4.3. Математичний маятник

Математичний маятник  точкове тіло маси m, підвішене на нерозтяжному підвісі L (див.Мал.32), розмірами якого, порівнюючи з довжиною підвісу, можна знехтувати. Маса підвісу значно менша маси тіла m і нею також можна знехтувати. Коливання описуються кутом відхилення тіла від положення рівноваги  , кутовою швидкістюта кутовим прискоренням. Векторзадає точку прикладання сил. Коливання здійснюються в загальному випадку під дією моментузовнішніх сил, моменту сили тяжіннята моменту сил опору, де коефіцієнт опору. Вектори моментів сил та кутового прискореннялежать на осі обертання, яка площині коливання та проходить через центр обертання О.

Величину моменту сили тяжіння можна записати у вигляді. Для малих кутів маємо sin­   і . Такі коливання називаються малими. За другим законом Ньютона для обертового руху маятника рівняння коливань можна записати так

, (1)

де J=mL²  момент інерції точкового тіла. Вектори ,,,лежать на одній прямій, а тому, взявши напрямок кутового прискорення за додатній, векторне рівняння (1) можна записати в алгебраїчній формі

. (2)

В канонічному вигляді це рівняння має вигляд:

, (3)

де  коефіцієнт згасання коливань, ,₀  частота вільних незгасаючих коливань, або частота власних коливань маятника.

4.4. Фізичний маятник

Фізичний маятник  макроскопічне тіло, що здійснює малі коливання. Вісь обертання маятника О зміщена відносно центра мас тіла O_c на вектор (див.Мал.33). Коливання визначаються кутом  відхилення тіла від положення рівноваги. Ці коливання здійснюються в загальному випадку під дією моменту зовнішніх сил, моменту сили тяжіннята моменту сил опору, де коефіцієнт опору. Величину моменту сили тяжіння можна записати у вигляді: М_g = mgLsin. Для малих коливань маятника маємо sin­   і М_g = mgL.

Використовуючи другий закон Ньютона для обертового руху, рівняння коливань можна записати так:

, (1)

де J  момент інерції тіла. Вектори лежать на одній прямій, а тому, взявши за додатній напрямок кутового прискорення, векторне рівняння можна записати в алгебраїчній формі:

. (2)

В канонічному вигляді рівняння (2) можна записати так

, (3)

де  коефіцієнт згасання коливань, ,₀  частота вільних незгасаючих коливань. Період малих власних коливань маятника T₀ = 2/₀ і T₀ = 2, де приведена довжина фізичного маятника, яка є довжиною підвісу математичного маятника з періодом рівним періоду коливань фізичного маятника.

4.5. Крутильний маятник

Крутильний маятник  макроскопічне тіло, наприклад диск з моментом інерції J, закріплене нерухомо на пружному стержні (див.Мал.34). Коливання визначаються кутом відхилення тіла від положення рівноваги, вектором кутової швидкостіта вектором кутового прискорення. Тіло здійснює малі періодичні коливання під дією моментузовнішньої сили, моментусили опорута моментупружної сили деформації кручення. За величиною момент сили опору, а сили кручення -. Кефіцієнт f називається модулем кручення. Лінійна залежність моменту сил кручення від кута повороту виконується лише для малих коливань.

За другим законом Ньютона для обертового руху, рівняння коливань маятника можна записати так:

. (1)

Вектори лежать на одній прямій, а тому, взявши напрямок кутового прискоренняза додатній, векторне рівняння (1) можна записати в алгебраїчній формі

,

і привести до канонічного виду

, (2)

де  коефіцієнт згасання коливань, ,₀  частота вільних незгасаючих коливань. Період малих власних коливань маятника

.