7 Представление непрерывных сигналов выборками. Теорема Котельникова. Влияние частоты дискретизации на возможность восстановления сигнала с помощью фильтра.

Представление непрерывных сигналов выборками. Теорема Котельникова.

При дискретизации выборками в качестве координат сигнала используются текущие значения сигнала в фиксированные моменты времени: S(t1),S(t2)…S(tn), Sk=S(tk) – выборки отсчётами. К моменту времени t1,t2,…tn – точки опроса, а сам процесс формирования таких координат – опрос.

Последовательность выборок может рассматриваться как сигнал с амплитудно-импульсной модуляцией.

При регулярном опросе точки t1,t2,…,tk образуют на оси времени t регулярную последовательность, так что t2-t1=t3-t2=…=tk-tk-1=T0

Интервал времени To – называется периодом опроса (интервал дискретизации),а тактовая частота опроса Fo=1/То при регулярном дискретном представлении выбирается заранее и остаются неизменными в течении всего сеанса работы системы. При нерегулярной дискретизации период опроса является переменным To=var. Широкое использование регулярного дискретного представления по выборкам объясняется простотой его аппаратурной реализации и достаточно высокой эффективностью. С необходимостью дискретного представления выборками мы встречались прежде всего при передачи непрерывных сообщений по импульсной и цифровой передачи. При передачи непрерывных сообщений импульсным методом всегда возникает вопрос не только о дискретном представлении таких сообщений на передающей стороне выборками, но и его восстановлении на приёмной стороне по переданным дискретным значениям. Этот процесс восстановления называется интерполяция.

Основополагающей теоремой теории дискретного регулярного представления по выборкам является теоремаКотельникова: Любой непрерывный детерминированный или случайный процесс(сигнал) St возможно восстановить со сколь угодно высокой точностью по его дискретным регулярным выборкам при условиях:

1 Процесс имеет ограниченный спектр от 0 до Fв

2 Процесс наблюдается бесконечное время

3 Выборки сообщения формируются с частотой опроса Fo>=2Fв

Восстановление процесса ведётся по точным значениям выборок в форме ряда Котельникова с помощью функций отсчёта:

Wn(t-kTo) –функция отсчёта представляет собой импульсную характеристику идеального фильтра нижних частот или эквивалентного ему устройства.

Представления сигнала ряда Котельникова:

Если допустить что сигнал S(t) имеет конечную длительность Т и ширину спектра Fв, то для представления сигнала S(t) потребуется М=2 FвТ

Влияние частоты дискретизации на возможность восстановления сигнала с помощью фильтра

Рассмотрим требования предъявляемые к выбору по частоте опроса. С точки зрения возможности выделения сигнала при приёме за счёт использования фильтрации низкочастотной части спектра

А – спектр исходного сигнала; Б- спектр АИМ сигнала при wo=2wв

В – спектр АИМ сигнала при wo>2wв; Г – спектр АИМ сигнала при wo<2wв

Если в соответствии с теоремой Кательникова выбрано wo=2wв, то спектр дискретизации сигнала имеет вид показанный на рис.б , который должен быть зашртихован. Спектр первичного сигнала может быть отделён от нижней боковой частоты если в диапазоне частот до wо только с помощью идеального фильтра нижних частот . Такой фильтр физически нереализуем, поэтому нужна частота wo>2wв

При wo<2wв спектр исходного и АИМ сигналов пере…… и разделение невозможно. Показанные части спектра дискретного сигнала в полосу пропускания а ФНЧ приводит к появлению близких показаний сигналаи составляющего спектра мод. Емкость. Это приводит к неустранимым искажениям. Во избежание этих искажений спектр первичного сигнала перед дискретизацией ограничивают по полосе частот, подавляя составляющие выше wв.