4.9. Додавання двох взаємно перпендикулярних коливань

Додавання двох взаємно перпендикулярних за напрямком коливань матеріальної точки математично зводиться до знаходження траєкторії руху точки на площині F(x,y)=0, методом виключення часу t, як параметру. Наприклад, розглянемо коливання матеріальної точки, яке задається на площині рівняннями

,.

Проведемо очевидну послідовність операцій виключення параметра t:

,,

,

i, остаточно, маємо рівняння траєкторії, яку описує точка, у вигляді:

Одержане рівняння в загальному випадку є рівнянням кривої другого порядку. Розглянемо декілька прикладів:

а) Якщо різниця фаз коливань  = , то sin=0, cos=-1 i загальне рівняння є рівнянням прямої:

.

б) Якщо різниця фаз коливань  = 0, то sin0=0, cos0=1 i загальне рівняння є рівнянням прямої:

в). Якщо різниця фаз коливань  = , то sin=1, cos=0 i загальне рівняння є рівнянням еліпса:

з напівосями а та b.

4.10. Биття

При взаємодії двох коливань із близькими значеннями частот спостерігається періодична зміна амплітуди результуючого коливання (див.Мал.39). Це явище називається биттям. Нехай взаємодіють дві хвилі з частотами , рівняння яких має вид

, (1)

, (2)

Результуюче коливання знайдемо у такий спосіб

. (3)

В (3) знехтуємо доданком у виразіі одержимо

, (4)

де амплітуда результуючого коливання а(t) має вигляд

Величина а(t) повільно змінюється з часом - її період >. Частотаназивається циклічною частотою биття.

На Мал.40 представлена суперпозиція двох близьких за частотами коливань з =410^-2 рад/с і =210⁵ рад/с.

4.11. Контрольні питання

1. Дайте визначення коливального руху

2. Який рух називається періодичним

3. Дайте визначення гармонічного коливання

4. Дайте визначення пружної й квазипружноїсили

5. Запишіть рівняння гармонічних коливань у комплексній формі

6. Дайте визначення пружинного маятника

7. Запишіть рівняння другого закону Ньютона для пружинного маятника

8. Запишіть диференціальне рівняння коливань для пружинного маятника у канонічній формі

9. Дайте визначення математичного маятника

10. Запишіть рівняння другого закону Ньютона для математичного маятника

11. Який фізичний зміст малих коливань математичного маятника

12. Запишіть диференціальне рівняння вимушенихколивань математичного маятника в канонічному вигляді

13. Дайте визначення фізичного маятника

14. Запишіть рівняння другого закону Ньютона для фізичного маятника

15. Запишіть диференціальне рівняння вимушенихколивань фізичного маятника в канонічному вигляді

16. Дайте визначення крутильного маятника

17. Запишіть диференціальне рівняння вимушенихколивань крутильного маятника в канонічному вигляді

18. Дайте визначення вільних незгасаючих коливань

19. Розвжіть диферекціальне рівняння вільних незгасаючих коливань

20. Дайте визначення амплітуди, фази та початкової фази коливання

21. Дайте визначення власної частоти та визначіть період гармонічного коливання

22. Знайдіть швидкість та прискорення гармонічного коливання

23. Знайдіть кінетичну, потенціальну та повну механічну енергію гармонічного коливання

24. Дайте визначення вільних згасаючих коливань

25. Розвжіть диферекціальне рівняння вільних згасаючих коливань

26. Визначте аперіодичний рух

27. Визначте коливальний рух

28. Визначте частоту вільних згасаючих коливань

29. Визначте час релаксації

30. Визначте декремент та логарифмічний декремент згасання

31. Визначте добротність коливальної системи

32. Визначте вимушені коливання маятника

33. Визначте механічний резонанс та резонансну частоту

34. У чому полягає метод векторної діаграми

35. Визначте когерентні коливання

36. Визначте результат додавання двох когерентних гармонічних коливань

37. Знайдіть траєкторію руху точки, що здійснює взаємно перпендикулярні гармонічного коливання

38. Визначте биття та виведіть рівняння і період биття