1.6. Кінематика обертового руху

Обертовий рух точки (див. Мал. 9) визначається кутом повороту радіус-вектора положення тіла . Елементарний поворот визначається як вектор, що лежить на осі обертання, причому обертання тіла відбувається проти годинникової стрілки, якщо його спостерігати з кінця вектора. Цей вектор задовольняє аксіомам алгебри векторів. Однак, скінчені повороти не задовольняють цим аксіомам і не можуть представлятися векторами. Вектор переміщення за величиною можна визначити як dr=rd.

Кутова швидкість є похідною від кута повороту радіус-вектора

,

її вектор лежить на вісі обертання і паралельний вектору .Кутове прискорення визначається як

і є вектором, паралельним вектору кутової швидкості.

Одиницею вимірювання величини кутової швидкості є рад/с, а кутового прискорення - рад/с².

Лінійна швидкість обертового руху дорівнює векторному добуткові кутової швидкостій радіуса обертання:. Дійсно, величина швидкості , а як вектор . Величинатангенціального прискорення обертового руху дорівнює добуткові кутового прискорення  i радіуса кривизни r a_=r. Дійсно, a_= = =r·=r (r=const) , причому .

Час повного обороту (кут обертання 360 градусів) називається періодом T, а число повних оборотів за одиницю часу - частотою n=1/T, причому кут повороту за одиницю часу  = 2n.

1.6.1. Похідна від одиничного вектора

Нехай орт є функцією часу, тобто, залишаючись сталим за величиною (||=1), він може змінювати напрямок – обертатися з деякою кутовою швидкістю . При повороті на малий кутвектор має приріст (див.Мал. 4). Цей приріст, як нескінченно малий, буде лежати на дотичній до кривої, що її описує кінець вектора (годограф вектора), тобто він буде перпендикулярний вектору . Одиничний вектор, перпендикулярний вектору , є нормаллю і . За величиною . Запишемо тепер похідну від

. (2)

де величина є миттєва швидкість обертання (обертова швидкість) вектора відносно миттєвої осі обертання ОО', яка перпендикулярна векторам та . Прийнято, що малому кутові повороту можна співставити вектор, який лежить на осі обертання і з його вершини видно, що обертання вектора відбувається проти годинникової стрілки. У цьому випадкові кутовій швидкості співставляється вектор , який також лежить на осі обертання (див.Мал.10). Тепер вираз (2) можна записати у вигляді

, (2')

де векторний добуток паралельний вектору, а його величина.

1.6.2. Рух в неінерційній системі відліку.

Нехай існують дві довільні системи відліку К- нерухома та К'- рухома. Співвідношення між радіус-векторами точки деякої точки А в нерухомій системі , в рухомій системіта радіус-вектором початку відліку системи К'відносно системи Кзапишуться у вигляді

. (1)

Абсолютна швидкість – швидкість точки А в нерухомій системі відліку за визначенням є

. (2)

Радіус-вектор має орт напрямкуі його можна записати так

.

Вектор обертається з кутовою швидкістю обертання рухомої системи відліку, а похідна від одиничного вектора (див.1.6 (2'))по часу дорінює

.

Похідна від по часові запишеться так

, (3)

де швидкість точки А відносно рухомої системи координат і вона називається відносною швидкістю,aлінійна швидкість точки.

Тепер абсолютну швидкість точки А можна записати так

, (4)

де

абсолютна швидкість поступального руху рухомої системи координат.

, (5)

де

, (6)

а

(7)

є кутове прискорення системи відліку К'.

Підставляючи (6-7) в (5) одержимо

(8)

Звівши подібні доданки у (8), маємо вираз для прискорення точки А

(9)

Розглянемо докладніше величину та напрямок вектора . Векторивзаємно перпендикулярні і тому можна записати

,

де відстань від точки А до осі обертання системи відліку К', а напрямок векторапротилежний напрямкові(див.Мал.11), тому можна записати

. (10)

Вектор в (10) є доцентовим прискоренням точки А. Підставляючи (10) в (9) одержимо остаточний вираз для абсолютного прискорення точки А через прискорення в рухомій системі відліку

. (11)

У виразі (11) складова прискорення називається коріолісовим або поворотним прискоренням точки А, зумовленим обертанням системи відліку К'.

Розглянемо окремі випадки руху системи відліку К'.

1. Система К' рухається поступально до системи К, тобто .

, (12)

2.Система К' обертається із сталою кутовою швидкістю навколо осі К з початком відліку О, що лежить на ній.

, (13)

3. Система Кобертається знавколо осі, що переміщується поступально з швидкістюта прискореннямпо відношенню до системи К. Цей випадок обєднує два попередніх і являє собою додавання обох незалежних рухів, яке дає такий результат

. (14)