Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MetodMA1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

561.48 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

45.Нехай (xn)1n=1 – довiльна нескiнченно мала послiдовнiсть додатних чисел i a > 0. Довести, що lim axn = 1.

n!1

46.	Нехай	(xn)n1=1 –	довiльна збiжна			послiдовнiсть i
	yn = 1	(x1 + x2 + : : : + xn). Довести, що				lim xn = lim yn.
	n					n!1	n!1
						n!1	n!1
47.	Нехай (xn)n1=1 – довiльна послiдовнiсть, така, що lim xn =
	+1, i yn = n1 (x1 +x2						n!1
	+1, i yn = n1 (x1 +x2		+: : :+xn). Довести, що nlim yn = +1.
						!1
48.	Нехай (xn)n1=1 – довiльна збiжна послiдовнiсть додатних
	чисел. Довести, що		lim p		= lim xn.
	чисел. Довести, що		lim p	x1x2 : : : xn	= lim xn.
			n			n!1
			n!1			n!1

Використовуючи критерiй Кошi, дослiдити на збiжнiсть послiдовнiсть (xn)1n=1, якщо:

49.xn = sin2 1 + sin222 + : : : + sin2nn ;

50.xn = cos312 + cos3222 + : : : + cos3nn2 ;

51.xn = a0 + a1q + a2q2 + : : : + anqn,

де janj < M для кожного n 2 N i jqj < 1;

52. xn = cos 1!	+ cos 2!	+ : : : +		cos n!	;
			n¢(n+1)
1¢2	2¢3

53.xn = sin1!1! + sin2!2! + : : : + sinn!n! ;

54.xn = arctg12 1 + arctg22 2 + : : : + arctgn2 n ;

55.	xn =	arcctg 12						+				arcctg 22					+ : : : +		arcctg n2		;
			13									23							n3
56.	xn = 1		¡ 21 + 31 ¡ 41 + : : : + (¡1)n n1 ;
57.		1						1				1							n+1		1	;
	xn =				¡							+				+ : : : + (¡1)
		ln 2					ln 3						ln 4							ln(n+1)
58.	xn = 1		+		1	+				1		+ 1			+ : : : + 1 ;
					2					3		4					n
59.		1				1						1					1		.
	xn = p			+ p							+ p				+ : : : + p
			1						2					3				n

1.8. Верхня i нижня границi послiдовностi

Число a 2 R (a = +1 або a = ¡1) називається частковою границею послiдовностi (xn)1n=1, якщо a є границею деякої пiдпослiдовностi послiдовностi (xn)1n=1.

Теорема 1. Нехай (xn)1n=1 – така числова послiдовнiсть, що

lim xn = a, де a – скiнченне або нескiнченне. Тодi	lim xnk = a
n!1	k!1

для довiльної пiдпослiдовностi (xnk )1k=1 послiдовностi (xn)1n=1.

Теорема 2 (Больцано-Вейєрштрасса). Довiльна обмежена числова послiдовнiсть має хоча б одну скiнченну часткову границю.

Найменша часткова границя (скiнченна або нескiнченна) послiдовностi (xn)1n=1 називається нижньою границею послiдовностi (xn)1n=1 i позначається через lim xn. Найбiльша часткова

n!1

границя (скiнченна або нескiнченна) послiдовностi (xn)1n=1 називається верхньою границею послiдовностi (xn)1n=1 i позначає-

ться через lim xn.

n!1

Теорема 3. Нехай (xn)1n=1 – довiльна числова послiдовнiсть.

Тодi lim xn = a тодi i тiльки тодi, коли	lim xn = lim xn = a,
n!1	n!1	n!1

де a 2 R або a = +1 або a = ¡1.

Число a 2 R називається граничною точкою послiдовностi

(xn)1n=1, якщо для довiльного iнтервалу I, що мiстить точку a, множина fn 2 N : xn 2 Ig є нескiнченною.

