Правила розв’язування задачі дробово-лінійного програмування графічним методом

1. Побудувати область допустимих розв’язків, що відповідає системі обмежень задачі.

2. Вибирати довільне значення z і побудувати відповідну пряму, яка обов’язково пройде через початок координат.

3. Якщо позначити , то

- якщо , то повертаючи пряму z проти годинникової стрілки до опорного положення, отримаємо точку мінімуму (для здобуття максимуму пряму повертають за годинниковою стрілкою);

- якщо , то для здобуття мінімуму пряму z, повертають за годинниковою стрілкою до опорного положення (для максимуму – проти годинникової стрілки).

4. Визначають координати отриманих точок - це і будуть оптимальні значення змінних.

5. Обчислюють величину цільової функції.

Приклад 2.1.2. Решить задачу дробно-линейного программирования (2.1.1), (2.1.2) графическим методом.

Розв’язування.. Область допустимих розв’язків, що відповідає системі обмежень (2.1.1), заштриховано на рис. 2.1.1. Вона є трикутником АВС.

Рис. 2.1 – Область допустимих розв’язків

Для побудови прямої z виконаємо наступні перетворення. Нехай , тоді, тому прямаz має вид або.

Оскільки в даному випадку виконується нерівність , то для знаходження мінімуму цільової функції будемо повертати пряму z за годинною стрілкою до опорного положення.

Для знаходження рішення задачі, знайдемо координати точки А як точки перетину прямих l₂ і l₃ , розв’яжемо систему рівнянь

В результаті получимо, що А, тобто.,. Підставив ці значення змінних в цільову функцію (2.1.2), отримаємо

.

2.2. Цілочисельні задачі лінійного програмування

Значна частина економічних задач, які відносяться до ЗЛП, вимагає цілочисельного рішення. Серед них задачі, де змінні означають кількість одиниць неподільної продукції – розподіл виробничих будинків між підприємствами, розкрій матеріалів, завантаження обладнання розподіл машин по маршрутами, літаків по рейсами, виробництво неподільної продукції.

Якщо одиниця складає малу частину всього обсягу виробництва, то оптимальне рішення обчислюють за допомогою звичайного симплекс-метода, потім округляють його до цілих одиниць згідно змісту задачі. Інакше округлення може привести до рішення, яке не є оптимальним цілочисельним вирішенням.

Задача цілочисельного програмування формується як ЗЛП, але включає додаткову вимогу: значення змінних в оптимальному рішенні мають бути цілими невід’ємними числами.

Знайти мінімальне значення лінійної функції

при обмеженнях

–целые числа

Методи цілочисельної оптимізації розділяють на точні і наближені. До точних методів відносяться методи відсікання і комбінаторні. Це універсальні методи дискретної оптимізації. Труднощі машинної реалізації точних методів привели до появи наближених методів які розрізняють за напрямами: розробка алгоритмів, які зважають на специфіку завдання; використання випадкових пошуків в об'єднанні з локальною оптимізацією.

Розглянемо метод відсікання - метод Гоморрі, основна ідея якого:

- розв’язати задачу, не звертаючи увагу на умову цілочисельності. Якщо отримано цілочисельний план, то задача розв’язана.

- інакше до обмежень вихідної задачі додають додаткове обме ження з умов:

а) отримане не цілочисельне вирішення порушує це обмеження;

б) будь-який цілочисельний допустимий план початкового завдання задовольняє і новому обмеженню.

- нову задачу вирішують симплекс-методом і так далі

Геометрично додавання кожного нового обмеження відповідає проведенню прямої, яка відсікає від багатокутника розв’язків деяку частину з оптимальною точкою з нецілими координатами, але не зачіпає жодної з цілочисельних точок багатокутника розв’язків. Всі точки з цілочисельними координатами залишаються в новому багатокутнику розв’язків. На основі цієї ідеї американських математик Р.Гоморрі запропонував алгоритм розв’язування задач дискретного лінійного програмування, що сходиться.

Зауваження. Якщо ЗЛП без умови цілочисельності не має рішень, то цілочисельна ЗЛП теж не має рішень.

Приклад 2.2.1. Розв’язати задачу цілочисленного лінейного програмувавня

(2.2.1)

(2.2.2)

Розв’язування. Приведемо задачу до канонічної форми шляхом введення додаткових змінних x₃, x₄ в систему обмежень (2.2.1). ЗЛП (2.2.1), (2.2.2) в канонічній формі має вид (2.2.3):

(2.2.3)

Розв’яжемо ЗЛП симплекс-методом.

