9. Корреляционный анализ. Корреляционная ф-ция.

Наряду со спектральным анализом корреляционный анализ играет большую роль в теории сигналов. Его смысл состоит в измерении степени сходства (различия) сигналов. Для этого служит корреляционная ф-ция.

КФ представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала, сдвинутых друг отн. друга на время .

Чем больше значение КФ, тем сильнее сходство. КФ обладает следующими свойствами:

1. Значение КФ при равно энергии сигнала (интегралу от его квадрата)

2. Является четной функцией

3. Значение КФ при является максимально возможным.

4. С ростом абс. значения КФ сигнала с конечной энергией затухает

5. Если сигнал является ф-цией напряжения от времени, то размерность его КФ []

В случае периодического сигнала (с периодом Т)

Набор свойств изменяется:

1. Значение КФ при равно средней мощности сигнала

2. Свойство четности сохраняется.

3. Значение КФ при является максимально возможным.

4. КФ является периодической ф-цией (с тем же периодом, что и сигнал)

5. Если сигнал не содержит дельта-функций, то его КФ непрерывна.

6. Если сигнал является зависимостью U(t), то размерность КФ []

КФ гармонического сигнала является гармонической ф-цией, которая не зависит от начальной фазы сигнала.

10. Взаимная корреляционная функция.

Взаимная корреляционная функция (ВКФ)- функция, показывающая степень сходства для сдвинутых во времени 2-ух различных сигналов.

Общий вид:

Для примера вычислим ВКФ 2-ух функций:

При

При

При

Объединяя результаты, можно записать:

Свойства ВКФ:

1)

2)

3)

4) Если функции S1(t) и S2(t) не содержат дельта-функций, то их ВКФ не может иметь разрывов.

5) Если в качестве сигнала выступает функция U(t), то размерность ВКФ

11. Случайные процессы (сп). Реализация сп. Законы распределения сп.

Случайным процессом называется такая функция времени или какого-либо другого аргумента. Значения которой заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей 1. Характеристики сигналов, описывающихся такими функциями, являются статистическими, т. е. имеют вероятностный вид.

Существует два основных класса сигналов, нуждающихся в вероятностном описании:

1. шумы – хаотически изменяющиеся во времени электромагнитные колебания, возникающие в разнообразных физических системах из-за беспорядочного движения носителей заряда;

2. случайными являются все сигналы, несущие информацию, поэтому для описания закономерностей, присущих осмысленным сообщениям, также прибегают к вероятностным моделям.

Математическая модель изменяющегося во времени случайного сигнала называется случайным процессом.

Случайный процесс X(t) – функция особого вида, хар-ся тем, что значения, принимаемые ею в любой момент времени t, являются случайными величинами.

Для приема (регистрации) случайное событие следует рассматривать как случайный процесс, представляющий собой совокупность (ансамбль) функций времениXi(t), подчиняющейся некоторой общей для них статистической закономерности. Одна из этих функций, ставшая полностью известной после приема сообщения, наз. реализацией случайного процесса.

Эта реализация является уже не случайной, а детерминированной функцией времени.

Наиболее часто встречаются СП, описываемые равномерным и нормальным законами распределения.

Равномерное распределение. Пусть некоторая случайная величина Х может принимать значения, принадлежащие лишь отрезку х1≤ х ≤ х2, причем вероятности попадания в любые внутренние интервалы одинаковой ширины ∆х равны. Тогда плотность вероятности

Функцию распределения находят путем интегрирования:

Математическое ожидание:

естественно, совпадает с центром отрезка[х1,х2]. Как легко проверить, дисперсия случайной величины, имеющей равномерное распределение вероятности,

Гауссово (нормальное) распределение. В теории случайных сигналов фундаментальное значение имеет гауссова плотность вероятности , содержащая два числовых параметра m и σ. График данной функции представляет собой колоколообразную кривую с единственным максимумом в точке х = m. (рис 6.1). Непосредственным вычислением можно убедиться, что параметры гауссова распределения имеют смысл соответственно математического ожидания и дисперсии:;.

Функция распределения гауссовой случайной величины:

Замена переменной дает Здесь Ф – хорошо изученная функция, так называемый интеграл вероятностей