4.7. Параметричні та автоколивання

4.7.1.Параметричні коливання

Параметричні коливання - це коливання тіла або системи тіл, що супроводжуються періодичною зміною одного або декількох параметрів системи. Наприклад, збільшуючи у такт з коливаннями математичного маятника його довжину у крайних положеннях і зменшуючи у положенні рівновари. Енергія маятника збільшується за рахунок виконання роботи силою, що змінює довжину підвісу під час його скорочення.

4.7.2.Автоколивання

Для підтримання незатухаючих коливань, застосовуються пристрої, які поповнюють енергію коливальної системи у такт з її коливаннями. Можна створити такі пристрої джерела енергії, що її передачею керує в автоматичному режимі сама коливальна система. Така система називається автоколивально, а її коливання називаються автоколиваннями.

Найвідомішим прикладом є годинниковий механізм, де джерелом енергії може бути пружина, приєднана до поворотної шестерні або, наприклад, підвішена ланцюжком на шестерні гиря. На маятнику годинника закріплений анкерний механізм у вигляді коромисла з стопорами, які через зубці шестерні фіксують її поворот. При цьому є таке положення маятника, коли анкерні стопори виходять за зубці і шестерня здійснює вимушений поштовх маятник, передаючи йому енергію у від пружини чи підвісу. В наступну мить маятник повертає анкер у вихідне положення і стопори знову фіксують положення шестерні. Така передача енергії поновлює втрачену на подолання опору сил тертя у годинниковому механізмі. Для підтримки роботи годинника потрібно його заводити: закручувати пружину або піднімати гирі.

4.8. Додавання двох коливань одного напрямку

Для додавання двох коливань одного напрямку, наприклад, вздовж осі ОХ

, (1)

, (2)

застосуємо метод векторної діаграми. Математично це виражається в знаходженні величини суми двох векторів, довжини яких чисельно рівні амплітудам коливань, із подальшим знаходженням проекції х результуючого вектора (див.Мал.28). Цю процедуру проведемо в такому вигляді

, (3)

причому

, (4)

де

, (5)

. (6)

Початкову фазу  можна визначити з виразу

. (7)

Одержаний результат випливає з наступних міркувань. Рівняння для х₁ та х₂ можна записати у експоненціальному комплексному вигляді:

,,

і тоді

. (8)

З(8) видно, що знаходження х зводиться до знаходження модуля а та аргумента комплексного числа

. (9)

Це легко зробити, пригадавши, що сума двох комплексних чисел знаходиться в комплексній площині, як сума двох векторів, що визначають ці числа (див.Мал.38). Звідси амплітуда

,

де  кут між векторами та . Проекція на вісь ОХ:

,

а на вісь ОУ:

і

.

Два коливання з частотами ₁=₂= називаються когерентними, якщо різниця їх фаз є сталою величиною, тобто

,

або такою що за період T вона змінюється на величину меншу . При цьому буде відмінним від 0 інтерференційний доданокв (5).

При додаванні двох когерентних гармонічних коливань результуюче коливання буде гармонічним із тією ж частотою .

В залежності від значення різниці початкових фаз , амплітуда результуючого коливання може змінюватися в межах від

,

коли , до величини

,

коли , .

У першому випадку коливання відбуваються у проти фазі і їх сума має мінімальну амплітуду, а у другому випадку коливання відбуваються у фазі, і їх сума має максимальну амплітуду.

При додаванні N гармонічних коливань одного напрямку з кратними частотами _n=n, n=1,2,3,... одержимо періодичні, гармонічні коливання з періодом Т=2/. І, навпаки, кожне періодичне коливання з періодом Т можна представити як суму нескінченного числа простих гармонічних коливань із частотами, кратними основній частоті .

Коливання з частотами, більшими , називаються гармоніками. Сукупність таких гармонік утворює спектр коливань, який має дискретний характер. В той же час, неперіодичне коливання також можна представити у вигляді розкладу по гармонічним коливанням, в яких спектр частот буде неперервним (суцільним) із частотами в деякому інтервалі (₁,₂).