Перша симплекс-таблиця має вид:

Таблица 2.2.1

Перша симплексна таблиця

Б	С		1	-1	0	0	С.В.
	0	3	1	2	1	0	3/2
	0	3	2	1	0	1	3/1
z-рядок		0	-1	1	0	0

Рішення, що відповідає симплексній таблиці 2.2.1, таке:

х₁ = 0, х₂ = 0, х₃ = 3, х₄ = 3.

Воно оптимальним не є, тому перейдемо до наступної симплекс-таблиці.

Таблиця 2.2.2

Друга симплексна таблиця

Б	С		1	-1	0	0
	-1	3/2	1/2	1	1/2	0
	0	3/2	3/2	0	-1/2	1
z-рядок		-3/2	-3/2	0	-1/2	0

Другій симплексній таблиці відповідає опорний план:

. (2.2.4)

Рішення (2.2.4) є оптимальним і єдиним, оскільки в z-рядку немає додатних оцінок. Значення цільової функції min z = – 3/2.

В отриманому плані (2.2.4) дві компоненти не цілі, тому для знаходження цілочисльнного рішення будемо використовувати метод Гоморри. Оскільки не цілі компоненти отриманого плану однакові, то виконувати відсікання можна за будь-яким рядком.

Наприклад, для рядка маємо:

. (2.2.5)

Зауваження. , де– ціла частина, це ціле найближче дочисло, яке його не перевищує;– дробова частина числа.,.

Нерівність (2.2.5) приме вид

або

. (2.2.6)

Для введення додаткового обмеження (2.2.6) до другої симплексної таблиці, введемо в нього нову додаткову змінну :

.

Ново обмеження запишемо до другої симплексної таблиці, отримаємо третю симплексну таблицю:

Таблиця 2.2.3

Третя симплексна таблиця

Б	С		1	-1	0	0	0
	-1	3/2	1/2	1	1/2	0	0
	0	3/2	3/2	0	-1/2	1	0
-	-	1	1	0	1	0	-1
z-рядок		-3/2	-3/2	0	-1/2	0	0

Зауваження. Генеральний елемент вибирають з наступних міркувань:

якщо , тоє генеральний елемент; якщо , тоє генеральний елемент.

В нашому випадку . Таким чином, векторвведемо в базис і отримаємо четверту симплекс-таблицю.

Таблиця 2.2.4

Четверта симплексна таблиця

Б	С		1	-1	0	0	0
	-1	1		1	0	0	1/2
	0	2	2	0	0	1	-1/2
	0	1	1	0	1	0	-1
z -рядок		-1	-1	0	0	0	-1/2

Симплексній таблиці 2.2.4 відповідає опорний план:

.

Він є цілочисленним, оптимальним і єдиним, оскільки в z-рядку немає додатних оцінок. Значення цільової функції .

Приклад 2.2.2. Розв’язати задачу цілочисльного лінійного програмування (2.2.1), (2.2.2) графічно.

Розв’язування. Для графічного розв’язування цієї задачі побудуємо область допустимих розв’язків, що відповідає системі обмежень (2.9.1), що представлено на рис. 2.2.1. З рис. 2.2.1 видно, що це АВСО. Змалювавши вектор-градієнт ОN, знаходимо нецілочисельне рішення: точка А(0;3/2).

Побудуємо в отриманій області допустимих розв’язків додаткове обмеження (2.9.6). Додатковому обмеженню відповідає пряма:, з першої рівності системи (2.2.3)маємо.

Тоді , тому, значить пряма:.

Додаткове обмеженнявід області допустимих розв’язків відсікає трикутникАВА₁, що містить не ціле рішення, і, нова область допустимих розв’язків є чотирьохкутником А₁ВСО. Оптимальним рішенням є точка А₁(0;1) і .

Рис. 2.2.1 – Графічний метод розв’язування ЗЛП (2.9.1), (2.9.2).

Зауваження. Якщо в оптимальному плані є декілька нецілих координат, то для побудови нового обмеження доцільно вибирати рядок, який містить в стовпці число з найбільшою дробовою частиною.

Зауваження. Якщо в рядку з нецілим числом в стовпці містяться лише цілі числа, то задача не має рішення.