Точка +1 (¡1) називається граничною точкою числової послiдовностi (xn)1n=1, якщо для довiльного b 2 R множина fn 2 N : xn > bg (fn 2 N : xn < bg) є нескiнченною.

1.Довести, що монотонна послiдовнiсть збiжна тодi i тiльки тодi, коли вона має хоча б одну скiнченну часткову границю.

2. Нехай (xn)1n=1 – монотонна послiдовнiсть. Довести, що

lim xn = lim xn = lim xn:

n!1 n!1 n!1

3.Довести, що a є частковою границею послiдовностi (xn)1n=1 тодi i тiльки тодi, коли a є граничною точкою послiдовностi (xn)1n=1.

4.Нехай (xn)1n=1 – довiльна числова послiдовнiсть. Довести, що:

а)		lim xn		= ¡1 тодi i тiльки	тодi,	коли	множина
		n!1
fxn : n 2 Ng не є обмеженою знизу;
б)				= +1 тодi i тiльки	тодi,	коли	множина
		nlim!1 xn
fxn : n 2 Ng не є обмеженою зверху;
в)		lim xn = +1 тодi i тiльки тодi, коли nlim xn = +1;
	n!1					!1
			xn = ¡1 тодi i тiльки тодi, коли nlim!1 xn = ¡1;
г) nlim!1
ґ)	lim xn = nlim inffxk : k ¸ ng;
	n!1			!1
			xn	= nlim supfxk : k ¸ ng.
д) nlim
	!1			!1

5.Нехай числову послiдовнiсть (xn)1n=1 можна розбити на скiнченну кiлькiсть пiдпослiдовностей, якi збiгаються до

a1; a2; : : : ; ak вiдповiдно. Довести, що fa1; a2; : : : ; akg є мно-

жиною	всiх часткових	границь послiдовностi (xn)n1=1,
а отже,	nlim xn =	maxfa1; a2; : : : ; akg i lim xn =
	!1	n
		!1

minfa1; a2; : : : ; akg.

Знайти верхню i нижню границi послiдовностi (xn)1n=1, якщо:

6. xn = 1 ¡ n1 ;

7. xn = (¡1)n(2 + n3 );

8. xn = (¡1)n ¢

nn+1¡1

;

9. xn = (¡1)n ¢

n2+n

;

3¡n2

10.

xn =

(¡1)n

+ 1+(¡1)n ;

11.

= 1 +

cos ¼n ;

n+1

n2+1

n(n+1)

12.

¼n

;

13.

n+1

;

xn =

sin

xn = (¡1)

+ p

+1 (¡1)

100n¡n2+1

14.

xn = nn+1¡1 cos 2¼n3 ;

15.

xn =

(¡1)n + (¡1)

(n¡1)n

;

n+1

16.

xn =

sin 2¼n3 ;

17.

xn = n(¡1)n;

n+1

18.

xn = n(¡1)n ;

19.

xn = 1 + n sin

¼n ;

20.

xn =

cos ¼n3 ;

21.

xn = (1 + n1 )n(¡1)n + sin ¼n4 ;

1+n

22.

xn =

sin2 ¼n4 ;

23.

xn = p1 + 2n(¡1)n ;

n+1

24.

xn = cosn 2¼n ;

25.

= tgn 2¼n .

26. Знайти всi частковi границi таких послiдовностей:

а) 1 ; 1

; 1 ;

3 ;

1 ;

; : : : ;

;

2n¡n 1

; : : :;

б) 1; 1 ; 1+ 1

; 1

; 1+ 1 ;

1 + 1 ; : : : ; 1

; 1+ 1 ; 1

; : : : ;

+ 1

; : : :;

n¡1

2 3

n 2

в) 1 ; 1

; 2 ;

1 ;

2 ;

; 1

; 2

;

3 ; 4 ; : : : .

27. Нехай (xn)n1=1

– довiльна послiдовнiсть додатних чисел,

така, що послiдовнiсть (yn)1

, де yn =

xn+1 , є збiжною.

