8. Процесс интерполяции непрерывного сообщения. Простейшие виды интерполяции алгебраическими полиномами.

Восстановление непрерывных процессов S(t) с неограниченным спектром по выборкам S(tk) за конечный промежуток наблюдения возможно лишь с определенной интерполяционной погрешностью при использовании ряда Котельникова или любой другой интерполяционной формулы (другого метода интерполяции).

Частоту дискретизации следует выбирать много больше 2wв. Значение интерполяционной погрешности зависит от вида сообщения, метода интерполяции, частоты дискретизации.

В общем случае процесс интерполяции непрерывного сообщения S(t) по его выборкам Sk=S(tk) может быть представлен в форме ряда (аналогично следующей ф-ле)\

где -оценка восст. процесса (интерп. ф-ция);-число выборок, принимавших участие в процессе интерполяции;-оценка знач. выборки с учетом ее зашумленности;-импульс. хар-ка интерполятора.

Из выражения видно, что процесс S(t) на выходе интерполятора определяется как линейная сумма реакции интерполятора на мгновенные импульсы (выборки).

Методы: Операт. вручную; С пом. фильтров; С пом. ЭВМ;

Для восстановления непрерывных сообщений по дискретным выборкам широко используются алгебраические полиномы (Лагранжа невысоких степеней).

Задача интерполяции с помощью алгебраических полиномов обычно формулируется так: если на интервале длительностью T=N*To заданы N+1 точек опроса (0,1,2..N) и значения выборок в этих точках S(t0), S(t1)… то можно построить алгебраический полином Pn(t) степени N, который будет проходить через N+1 заданных точек, принимая значения . При интерполяции алгебраическими полиномами интерп. ф-ция будет иметь вид:

-сост. сист. из (N+1) уравнений вида где К=0,1,2..N.

Соответственно, при использовании полинома Лагранжа N=0, N=1, N=2 степеней, различают ступенчатую, линейную и квадратичную интерполяцию.

Простейшие виды интерполяции алгебраическими полиномами.

Задача интерполирования алгебраическими полиномами обычно формулируется так: если на интервале интерполирование длительностью T=T0*N, заданы N+1 точек опроса 0;1;2…N и значение выборок в этих точках S(t0) ; S(t1) ; S(t2)…. S(tn), то можно построить алгебраический полином Pn(t) степени N, который будет проходить через N+1 заданные точки принимая значения S(tk). При интерполяции алгебр. полинома функция будет иметь вид:

Чтобы найти а_k необходимо составить совместное решение системы из (N+1) вида

где k=1,2,..N

Соответственно при использовании полинома Лагранжа нулевой (N=0), первой (N=1) и второй (N=2) степеней различают ступенчатую, линейную и квадратичные интерполяции.

Наиболее простым видом интерполяции, при котором алгебраичный полином 0-й степени Непрерывная функция S(t) заменяется ступенчатой интерполяцией, т.е. восстановление непрерывного сигнала ведется при помощи горизонтальных линий длина которых равна периоду дискретизации

Рисунок 7.1 Работа ступенчатого интерполятора

Ступенчатая интерполяция может быть симметричной и несимметричной.

При одинаковых условиях симметричная интерполяция обеспечивается более высокую точность восстановления , но при реализации более сложна.

Ступенчатый не симметричный интерполятор состоит из устройств задержки на период дискретизации, вычитающего устройства и интегратора.

На вход интерполятора подаются выборки в виде -импульсов под их действием на входе интегратора образуется скачек напряжения с амплитудой равной площади-импульса.

(t) или функция Дирака представляет собой бесконечно узкий импульс с бесконечной амплитудой, расположенной при нулевом значении аргументов функции.

Площадь импульса равна 1.

На графиках (t) обычно изображается жирной стрелкой, высота которой пропорциональна множетилю стоящему перед