Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MetodMA1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

561.48 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Найбiльша (найменша) з усiх нижнiх (верхнiх) меж множини X називається точною нижньою (верхньою) межею множини X i позначається inf X (sup X).

Теорема. Число ® 2 R є точною нижньою (верхньою) межею множини X µ R, тодi i тiльки тодi, коли виконуються такi умови:

1)x ¸ ® (x · ®) для кожного x 2 X;

2)для довiльного ° > ® (° < ®) iснує таке x 2 X, що x < °

(x > °).

Якщо множина X µ R не є обмеженою знизу (зверху), то вважають, що inf X = ¡1 (sup X = +1).

1.Довести, що множина X µ R обмежена тодi i тiльки тодi, коли iснує C > 0 таке, що jxj · C для кожного x 2 X.

2.Встановити, чи є нижченаведенi множини обмеженими зверху, обмеженими знизу, обмеженими:

а) fx 2 R : x2 < 5g;

в) fx 2 R : x3 + x < 1g;

ґ) fx 2 R : sin x · xg;

е) S1 fx 2 R : x2 + x = ng;

n=1

б) fx 2 R : x2 · x + 2g;

г) fx 2 R : x5 ¡ x ¸ 1g; д) fx 2 R : j cos xj · pxg;

є) S1 fx 2 R : x2 + 1 = nxg.

n=1

3.	Нехай A µ B µ R. Довести, що:
	a) inf A ¸ inf B;	б) sup A · sup B.
4.	Нехай A µ R i ¡A = f¡a : a 2 Ag. Довести, що:
	а) inf(¡A) = ¡ sup A;	б) sup(¡A) = ¡ inf A.
5.	Нехай A; B µ R i C = fa + b : a 2 A; b 2 Bg. Довести, що:
	а) inf C = inf A + inf B;	б) sup C = sup A + sup B.

6. Нехай	A; B	– множини	невiд’ємних дiйсних чисел,
C =	fab : a	2 A; b 2 Bg. Довести, що:
а) inf C = inf A ¢ inf B;			б) sup C = sup A ¢ sup B.

7.Нехай A = fai : i 2 Ig та B = fbi : i 2 Ig – множини дiйсних чисел, C = fai + bi : i 2 Ig. Довести, що:

а) inf C ¸ inf A + inf B;

б) sup C · sup A + sup B.

Знайти sup A та inf A, де A = fxn : n 2 Ng, якщо:

8. xn = 1 ¡ n1 ;

9. xn = ¡1 + n2 ;

10.

xn = (¡1)n(1 + n3 );

11.

xn = (¡1)n

;

n+2

12.

xn = (¡1)

(¡1)n+1

;

13.

xn =

(¡1)n

1+(¡1)n

;

14.

xn = 1 +

cos(¼n2 );

15.

xn = 2 ¡ n+1n sin(¼n2 );

n+1

16.

xn =

nn+1¡1

cos(2¼n3 );

17.

xn = n+2n sin(2¼n3 );

18.

xn = (¡1)

n(n+1)

19.

xn = (¡1)

(n¡1)n

n+3

;

(1 + n );

20.

xn = (¡1)np

;

21.

xn = ¡n(2 + (¡1)n);

22.

xn = n(¡1)n ;

23.

xn = 1 + n sin(¼n );

24.

xn = sin n;

25.

xn = tg n.

26.Нехай непорожня множина A µ R така, що a < sup A для кожного a 2 A. Довести, що A мiстить множину значень деякої строго зростаючої послiдовностi.

27.Довести, що довiльна нескiнченна обмежена множина A µ R мiстить множину значень деякої строго монотонної послiдовностi.

