Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
0516550_F807B_lekci_z_fiziki / 4.Mekch .Koleb.doc
Скачиваний:
36
Добавлен:
22.02.2016
Размер:
2.65 Mб
Скачать

4.6. Розвязок диференціального рівняння коливань маятника

Канонічні диференціальні рівняння для усіх вище розглянутих маятників із точністю до позначення мають однаковий вигляд і є неоднорідними рівняннями, що описують вимушені коливання. При нехтуванні силами опору та відсутності зовнішніх сил, коливання будуть власними незгасаючими, а при відсутності зовнішніх сил рівняння будуть описувати вільні згасаючі коливання. Розв'язок рівняння, одержаний для одного з маятників, наприклад, фізичного, буде розв'язком рівнянь для інших маятників. Нижче розглянемо коливання фізичного маятника.

4.6.1. Вільні незгасаючі коливання

Якщо знехтувати силами опору (=0) при відсутності зовнішніх сил, то рівняння вільних згасаючих коливань перетвориться в рівняння вільних незгасаючих коливань:

+02  = 0. (1)

Прямою підстановкою у (1), можна упевнитися, що розв'язок (1) матиме вигляд

(t) = аcos(0t+). (2)

Вираз (2) представляє гармонічні коливання. В (2) амплітуда коливань - максимальне відхилення тіла з положення рівноваги. Амплітуда є додатною величиною. Амплітуда та початкова фаза в (2) визначаються з початкових умов. Наприклад, якщо у момент часуt=0 кут відхилення маятника з положення рівноваги становить, а. Тодіі.

4.6.2. Вільні згасаючі механічні коливання

Коливання, що відбуваються у відсутність зовнішніх сил F, називаються вільними. Якщо при цьому існують сили опору, коливання будуть вільними згасаючими.

Для прикладу розглянемо вільні згасаючі коливання фізичного маятника. Рівняння згасаючих коливань є однорідним диференціальним рівнянням, яке враховує сили опору

. (1)

Розв'язок (1) шукаємо підстановкою Ейлера =et. Знайдемо перші дві похідні від  по часу

et, = 2et. (2)

Підставляючи похідні (2) у (1), одержимо:

et ( 2 + 2 + 02 ) = 0. (3)

Квадратне рівняння 2 + 2 + 02 = 0 у (3) називається характеристичним. Його розв'язок

,(4)

дає два фундаментальні розв'язки диференціального рівняння

1 = exp(1t), 2 = exp(2t), (5)

з яких утворюється загальний розв'язок. Загальним розв'язком однорідного рівняння (1) буде лінійна комбінація фундаментальних розв'язків (5)

 = Аexp(1t) + Bexp(2t) (6)

з дійсними коефіцієнтами А, В.

Можливі два випадки руху маятника

1) При > 0  аперіодичний рух. При цьому 1,2 < 0  дійсні числа. Функція  є спадною функцією часу (1,2<0) і описує асимптотичне, експоненціальної залежності від часу, повернення маятника в стан рівноваги. При цьому коливальний рух не здійснюється. Якщо за початкових умов (у момент часу t = 0), початкове зміщення (0) = 0, а початкова швидкість t=0 = V0, то два рівняння

0 = А + В; V0 = A1 + B2 (7)

мають розв'язок

А = (20 - V0)/(2 - 1), B = ( 10 - V0)/(1 - 2). (8)

Залежно від початкових умов, можливі два випадки аперіодичного повернення маятника до стану рівноваги (див. Мал.35). При 0 > 0 i V0 < 0 із V0 < 10 коефіцієнт B буде менше нуля, а з ним

= Аexp(1t) + Bexp(2t) < 0 (9)

повернення (див. Мал.35) має тип а), тобто можливе проміжне відхилення маятника зі стану рівноваги в протилежному напрямкові, а в усіх інших випадках  тип б)  безпосереднє повернення до стану рівноваги.

2) Якщо  < 0, маятник буде здійснювати коливальний рух. При цьому

1 = - ­­+і, 2 = - ­­-і, (10)

де і =  уявна одиниця,  =  частота вільних згасаючих коливань. Фундаментальними розвязками для (10) є

Загальний розв'язок є лінійною комбінацією фундаментальних розвязків дійсною

 = e-t(Aeit + Be-it), (11)

з комплексними коефіцієнтами А, В. Для знаходження величин А та В зауважимо, що функція  є дійсною функцією часу, і за цим вона має дорівнювати своїй комплексно спряженій функції  = *

e-t(Aeit+Be-it) = e-t(A*e-it +B*eit). (12)

Прирівнюючи в (12) коефіцієнти при однакових експонентах, одержимо В=А*. Для зручності комплексну сталу А візьмемо в експоненціальному вигляді А = а0ei/2, де а0  дійсна величина. Тепер

 = а0/2·e-t (ei(t+) +e-i(t+)) (13)

і, користуючись формулою Ейлера eix = cosx  isinx, вираз в дужках запишемо у вигляді:

 = а0e-t [cos(t+)+isin(t+)+cos(t+)-isin(t+)] 

 = 0(t)cos(t+). (14)

В (14) 0(t) = a0e-t  амплітуда коливань  спадна функція часу, Ф = t+  фаза коливань, Ф0 =   початкова фаза.

На Мал.36 представлена залежність кута відхилення фізичного маятника при вільних згасаючих коливаннях з сталою згасання.

Соседние файлы в папке 0516550_F807B_lekci_z_fiziki