MetodMA1

1.3.Рацiональнi та iррацiональнi числа . . . . . . . 11

1.4.Обмеженi числовi множини та їх точнi межi . 12

1.5.Означення границi послiдовностi . . . . . . . . 15

1.6.Правила знаходження границь . . . . . . . . . 17

1.7.Ознаки iснування границь послiдовностей . . 19

1.8.Верхня i нижня границi послiдовностi . . . . . 24 Роздiл II. Границя та неперервнiсть функцiї . . . . . 27

2.1. Функцiї та їх властивостi . . . . . . . . . . . . 27

2.2.Означення границi функцiї . . . . . . . . . . . 32

2.3.Правила знаходження границь, обчислення границь рацiональних та iррацiональних

2.5.Означення неперервної функцiї . . . . . . . . . 43

2.6.Дослiдження функцiй на неперервнiсть та класифiкацiя точок розриву . . . . . . . . . . 45

3.1.Похiдна функцiї та її знаходження . . . . . . . 55

3.2.Геометричний змiст похiдної та його застосування . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3.Диференцiал функцiї . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4.Похiднi та диференцiали вищих порядкiв . . . 65

3.5.Основнi теореми диференцiального числення . 69

3.6. Правило Лопiталя . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4

3.7.Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.8.Застосування похiдної до дослiдження функцiй

на монотоннiсть i екстремуми . . . . . . . 78 3.9. Найбiльше i найменше значення функцiї . . . 81 3.10. Побудова графiкiв функцiй . . . . . . . . . . 86 Список лiтератури . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5

Роздiл I. Дiйснi числа i послiдовностi

1.1. Метод математичної iндукцiї

Для того, щоб довести iстиннiсть тверджень Tn при n 2 N достатньо:

1)перевiрити iстиннiсть твердження T1 (база iндукцiї);

2)припустивши, що твердження Tn iстинне для деякого натурального n = k (iндуктивне припущення), довести, що твер-

дження Tn iстинне i для наступного n = k + 1 (iндуктивний перехiд).

З допомогою методу математичної iндукцiї довести, що для кожного n 2 N виконуються такi рiвностi:

6

nцифр

18.Довести нерiвнiсть Бернуллi:

(1 + x1)(1 + x2) : : : (1 + xn) ¸ 1 + x1 + x2 + : : : + xn, де x1; x2; : : : ; xn – числа одного знака, бiльшi вiд ¡1. Довести нерiвностi:

19.(1 + x)n ¸ 1 + nx, де x ¸ ¡1;

20.n+11 + n+21 + : : : + 21n > 1324 при n > 1;

7

24.2! ¢ 4! ¢ : : : ¢ (2n)! > [(n + 1)!]n при n > 1;

25.nn+1 > (n + 1)n при n > 2;

30. j sin (x1 + x2 + : : : + xn)j · sin x1 + sin x2 + : : : + sin xn, де

0 · x1; x2; : : : ; xn · ¼;

31.(1 ¡ x1)(1 ¡ x2) ¢ : : : ¢ (1 ¡ xn) ¸ 12 , якщо x1; x2; : : : ; xn ¸ 0 i x1 + x2 + : : : + xn · 12 ;

nкоренiв

34.n+11 + n+21 + : : : + 3n1+1 > 1;

35.2n¡1(an + bn) ¸ (a + b)n, де a; b ¸ 0;

8

38.Довести, що для кожного натурального n вираз а) n(2n2 ¡ 3n + 1) нацiло дiлиться на 6;

б) (n3 + 11n) нацiло дiлиться на 6;

в) n3 + 3n2 + 5n + 3 нацiло дiлиться на 3; г) 11n+1 + 122n¡1 нацiло дiлиться на 19; ґ) 5 ¢ 33n¡2 + 33n¡1 нацiло дiлиться на 133;

д) 62n¡2 + 3n+1 + 3n¡1 нацiло дiлиться на 11; е) n5 ¡ n нацiло дiлиться на 5;

є) n7 ¡ n нацiло дiлиться на 7;

ж) 4n + 15n ¡ 1 нацiло дiлиться на 9.

39.Довести, що n рiзних прямих, якi проходять на площинi через одну точку, дiлять площину на 2n частин.

40.На скiльки частин дiлять простiр n площин, що проходять через одну точку так, що жоднi три з них не проходять через одну пряму?

41.Дано n довiльних квадратiв. Довести, що їх можна розбити на частини так, що з отриманих частин можна скласти новий квадрат.

1.2.Формула бiнома Ньютона

Для довiльних n 2 N i a; b 2 R має мiсце така рiвнiсть, яка називається формулою бiнома Ньютона:

(a+b)n = Cn0an +Cn1an¡1b+: : :+Cnkan¡kbk +: : :+Cnn¡1abn¡1 +Cnnbn;

11

1.3. Рацiональнi та iррацiональнi числа

Числа вигляду mn , де m 2 Z i n 2 N, називаються рацiональними. Множина рацiональних чисел позначається через Q.

Дiйсне число є рацiональним тодi i тiльки тодi, коли його можна подати у виглядi скiнченного або нескiнченного перiодичного десяткового дробу.

Сума, рiзниця, добуток i частка, якщо дiльник вiдмiнний вiд нуля, двох рацiональних чисел є рацiональним числом.

Дiйсне число, яке не є рацiональним, називається iррацiональним. Множина iррацiональних чисел позначається через I.

1.Подати у виглядi нескiнченного перiодичного десяткового дробу рацiональне число r, якщо:

2.Перетворити у звичайнi нескоротнi дроби такi перiодичнi дроби:

4.Нехай ® 2 I, r 2 Q. Довести, що нижченаведенi числа є iррацiональними:

12

5.Нехай ®; ¯ 2 I, r 2 Q. Чи обов’язково є iррацiональними такi числа:

д) ®¯, якщо ®; ¯ > 0; е) p® + pr, якщо ®; r ¸ 0; є) p® + pr, якщо r; ® + pr ¸ 0?

6. Нехай ® i ¯ – такi iррацiональнi числа, що число ® + ¯ є рацiональним. Довести, що нижченаведенi числа є iрра-

в) m® + n¯, де m i n – рiзнi цiлi числа.

8.Нехай ® i ¯ – такi iррацiональнi числа, що числа ® ¡ ¯ i ®3 ¡ ¯3 є рацiональними. Чи обов’язково ® = ¯?

p

9. Чи може 3 2 бути коренем квадратного рiвняння з цiлими коефiцiєнтами?

1.4. Обмеженi числовi множини та їх точнi межi

Число a називається нижньою (верхньою) межею множини

X µ R, якщо для кожного x 2 X виконується нерiвнiсть x ¸ a (x · a). Множина X µ R, яка має хоча б одну нижню (верхню) межу, називається обмеженою знизу (зверху). Обмежена знизу i зверху множина називається обмеженою.