1.5. Означення границi послiдовностi

Число a називається границею послiдовностi (xn)1n=1 (по-

значається a = lim xn), якщо для довiльного " > 0 iснує та-

n!1

кий номер N, що для кожного n ¸ N виконується нерiвнiсть

j	x	n ¡	a	j	< "	. Кажуть також, що послiдовнiсть		(x )1	збiгається
								n n=1
до a i пишуть xn ! a при n ! 1.									nlim xn =
		Вважають, що nlim xn					= 1 (nlim xn = +1 чи
						!1	!1		!1

¡1), якщо для довiльного E > 0 iснує такий номер N, що для кожного n ¸ N виконується нерiвнiсть jxnj > E (xn > E чи xn < ¡E).

Послiдовностi, якi мають скiнченнi границi, називаються збiжними. А послiдовностi, якi не мають скiнченних границь, називаються розбiжними.

Якщо lim xn = 0, то послiдовнiсть (xn)1 називається не-

n!1 n=1

скiнченно малою. Якщо ж lim xn = 1, то послiдовнiсть (xn)1

n!1 n=1

називається нескiнченно великою.

1.Використовуючи означення границi послiдовностi довести такi рiвностi:

а)

lim

= 1;

б)

lim

n+1

= 1

;

n!1 n+1

n!1

2n¡1

г)

lim

¡1

= 3;

ґ)

lim

n+1

= 5;

3n2

n ¡2

n!1 n +2

n!1

в) lim 2n2+1 = 2;

n!1 n2+2n

д) lim 3n¡2n = 1.

n!1 3n+2n

2.З допомогою ""¡N"-мiркувань довести, що послiдовнiсть (xn)1n=1 є нескiнченно малою, якщо:

(¡1)n

а) xn = n ;

б) xn =

;

в) xn = p

;

г) xn =

2n2 ¡1

;

ґ) xn =

;

д) xn = (2 )n;

n +n

n+1

е) xn = (¡1)

¢ a

, де jaj < 1;

є) xn =

lg(n+1)

3. Довести, що послiдовнiсть (xn)1n=1, де xn 6= 0, є нескiнчен-

но великою тодi i тiльки тодi, коли послiдовнiсть ( 1 )1

є нескiнченно малою.

xn n=1

4. З допомогою "E ¡ N"-мiркувань довести такi рiвностi:

а) nlim ((¡1)n ¢ n) = 1;				б) nlim 2p			= +1;
а) nlim ((¡1)n ¢ n) = 1;				б) nlim 2p		n	= +1;
	!1	3		!1
в)		3	= ¡1;	г) nlim (	45 )n = +1;
	nlim	n
	nlim	1¡2n
	!1			!1
ґ) nlim lg(lg(n + 1)) = +1.
	!1

5. Послiдовнiсть (xn)n1=1 збiгається до a. Довести, що:

lim

= p3

а)

б)

;

j nj

= pa

lim

в) n

, якщо

n ¸

для кожного

2 N.

6.Використовуючи означення границi послiдовностi, довести розбiжнiсть послiдовностi (xn)1n=1, якщо:

а) xn = (¡1)n;	б) xn = (¡1)n + n1 ;
в) xn = sin ¼n ;	г) xn = cos ¼n .
2	3

7.Довести, що послiдовнiсть (xn)1n=1, де xn = n(¡1)n , є розбiжною послiдовнiстю, яка не є нескiнченно великою, хоча множина fxn : n 2 Ng необмежена.

8. Нехай (xn)n1=1	– збiжна послiдовнiсть, причому lim xn > 0.
	n!1

Довести, що множина fn 2 N : xn · 0g скiнченна.

9. Нехай (xn)1n=1 – збiжна послiдовнiсть, причому множина

fn 2 N : xn · 0g – нескiнченна. Довести, що lim xn · 0.

n!1

1.6. Правила знаходження границь

Теорема 1 (арифметичнi дiї над збiжними послiдовностями). Нехай (xn)1n=1 i (yn)1n=1 – збiжнi послiдовностi. Тодi:

1)	lim (xn+yn) = lim xn+ lim yn;
2)	n!1			n!1	n!1
2)	nlim (xnyn) = nlim xn ¢				nlim yn;
	!1			!1	!1
3)	nlim!1 yn		=	lim xn
3)	nlim!1 yn		=	nlim!1 yn , якщо yn 6= 0 для кожного n 2 N i
		xn		n!1

lim yn 6= 0.

n!1

Теорема 2 (граничний перехiд пiд знаком нерiвностi).