Довести, що

n=1

lim pxn = lim yn.

n!1

28. Довести, що

lim

= e.

Роздiл II. Границя та неперервнiсть функцiї

2.1. Функцiї та їх властивостi

Функцiєю f, що дiє з множини X в множину Y (позначається f : X ! Y або y = f(x)), називається певне правило, згiдно з яким кожному елементу x з множини X ставиться у вiдповiднiсть єдиний цiлком визначений елемент y з множини Y , який називається значенням функцiї f у точцi x i позначається f(x). Множина X називається областю визначення (або областю iснування) функцiї f i позначається Df . Множина ff(x) : x 2 Xg називається множиною значень функцiї f i позначається Ef або f(X).

Композицiєю (або суперпозицiєю) g ± f функцiй g : Y ! Z i

f: X ! Y називається функцiя h : X ! Z, яка визначається формулою: h(x) = g (f(x)), тобто (g ± f)(x) = g (f(x)).

Нехай f : X ! Y – така функцiя, що для кожного y 2 Ef iснує єдине x 2 X таке, що y = f(x). Тодi це правило ви-

значає деяку функцiю g : Ef ! X, яка називається оберненою функцiєю до функцiї f i позначається через f¡1. Отже,

f¡1(y) = x тодi i тiльки тодi, коли y = f(x).

Функцiя f : X ! R, де X µ R, називається монотонно зростаючою (строго зростаючою), якщо для довiльних x1; x2 2

X з нерiвностi x1 < x2 випливає нерiвнiсть f(x1) · f(x2) (f(x1) < f(x2)). Функцiя f : X ! R, де X µ R, називається монотонно спадною (строго спадною), якщо для до-

вiльних x1; x2 2 X з нерiвностi x1 < x2 випливає нерiвнiсть

f(x1) ¸ f(x2) (f(x1) > f(x2)).

Функцiя f : X ! R, де X µ R, називається парною (непарною), якщо область визначення X функцiї f симетрична вiдносно початку координат, тобто x 2 X тодi i тiльки тодi, коли ¡x 2 X, i для довiльного x 2 X виконується рiвнiсть

f(¡x) = f(x) (f(¡x) = ¡f(x)).

Нехай X µ R i T 6= 0. Функцiя f : X ! R називається перiодичною з перiодом T або T -перiодичною, якщо область визначення X функцiї f є iнварiантною вiдносно зсуву на T одиниць влiво i вправо, тобто для довiльного x 2 R точки x, x+T i x¡T або одночасно належать множинi X, або одночасно не належать множинi X, i f(x + T ) = f(x) для довiльного x 2 X.

Знайти областi визначення таких функцiй:

1. y =

;

2. y = p

;

3x ¡ x2

1+x

y = (x ¡ 2)q

1+x

;

y = lg(x2 ¡ 4);

1¡x

y =

sin p

;

y = lg(x ¡ 2) + lg(x + 2);

;

y = pcos x

y = lg(sin x );

y =

;

10.

y = arcsin

;

sin(¼x)

1+x

11.

y = arccos(2 sin x);

12.

y = lg(cos(lg x));

13.

14.

y = ctg(¼x) + arccos(2x);

y =

x sin2(¼x)

;

15.

y = log

(log

x))

;

16.

y = arcsin(1

x) + lg(lg x)

;

17.

y = p

);

18.

y = p

+ p

lg(tgx

sin(2x)

sin(3x)

Знайти область визначення i множину значень таких функцiй:

19.	y = p					;	20.	y = lg(1 ¡ 2 cos x);
		2 + x ¡ x2
21.	y = arccos		2x		;		22.	y = arcsin(lg	x	).
			1+x	2
								10

23.Функцiя y = sgn x визначається так: sgn x = 1, якщо x > 0, sgn x = ¡1, якщо x < 0, i sgn 0 = 0. Побудувати графiк функцiї y = sgn x. Довести, що jxj = x ¢ sgn x.

