому її похiдна задається такими параметрични-

1.Для функцiї f(x) = x3 ¡ 2x + 1 обчислити ¢f(1) та df(1) i порiвняти їх, якщо:

65

3.4. Похiднi та диференцiали вищих порядкiв

Нехай функцiя f диференцiйовна в кожнiй точцi деякої множини X µ Df , яка є околом точки x 2 X. Якщо функцiя f0 є диференцiйовною в точцi x, то її похiдна в цiй точцi називається похiдною другого порядку функцiї f i позначається через f00(x) або ddx2f2 (x), тобто

f00(x) = (f0(x))0:

При цьому кажуть, що функцiя f двiчi диференцiйовна в точцi x.

Аналогiчно, якщо для деякого n ¸ 2 функцiя f має похiдну (n¡1)-го порядку в кожнiй точцi деякої множини X µ Df , яка є околом точки x 2 X, i ця похiдна f(n¡1) диференцiйовна в точцi x, то похiдна функцiї f(n¡1) в точцi x називається похiдною n- го порядку функцiї f у точцi x i позначається через f(n)(x) або ddxnnf (x), тобто

При цьому кажуть, що f є n разiв диференцiйовною в точцi x. Якщо функцiя f n разiв диференцiйовна в точцi x (n ¸ 2), то диференцiалом n-го порядку вiд функцiї f називається диференцiал вiд диференцiала (n ¡ 1)-го порядку вiд функцiї f i

позначається вiн dnf(x), тобто

dnf(x) = d(dn¡1f(x)):

Якщо x – незалежна змiнна, то

dnf(x) = f(n)(x) dxn:

Теорема 1 (похiднi n-го порядку вiд елементарних функцiй). Нехай n 2 N, p 2 R, a > 0 (a 6= 1). Тодi для всiх тих

68

Вважаючи, що u – n разiв диференцiйовна функцiя вiд x, знайти диференцiал dny вказаного порядку n для таких фун-

66.Довести, що функцiя y = C1 cos x + C2 sin x, де C1 i C2 – довiльнi сталi, задовольняє рiвняння y00 + y = 0.

67.Довести, що функцiя y = C1 ch x + C2 sh x, де C1 i C2 – довiльнi сталi, задовольняє рiвняння y00 ¡ y = 0.

68.Довести, що функцiя y = C1 e¸x + C2 e¹x, де C1 i C2 – довiльнi сталi, а ¸; ¹ – фiксованi числа, задовольняє рiвняння y00 ¡ (¸ + ¹)y0 + ¸¹y = 0.

69

69.Довести, що функцiя y = xp(C1 cos(ln x) + C2 sin(ln x)), де

C1 i C2 – довiльнi сталi, а p – фiксоване число, задовольняє рiвняння x2y00 + (1 ¡ 2p)xy0 + (1 + p2)y = 0.

70.Довести, що функцiя

де n 2 N, у точцi x = 0 має похiднi до n-го порядку включно i не має похiдної (n + 1)-го порядку.

нескiнченно диференцiйовна в точцi x = 0. Побудувати графiк цiєї функцiї.

3.5. Основнi теореми диференцiального числення

Теорема Ролля. Нехай функцiя f : [a; b] ! R неперервна на вiдрiзку [a; b], диференцiйовна на iнтервалi (a; b) i f(a) = f(b). Тодi iснує таке c 2 (a; b), що f0(c) = 0.

Теорема Лаґранжа. Нехай функцiя f : [a; b] ! R неперервна на вiдрiзку [a; b] i диференцiйовна на iнтервалi (a; b).

Тодi iснує таке c 2 (a; b), що f0(c) = f(b)¡f(a) .

b¡a

Теорема Кошi. Нехай функцiї f : [a; b] ! R i g : [a; b] ! R

неперервнi на вiдрiзку [a; b] i диференцiйовнi на iнтервалi (a; b),

70

1.Перевiрити правильнiсть висновку теореми Ролля для функцiї f(x) = (x ¡ 1)(x ¡ 2)(x ¡ 3) на вiдрiзку:

а) [1; 2]; б) [2; 3].

p

2.Функцiя f(x) = 1 ¡ 3 x2 така, що f(¡1) = f(1) = 0. Чому для функцiї f не справджується висновок теореми Ролля на вiдрiзку [¡1; 1], тобто f0(x) 6= 0 для кожної точки x 2

(¡1; 1)?

