MetodMA1

53

29.Дослiдити на рiвномiрну неперервнiсть на множинi X функцiю y = f(x), якщо:

30.Для " > 0 знайти ± = ±("), яке задовольняє умови рiвномiрної неперервностi функцiї y = f(x) на множинi X, якщо:

а) f(x) = 5x ¡ 3 i X = R;

б) f(x) = x2 ¡ 2x ¡ 1 i X = [¡2; 5];

в) f(x) = x1 i X = [101 ; 1];

г) f(x) = px i X = [0; +1);

ґ) f(x) = 2 sin x ¡ cos x i X = R;

д) f(x) = x sin x1 , якщо x 6= 0, f(0) = 0 i X = [0; ¼].

31.На скiльки однакових вiдрiзкiв достатньо розбити вiдрiзок [1; 10], щоб коливання функцiї f(x) = x2 на кожному з цих вiдрiзкiв було менше 0; 0001?

32.Довести, що сума i добуток скiнченної кiлькостi рiвномiрно неперервних на iнтервалi (a; b) функцiй є рiвномiрно неперервними на (a; b) функцiями.

54

33.Нехай функцiя y = f(x) обмежена, монотонна i неперервна на iнтервалi (a; b). Довести, що f рiвномiрно неперервна на (a; b).

34.Довести, що для того, щоб функцiю y = f(x) , визначену i неперервну на iнтервалi (a; b), можна було продовжити до неперервної на вiдрiзку [a; b] функцiї, необхiдно i досить, щоб функцiя f була рiвномiрно неперервною на (a; b).

35.Довести, що для того, щоб функцiю f : X ! R, де X = Q \ [0; 1], можна було продовжити до неперервної на [0; 1] функцiї, необхiдно i досить, щоб функцiя f була рiвномiрно неперервною на X.

55

Роздiл III. Диференцiальне числення функцiй однiєї змiнної

3.1. Похiдна функцiї та її знаходження

Нехай задано функцiю y = f(x) i x0 2 Df – гранична точка множини Df . Для кожного x 2 Df число ¢x = x ¡ x0 назива-

ється приростом аргументу, а число ¢f(x0) = f(x) ¡ f(x0) –

вiдповiдним приростом функцiї f у точцi x0.

Якщо iснує скiнченна границя вiдношення приросту функцiї f у точцi x0 до приросту аргументу в цiй точцi при ¢x ! 0, то

вона називається похiдною функцiї f у точцi x0 i позначається f0(x0) або dxdf (x0), тобто

Теорема 1. Якщо функцiя f має похiдну в точцi x0, то вона неперервна в цiй точцi.

Теорема 2 (правила знаходження похiдних). Якщо C

– стала, а функцiї u i v мають похiднi в точцi x0, то функцiї Cu, u § v, uv, uv (якщо v(x0) =6 0) також мають похiднi в цiй

1) (Cu)0(x0) = Cu0(x0); 2) (u § v)0(x0) = u0(x0) § v0(x0);

3)(uv)0(x0) = u0(x0)v(x0) + u(x0)v0(x0);

4)³u´0 (x0) = u0(x0)v(x0) ¡ u(x0)v0(x0). v v2(x0)

Теорема 3 (похiдна складеної функцiї). Нехай функцiя

' : T ! X має похiдну в точцi t0 2 T , а функцiя f : X ! Y

56

має похiдну в точцi x0 = '(t0) 2 X. Тодi складена функцiя

g : T ! Y , g(t) = f('(t)), також має похiдну в точцi t0, причому

g0(t0) = f0(x0)'0(t0):

1. Використовуючи означення похiдної, знайти f0(x), якщо:

2.Знайти f0(1), f0(2) i f0(3), якщо f(x) = (x¡1)(x¡2)2(x¡3)3.

3.Знайти f0(¡1) i f0(5), якщо f(x) = (x + 1)(x ¡ 5)2.