24. Функцiя y = [x] (цiла частина числа x) визначається так: [x] = n, якщо n 2 Z i x 2 [n; n + 1). Iншими словами, цiла частина числа x – це найбiльше цiле число, що не перевищує x. Побудувати графiк функцiї y = [x].

25.Функцiя y = fxg (дробова частина числа x) визначається так: fxg = x ¡ [x]. Побудувати графiк функцiї y = fxg.

Знайти обернену функцiю x = f¡1(y) до функцiї y = f(x), якщо:

26.f(x) = 2x + 3 i Df = R;

27.f(x) = x2 i Df = fx 2 R : x ¸ 0g;

28.f(x) = x2 i Df = fx 2 R : x · 0g;

29.f(x) = 11+¡xx i Df = fx 2 R : x =6 ¡1g;

30.f(x) = p1 ¡ x2 i Df = [¡1; 0];

31.f(x) = p1 ¡ x2 i Df = [0; 1];

32.f(x) = sh x, де sh x = ex¡2e¡x i Df = R;

33.	f(x) = th x, де th x = exx¡e¡xx				i Df = R;
				e +e¡
			x;	x < 1;
34.	f(x) =	8 x2;		1 · x · 4;
		:	2x;	x > 4:
		<	2x;	x > 4:

35.Довести, що нижченаведенi функцiї є строго зростаючими на вiдповiдних промiжках:

а) f(x) = x2 на [0; +1);	б) f(x) = sin x на [¡¼2 ; ¼2 ];
в) f(x) = tg x на (¡¼2 ; ¼2 );	г) f(x) = x + sin x на R.

36.Довести, що нижченаведенi функцiї є строго спадними на вiдповiдних промiжках:

а) f(x) = x2 на (¡1; 0];	б) f(x) = cos x на [0; ¼];
в) f(x) = ctg x на (0; ¼);	г) f(x) = 2¡x на R.
37. Дослiдити на монотоннiсть такi функцiї:
а) f(x) = ax + b;	б) f(x) = ax2 + bx + c, де a 6= 0;
в) f(x) = x3;	г) f(x) =	ax+b	, де c 6= 0;
		cx+d

ґ) f(x) = ax, де a > 0; д) f(x) = logax, де a > 0 i a =6 1.

38.Встановити, якi з нижченаведених функцiй є парними, а якi непарними:

а) f(x) = 3x ¡ x3; в) f(x) = ln 11+¡xx ; ґ) f(x) = sh x;

е) f(x) = ch x;

д) ( ) = p			p
д) ( ) = p			p		;
б) f(x) = 3	(1 ¡ x)2		+ 3		(1 + x)2	;
f x ln(x + p				)
f x ln(x + p		1 + x2		)

г) f(x) = ln(p1 + x2 ¡ x);

є) f(x) = (2 + p3)x + (2 ¡ p3)x.

39.Довести, що довiльну функцiю, визначену на симетричнiй вiдносно початку координат множинi X µ R, можна єдиним чином подати у виглядi суми парної i непарної функцiй.

40.Встановити, якi з нижченаведених функцiй є перiодичними, i знайти їхнi найменшi додатнi перiоди:

а) f(x) = sin x + 12 sin(2x) + 13 sin(3x);

б) f(x) = a cos(®x) + b sin(®x), де a; b; ® =6 0;

в) f(x) = 2 tg x2 ¡ 3 tg x3 ;

ґ) f(x) = sin x2; е) f(x) = tgpx;

ж) f(x) = fax + bg (a 6= 0);

г) f(x) = sin2 x; д) f(x) = ptg x;

є) f(x) = sin x + sin(p2x); з) f(x) = fjxjg.

41.Чи обов’язково перiодична функцiя має найменший додатний перiод?

42.Довести, що функцiя Дiрiхле

d(x) =	½ 0;	x22 I;
	1;	x Q;

є T -перiодичною для кожного додатного T 2 Q.