Нехай (xn)1n=1 i (yn)1n=1 – збiжнi послiдовностi, причому iснує номер n0 2 N, такий, що xn · yn для кожного n ¸ n0. Тодi

lim xn · lim yn.

n!1 n!1

Послiдовнiсть (xn)1n=1 називається обмеженою, якщо множина fxn : n 2 Ng обмежена.

Теорема 3. Кожна збiжна послiдовнiсть є обмеженою. Теорема 4. Добуток нескiнченно малої послiдовностi на

обмежену є нескiнченно малою послiдовнiстю.

Обчислити такi границi:

3n2+2n

;

lim

2¡

lim

1¡6n

3 4

n!1

18+n¡4n +5n +3n

lim

7n3

5n2

4n+1

;

lim

(n+1)2(10¡5n2)

;

n!1

(n+3)(3¡2n )

n!1

¡13n +100

5n+3

;

15 5n+6n2

4n3

;

lim

¡2

lim

¡4

¡n

n!1

9999n

n!1

+8n +180

lim

0;001n2¡5n+3

;

lim

5+4n+n23 ;

n!1

1000+n

n!1

5+4n+n

lim

n2+n

;

10.

lim

4n2+8+n

;

2n+p

n2+3n

4n2+8

n!1

11.

;

12.

;

lim

10n ¡n

+3n

lim

27n +1

¡n

n!1

8n ¡99¡n

n!1

64n +n+n

13.

lim

4nn¡3nn ;

14.

lim

5n+2n

;

n n

n!1

4 +3

n!1

¡(¡4)

(¡2)n+5n

(¡3)n+7n+1

15.

lim

;

16.

lim

n+2

n+1 ;

n+1

n+2

¡6

n!1

¡3

n!1

17.

(2n+1)(3n¡2)

;

18.

12n+1 11n

;

lim

n+1

lim

n+1¡

)

n!1

¡6

n!1

)(1¡4

19.

lim

(6n+1+4n)(2n¡10)

;

20.

lim

(8n+1¡7n)(18n¡17n+1)

;

)(2

+10)

(12

n+1

¡10

)

n!1

¡2

n!1

1+2+22+:::+2n

1+ 21 + 41 +:::+

21.

lim

n ;

22.

lim

;

n!1

1+3+3 +:::+3

n!1

1+ 3

9 +:::+

23.

a+a2+:::+an

, якщо jaj; jbj < 1;

nlim!1 b+b2+:::+bn

24.

lim

(4+42+:::+4n)(9n¡100)

;

(6+62+:::+6n)2

n!1 p

25.

nlim (

n + 1 ¡

);

26.

nlim ( n + 2 ¡

n ¡ 1);

27.

!1 p

28.

!1 p

+ 3n ¡

nlim (

n ¡ n);

nlim (

n + 2n ¡ n);

29.

!1 p3

30.

!1 p3

+ 3n ¡

nlim (

n ¡ 1);

nlim (

+ n ¡ pn);

31.

!1 p3

32.

!1 p3

+ n

nlim (

n ¡ 1);

nlim (

n + n);

cos(n2¡nn)

33.

lim

sin n ;

34. lim

;

n!1

(1;02)

2n+cos(n2+1)

n2+n

35.

lim

;

36.

lim

;

n!1

n+2

n!1 n

¡sin(n

+n)

n pn3+1

pn2 cos(n!)