4.Знайти f0(2), якщо f(x) = x2 sin(x ¡ 2).

5.Знайти f0(3), якщо f(x) = x tg (x ¡ 3).

44.f(x) = sin x arccos x arctg x ex;

45.f(x) = cos x arcsin x tg x ln x.

17.Знайти кут нахилу до осi Ox дотичної до графiка функцiї f(x) = x2 ln x у точцi x0 = 1.

18.Пiд яким кутом до осi Ox нахилена дотична, проведена до графiка функцiї f(x) = 2x3 ¡ x у точцi його перетину з вiссю Oy?

19.В яких точках дотична до графiка функцiї f(x) = 13 x3 ¡ 52 x2 + 7x ¡ 4 утворює з вiссю Ox кут 45o?

20.В яких точках кутовий коефiцiєнт дотичної до графiка функцiї f(x) = 2x3 ¡ 2x2 + x ¡ 1 дорiвнює 3?

21.Знайти кут, який утворює з вiссю ординат дотична до гра-

фiка функцiї f(x) = 23 x5 ¡ 19 x3, проведена в точцi з абсцисою x0 = 1.

22.Пiд яким кутом графiк функцiї f(x) = ex перетинає вiсь

Oy?

23.Пiд яким кутом нахилена до осi Ox дотична, проведена до графiка функцiї f(x) = x3 ¡ x2 ¡ 7x + 6 у точцi M(2; ¡4)?

24.На графiку функцiї y = x(x ¡ 4)3 знайти точки, в яких дотичнi паралельнi до осi Ox.

25.Довести, що дотичнi, проведенi до графiка функцiї f(x) =

x¡4 в точках його перетину з осями координат, паралельнi.

x¡2

61

26.Знайти точку, в якiй дотична до графiка функцiї f(x) = x2 + 5x + 1 паралельна до прямої y = 3x + 1.

координат.

29.Знайти площу трикутника, утвореного бiсектрисами координатних кутiв i дотичною до кривої y = px2 ¡ 5 у точцi

M(3; 2).

30.Довести, що парабола y = ax2 + bx + c (a 6= 0, b2 ¡4ac > 0) перетинає вiсь Ox пiд рiвними кутами.

31.Скласти рiвняння дотичних до параболи y = 1 ¡ x2, що проходять через точку M(0; 3).

32.Скласти рiвняння дотичних до параболи y = x2 ¡ 4x + 3, що проходять через точку M(2; ¡5).

33.Скласти рiвняння дотичних до кривих y = 2x2 ¡ 5 i y = x2¡3x+5, що проходять через точки перетину цих кривих, та знайти кут мiж цими дотичними.

34.Пiд яким кутом перетинаються графiки функцiй:

62

35. Пiд якими кутами перетинаються лiнiї

3.3. Диференцiал функцiї

Функцiя y = f(x) називається диференцiйовною в точцi x0 2 Df , якщо її прирiст у цiй точцi можна подати у виглядi

де A 2 R, а ®(¢x) – нескiнченно мала при ¢x ! 0.

Теорема 1. Функцiя y = f(x) диференцiйовна в точцi x0 2 Df тодi й лише тодi, коли вона має похiдну в цiй точцi, причому A = f0(x0), де A – константа з формули (1).

Нехай функцiя y = f(x) диференцiйовна в точцi x0 2 Df . Тодi головна лiнiйна частина її приросту в цiй точцi називається

диференцiалом функцiї f у точцi x0 i позначається df(x0). Диференцiал функцiї f(x) = x позначається через dx.

Оскiльки dx = ¢x для незалежної змiнної x, то диференцiал df(x0) довiльної диференцiйовної в точцi x0 функцiї f можна подати у виглядi

Ця формула залишається правильною i в тому випадку, коли змiнна x є функцiєю вiд iншої незалежної змiнної (властивiсть iнварiантностi форми першого диференцiала).

Теорема 2. Якщо C – стала, а u i v – диференцiйовнi функцiї, то