5. Спектральный анализ периодических сигналов

Для периодического сигнала с периодом Т выполняется соотношение: S(t+nT) = S(t) при любом t, где n - произвольное целое число, Т – период сигнала.

Величина обратная периоду называется частотой повторения сигнала (f = 1/T). Используют понятие круговой частоты. (ω = 2πf)

Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы, при этом они представляют собой в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент с частотами образующих арифметическую прогрессию. Чтобы такое разложение существовало, фрагмент сигнала длительностью в один период должен удовлетворять условиям Дирихле:

не должно быть разрывов 2-го рода ( с уходящими в бесконечность ветвями функции)
число разрывов 1-го рода (скачков) должно быть конечным
число экстремумов должно быть конечным

Различают несколько форм записи ряда Фурье:

синусно – косинусная
вещественная
комплексная

Синусно-косинусная форма записи ряда Фурье.

S(t) = (a₀/2) + ∑(a_k*cos(kw₁t) + b_k*sin(kw₁t))

w₁ = 2π/T – круговая частота соответствующая периода повторения сигнала равному Т.

Входящие в формулу кратные ей частоты называются гармониками.

Гармоники нумеруются в соответствии с индексом k, частота w_k = kw₁ называется к-ой гармоникой сигнала.

Соответственно а_к, в_к, а₀.

Если S(t) является чётной функцией, то все в_к = 0 и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только косинусные слагаемые.Если S(t) является нечётной функцией, то все а_к = 0 и в формуле остаются, лишь синусные слагаемые.

Вещественная форма записи.

Некоторое неудобство синусно-косинусной формы ряда Фурье состоит в том, что для каждого значения индекса суммирования к в формуле фигурируют два слагаемых синус и косинус. S(t) = (a₀/2) + ∑А_k*cos(kw₁t + φ_к)

Если S(t) является чётной функцией фазы φ_кмогут принимать значения 0 и П, а если S(t) функция нечётная, то возможны значения фазы ±П/2.

Комплексная форма записи.

Данная форма представления является наиболее употребимой в радиотехнике. Она получается из вещественной формы представления косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент. Вытекает из формулы Эйлера: е^jx = cosx + sinx

cosx = ½ ( e^jx + e^-^jx )

Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями.

S(t) = (a₀/2) + ∑ А_k/2(exp(jkw₁t + jφ_к) + exp(-jkw₁t - jφ_к))

Разложение сигналов ряд Фурье. Меандр. Пилообразный сигнал.

Каждым частным случаем предыдущего сигнала является меандр- последовательность прямоугольных импульсов со скважностью равной 2, когда длительность импульсов и промежуки м/у ними становятся равными.