43.Функцiя f(x) є T1-перiодичною, а функцiя g(x) є T2-

перiодичною, причому	T1	2 Q. Довести, що функцiї
	T2
f(x) + g(x), f(x) ¡ g(x), f(x) ¢ g(x) i			f(x)	також є перiо-
			g(x)
дичними.

44. Функцiя f : R ! R i число T > 0 такi, що f(x+T ) = ¡f(x) для всiх x 2 R. Довести, що f перiодична.

45. Функцiя f : R ! R i число T > 0 такi, що f(x + T ) = f(1x) для всiх x 2 R. Довести, що f перiодична.

46. Функцiя f : R ! R i число T > 0 такi, що f(x+T ) = 1¡f(x)

1+f(x)

для всiх x 2 R. Довести, що f перiодична.

47.Нехай f : R ! R, ® > 0 i функцiя g : R ! R визначається формулою g(x) = f(®x). Довести, що дiйсне число T > 0

є перiодом функцiї f тодi i тiльки тодi, коли число T® є перiодом функцiї g.

2.2. Означення границi функцiї

Нехай a 2 R i " > 0. Iнтервал (a ¡ "; a + ") називається "- околом точки a в R. Множини (¡1; ¡E) [(E; +1), (¡1; ¡E) i (E; +1), де E > 0, називаються E-околами точок 1, ¡1 i +1 вiдповiдно. Околом точки a 2 R (a = 1; §1) називається множина, яка мiстить деякий "-окiл (E-окiл) точки a в R.

Точка a (скiнченна або нескiнченна) називається граничною точкою множини A µ R або точкою накопичення множини

A, якщо для довiльного околу U точки a в R множина A \ U є нескiнченною.

Означення границi функцiї на мовi ""¡±": число b 2 R називається границею функцiї f : X ! R при x ! a (позначається

b = lim f(x)), де X µ R, i a – гранична точка множини X, якщо

x!a

для довiльного " > 0 iснує таке ± > 0, що для довiльного x 2 X з нерiвностi jx ¡ aj < ± випливає нерiвнiсть jf(x) ¡ bj < ".

Нехай f : X ! R, a; b 2 R [ f1; ¡1; +1g, причому a –

гранична точка областi визначення X функцiї f.
Означення		границi	функцiї	на	мовi послiдовностей:
b = lim f(x), якщо для			довiльної	послiдовностi		(xn)n1=1 аргу-
x!a	2 X, яка прямує до			a,	вiдповiдна	послiдовнiсть
ментiв xn
(f(xn))1	значень функцiї f(xn) прямує до b.
n=1		границi	функцiї на	мовi околiв: b = lim f(x),
Означення
						x!a

якщо для довiльного околу V точки b в R iснує окiл U точки a в R, такий, що f(x) 2 V для довiльного x 2 U \ X.

Теорема 1. Нехай f : X ! R, де X µ R, a; b 2 R, причому a – гранична точка множини X. Тодi наступнi твердження еквiвалентнi:

1)b є границею функцiї f(x) при x ! a на мовi "" ¡ ±";

2)b є границею функцiї f(x) при x ! a на мовi послiдовно-

стей;

3)b є границею функцiї f(x) при x ! a на мовi околiв.

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.02.20161.56 Mб15Metodichka.doc
#
23.02.2016237.57 Кб10Metodichka_do_diplomnoyi.doc
#
23.02.20161.14 Mб19Metodichka_Mova_S.doc
#
23.02.2016435.71 Кб44Metodichka_po_virobnichiy_praktitsi.doc
#
02.05.2019596.48 Кб13Metodichka_SVOT.doc
#
23.02.2016561.48 Кб6MetodMA1.pdf
#
11.11.2019346.11 Кб9Metoduka vukladann'a jyruduchnuh dusch. u vush....doc
#
23.02.2016738.3 Кб57metod_2015.doc
#
26.11.2018626.18 Кб4metod_ESPD 2.doc
#
01.09.2019218.62 Кб3Metod_praktika_OBU_2012.doc
#
20.08.2019102.11 Кб3Metod_rek_do_KR_Bank_FPMS_101-107.docx