3.Нехай функцiя f : [a; b] ! R – неперервна на вiдрiзку [a; b],

n разiв диференцiйовна на iнтервалi (a; b) i a = x0 < x1 <

: : : < xn = b – такi точки, що f(x0) = f(x1) = : : : = f(xn). Довести, що iснує точка c 2 (a; b), така, що f(n)(c) = 0.

4.Нехай многочлен P (x) = a0 + a1x + : : : + anxn з дiйсними

коефiцiєнтами a0; a1; : : : ; an 2 R з an 6= 0 має лише дiйснi коренi. Довести, що його похiднi P 0(x); P 00(x); : : : P (n¡1)(x) також мають лише дiйснi коренi.

5.Довести, що у многочлена Лежандра

всi коренi дiйснi.

71

8.На кривiй y = f(x) знайти точку, через яку проходить дотична, паралельна до прямої AB, якщо:

а) f(x) = x2, A(0; 1) i B(3; 4); б) f(x) = x3, A(¡1; 1) i B(2; 8).

9.Нехай f : R ! R – диференцiйовна функцiя, така, що f(x + y) ¡ f(x) = yf0(x) для довiльних x; y 2 R. Довести,

що iснують a; b 2 R, такi, що f(x) = ax + b для кожного

x 2 R.

10.Нехай f : R ! R – двiчi диференцiйовна функцiя, така,

що f(x + y) ¡ f(x) = yf0(x + y2 ) для довiльних x; y 2 R. Довести, що iснують a; b; c 2 R, такi, що f(x) = ax2 +bx+c для кожного x 2 R.

11.Для функцiї

перевiрити правильнiсть висновку теореми Лаґранжа на вiдрiзку [0; 2].

12.Нехай y = f(x) – неперервно диференцiйовна на iнтервалi (a0; b0) функцiя i c 2 (a0; b0). Чи обов’язково iснують то-

13.За допомогою теореми Лаґранжа довести нерiвностi: а) j sin x ¡ sin yj · jx ¡ yj для довiльних x; y 2 R;

б) j cos x ¡ cos yj · jx ¡ yj для довiльних x; y 2 R;

в) jx ¡ yj · j tg x ¡ tg yj для довiльних x; y 2 (¡¼2 ; ¼2 ); г) j arctg x ¡ arctg yj · jx ¡ yj для довiльних x; y 2 R;

72

ґ) p yp¡1(x ¡ y) · xp ¡ yp · p xp¡1(x ¡ y) для довiльних

0 < y < x i p > 1;

д) x¡xy · ln xy · x¡y y для довiльних 0 < y < x.

14. Нехай функцiя y = f(x) неперервна на вiдрiзку [a; b] i диференцiйовна на iнтервалi (a; b), причому a; b > 0. Довести, що iснує таке c 2 (a; b), що

15.Нехай функцiя y = f(x) диференцiйовна на скiнченному iнтервалi (a; b) i необмежена на цьому iнтервалi. Довести, що її похiдна f0(x) також необмежена на (a; b). Побудувати приклад функцiї, який показує, що оберенене твердження є хибним.

16.Нехай функцiя y = f(x) диференцiйовна на iнтервалi (a; b), причому її похiдна f0(x) обмежена на (a; b). Довести, що f рiвномiрно неперервна на (a; b).

17.Нехай функцiя y = f(x) диференцiйовна на iнтервалi

18.Нехай функцiя y = f(x) диференцiйовна на iнтервалi (a; b), причому f0(x) = 0 для кожного x 2 (a; b). Довести, що f(x) = const при x 2 (a; b).

19.Нехай функцiя y = f(x) диференцiйовна на R, причому f0(x) = k для кожного x 2 R. Довести, що f(x) = kx + b при x 2 R.

20.Нехай n 2 N i y = f(x) – n разiв диференцiйовна на R функцiя, така, що f(n)(x) = 0 для кожного x 2 R. Довести, що f(x) – многочлен степеня, що не перевищує n.