37.

nlim

;

38.

nlim ((¡1)

);

n+6

(n+2)2

39.

lim

arctgp

;

40.

lim ((

n(n+1) p

n4+3n

);

n+2

n +18

41.

lim

pn2+5 arcsin

;

42.

lim

pn4+7n3+5 arccos

n2¡1

);

pn4+4n2+3

pn6+8n3+11

n +1

n+1

n!1

´.

43.

) sin

¼n

lim

(

1 + 3 + : : : + (2n

2 + 4 + : : : + 2n

n!1

³ p

44. Нехай nlim xn = 1, причому xn 6= 1 для кожного n 2 N.

Знайти такi границi:

pxn+1¡p2

pxn¡1

xn¡1

а) lim

;

б) lim

;

в) lim

n!1 xn¡3xn+2

n!1

xn¡1

n!1 xn+5xn¡6

1.7. Ознаки iснування границь послiдовностей

Теорема 1 (про затиснену послiдовнiсть). Нехай

(xn)1n=1, (yn)1n=1 i (zn)1n=1 – такi послiдовностi, що yn · xn · zn для кожного номера n ¸ n0, (yn)1n=1, (zn)1n=1 – збiжнi, причому

lim yn = lim zn = a. Тодi послiдовнiсть (xn)n1=1 також збiжна
n!1	n!1

i lim xn = a.

n!1

Теорема 2 (ознака збiжностi монотонної послiдовностi). Монотонна послiдовнiсть є збiжною тодi i тiльки тодi, коли вона є обмеженою.

Послiдовнiсть називається фундаментальною, якщо для довiльного " > 0 iснує такий номер N 2 N, що для всiх m; n ¸ N виконується нерiвнiсть jxm ¡ xnj < ".

Теорема 3 (критерiй Кошi збiжностi числової послiдовностi). Послiдовнiсть (xn)1n=1 є збiжною тодi i тiльки тодi, коли вона є фундаментальною.

Послiдовнiсть ¡(1 + n1 )n¢1n=1 є збiжною, а її границя називається числом Ейлера i позначається через e, тобто

lim µ1 + 1 ¶n = e = 2; 718281828459045 : : : :

n!1 n

1.Використовуючи теорему про збiжнiсть монотонної послiдовностi, довести такi рiвностi:

а) lim	n	= 0;	б) lim	nn2	= 0;
	n
n!1	2		n!1	3

г) lim nk = 0, де k 2 N i a > 1;

n!1 an

д) lim nn! = 0.

n!1 n

в) lim 2n = 0;

n!1 n!

ґ) lim an = 0;

n!1 n!

2. Використовуючи теорему про затиснену послiдовнiсть,

довести такi рiвностi:

б)

lim

pn = 1;

а)

lim

pa = 1, де a > 0;

n!1

в)

log

= 0, де a > 1;

г)

log

lim

pan = 0, де a > 1.

n!1

Використовуючи теорему про затиснену послiдовнiсть,

обчислити такi границi:

3. lim p2n;

lim p3n + 5;

n!1

nlim p5n2 + 7;

nlim p4n2 ¡ n + 1;

lim p2n + 3n;

lim p5n+1 + 4n;

n!1

p8n ¡ 7n;

10.

n!1

p12n ¡ 11n;

nlim

lim

2010n2010 + (1; 01)n

lim p100n3 + 5n

11.

n!1

;

12.

n!1 p7

;

13. lim (n )

;

14. lim (p

)

;

15.

n!1

;

16.

n!1

, де a > 0;

lim

pn!

p(1+a)(1+2a) ::: (1+na)

¢ ¢

17.

lim

+ : : : +

;

n2+1

18.

n!1

n n +2

;

lim

+ : : : +

¡n

n2+2

n2+2n

n!1

lim

: : :

19.

´;

n!1

³ pn3+12 + pn3+22 +

+ pn3+n2

20.

lim

+ : : : +

;

n4+1

n4+2

n4+n2

21.

n!1

;

lim

+ : : : +

¡n

n2+2

n2+n

n!1

2¢n

22.

lim

+ : : : +

;

4+2

n4+n

23.

n!1

n 2+1

n 2

(2n)

2´

´;

lim

: : :

n!1

³ pn9+1

+ pn9+2

+ pn9+2n

lim

: : :

24.

³lg(10n+1)

+ lg(10n+2) +

+ lg(10n+3n)

´;

n!1

25.

lim

: : :

2n¡1

´.

2n+1 + 2n+2 + 2n+3 +

+ 2n+n

n!1

Використовуючи теорему про збiжнiсть монотонної послi-

довностi, обчислити lim xn, якщо:

n!1

26.

x1 = 21 , xn+1 =

xn+1

при n 2 N;

27.

x1 = 1, xn+1 =

2xn+3

при n 2 N;

28.

= 2, xn+1 =

при n 2 N;

2+xn

29.

= 3, xn+1 =

) при n 2 N;

2 (xn

30.

= 2, xn+1 =

2+xn2

при n 2 N;

2xn

31.

= 41 , xn+1 = 41 +

xn2

при n 2 N;

xn = s

2 + r

2 + q

32.

2 + : : : + p

;

}

n коренiв

x2n = s

13 + r

5 + q

33.

13 + : : : + p

}

x2n¡1 = s

2n коренiв

13 + r

5 + q

13 + : : : + p

при n 2 N;

}

1 коренiв

n коренiв

34. xn = sa + ra + qa + : : : + pa, де a > 0.

| }

Використовуючи теорему про збiжнiсть монотонної послiдовностi, довести збiжнiсть послiдовностi (xn)1n=1, якщо:

35.xn = 2+11 + 221+1 + : : : + 2n1+1 ;

36.xn = 112 + 212 + : : : + n12 ;

37.xn = (1 ¡ 12 )(1 ¡ 14 ) ¢ : : : ¢ (1 ¡ 21n );

38.xn = (1 + 12 )(1 + 14 ) ¢ : : : ¢ (1 + 21n );

39.xn = 101 ¢ 113 ¢ : : : ¢ 2nn+9¡1 .

40.Нехай xn = (1+ n1 )n, yn = (1+ n1 )n+1 для кожного n 2 N. Довести, що послiдовнiсть (xn)1n=1 – зростає, а послiдовнiсть

(yn)n1=1	– спадає i lim yn = lim xn = e.
	n!1	n!1

41.Довести, що для кожного n 2 N виконується нерiвнiсть:

0 < e ¡ (1 + n1 )n < n3 .

42.Нехай (xn)1n=1 – довiльна послiдовнiсть додатних чисел, яка прямує до +1 i (yn)1n=1 – довiльна послiдовнiсть чисел yn < ¡1, яка прямує до ¡1. Довести, що

n!1	µ1 + xn	¶	xn	n!1	µ1 + yn	¶	yn
	1		xn		1		yn
lim				= lim			= e:

43. Довести, що lim (1 + 1 + 1 + : : : + 1 ) = e.

n!1 2! n!

44. Довести, що число e є iррацiональним.

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.02.20161.56 Mб15Metodichka.doc
#
23.02.2016237.57 Кб10Metodichka_do_diplomnoyi.doc
#
23.02.20161.14 Mб19Metodichka_Mova_S.doc
#
23.02.2016435.71 Кб44Metodichka_po_virobnichiy_praktitsi.doc
#
02.05.2019596.48 Кб13Metodichka_SVOT.doc
#
23.02.2016561.48 Кб6MetodMA1.pdf
#
11.11.2019346.11 Кб9Metoduka vukladann'a jyruduchnuh dusch. u vush....doc
#
23.02.2016738.3 Кб57metod_2015.doc
#
26.11.2018626.18 Кб4metod_ESPD 2.doc
#
01.09.2019218.62 Кб3Metod_praktika_OBU_2012.doc
#
20.08.2019102.11 Кб3Metod_rek_do_KR_Bank_FPMS_101-107.docx