Критерій оптимальності плану перевезень

• Якщо серед оцінок оптимальності всі невід’ємні, то опорний план є оптимальним і єдиним.

• Якщо серед оцінок оптимальності є лише невід’ємні і нульові, то опорний план є оптимальним, але не єдиним.

• Якщо серед оцінок оптимальності є хоч би одна додатна, то опорний план не є оптимальним.

Перехід від одного опорного плану до іншого проводять заповненням клітину, для якої порушена умова оптимальності. Таким чином для побудови циклу перерозподілу вантажу потрібно вибирати клітину з найбільшою додатною оцінкою.

Зауваження. Якщо є декілька таких оцінок, то вибирають клітину з меншим тарифом.

Для цієї вибраної клітини будуємо цикл перерозподілу поставок. Цикл рисують ламаною лінією всі кути повороту якої прямі, одна вершина його знаходиться у вибраній клітині, а інші – у заповнених. Для перерозподілу поставок в незаповненій клітині ставимо знак “+”, потім знаки чергуємо. Серед клітин зі знаком “–” вибираємо найменшу кількість вантажу і в клітини зі знаком “+” будемо прибавляти це число, а від клітин зі знаком “–” будемо це число віднімати. В результаті такого перерозподілу поставок отримаємо новий опорний план транспортної задачі.

Зауваження. Цикл перерозподілу поставок може мати різний вид, наприклад, як на рис. 2.3.1.

Рис. 2.3.1 – Цикли перерозподілу поставок

Зауваження. Кількість вантажів, що не приймали участь в перерозподілі, переписують без зміни.

Розв’язування транспортної задачі розглянемо на прикладі.

Приклад 2.3.1. Знайти оптимальний план перевозок.

B A		B1	B2	B3
		10	20	20
А1	20
А2	40
А3	35

Розв’язування. Спочатку необхідно перевірити наявність балансу між попитом і пропозицією: 20 + 40 + 35 = 95; 10 + 20 + 30 = 50. Балансу немає.

Для того, щоб дану транспортну задачу закрити, необхідно ввести фіктивного споживача В₄ з потребою 45 одиниць вантажу (95 – 50 = 45) і нульовими тарифами.

Для побудови початкового опорного плану транспортної задачі скористаємося методом північно-західного кута.

Таблиця 2.3.1

Перша таблиця

B A		B1	B2	B3	B4
		10	20	20	45
А1	20	10	10
А2	40		10	20	10
А3	35				35

В нашому випадку число заповнених клітин повинно бути

т + п – 1 = 3 + 4 – 1 = 6.

Всі 6 клітин є заповненими, тобто опорний план транспортної задач є невиродженим.

Опорний план, що відповідає таблиці 2.3.1, має вид

.

В таблиці 2.3.1 сума затрат на перевозку складає

z₁ = 10 · 6 + 10 · 3 + 10 · 2 + 20 · 6 + 10 · 0 + 35 · 0 = 230.

Знайдемо оцінки оптимальності для кожної клітини таблиці 2.3.1 і запишемо їх в таблицю 2.3.2.

Таким образом, таблиця 2.3.1 прийме вид:

Таблиця 2.3.2

Перерозподіл поставок першої таблиці

B A		B1	B2	B3	B4	ui
		10	20	20	45
А1	20	– 10	+ 10	(3)	(-)	0
А2	40	(2)	– 10	20	+ 10	-1
А3	35	(5) +	(-)	(-)	– 35	1
	vj	6	3	5	–1

Опорний план Х₁, який відповідає таблиці 2.3.2 оптимальним не є.

Для побудови циклу перерозподілу вантажу слід вибирати клітину з самою великою додатною оцінкою. В нашому випадку це (А₃, В₁). Таким чином, цикл починається в клітині (А₃, В₁), потім він продовжується до клітини (А₃,В₄), в якій повертає в клітину (А₂, В₄), потім – в клітину (А₁, В₂), потім – в клітину (А₁, В₁), і повертається в початкову клітину (А₃, В₁).

В клітині (А₃, В₁) ставимо знак “+”, далі чергуємо знаки: в клітині (А₃, В₄) – знак “–”, в клітині (А₂, В₄) – знак “+”, в клітині (А₂, В₂) – знак “–”, в клетке А₁, В₂) – знак “+”, в клітині (А₁, В₁) – знак “–”.

В нашому випадку найменша кількість вантажу в клітинах зі знаком “–” це 10, яке до чисел в клітинах зі знаком “+” будемо прибавляти, а від чисел в клітинах зі знаком “–” будемо віднімати.

Кількість вантажів, які не приймали участь в циклі, переписуємо без зміни. В нашому випадку це клітина (А₂, В₃).

Таким чином, таблиця 2.3.3 має вид:

Таблиця 2.3.3

Друга таблиця

B A		B1	B2	B3	B4	ui
		10	20	20	45
А1	20	(-)	- 20	(5) +	(1)	0
А2	40	(-)	+ 0	-- 20	20	-1
А3	35	10	(2)	(-)	25	-1
	vj	3	3	7	1

В таблиці 2.3.3 число заповнених клітин дорівнює 5, що менше т + п – 1 = 6, тобто потрібно заповнить пусту клітину нулем, тоді їх буде 6. В клітину (А₂, В₂) з найменшим тарифом 2 поставимо нуль і будемо вважати її заповненою.

Далі розписуємо потенціали і знаходимо оцінки оптимальності, відображуючи ці дії в таблиці 2.3.3.

Опорний план, що відповідає таблиці 2.3.3, має вид

.

Опорний план Х₂ оптимальним не ж, сума витрат на перевозку складає при цьому

z₂ = 20 · 3 + 0 · 2 + 20 · 6 + 20 · 0 + 10 · 2 + 25 · 0 = 200.

Для побудови циклу перерозподілу вантажу слід вибирати клітину з самою великою додатною оцінкою (А₁, В₃). В нашому випадку цикл починається в клітині (А₁, В₃), потім він продовжується до клітини (А₁, В₂), в якій повертає в клітину (А₂, В₂), потім – в клітину (А₂, В₃), і повертається в початкову клітину (А₁, В₃).

В клітині (А₁, В₃) ставимо знак “+”, далі чергуємо знаки: в клітині (А₁, В₂) – знак “–”, в клітині (А₂, В₂) – знак “+”, в клітині (А₂, В₃) – знак “–”.

В нашому випадку найменша кількість вантажу в клітинах зі знаком “–” це 20. Тоді до чисел в клітинах зі знаком “+” цю кількість вантажу будемо прибавляти, а від чисел в клітинах зі знаком “–” будемо віднімати. Кількість вантажів, які не приймали участь в циклі, переписуємо без зміни. В нашому випадку це вантажі, що знаходяться в клітинах (А₁,В₃), (А₂,В₄), (А₃,В₄). Таким чином, таблиця 2.3.4 має вид:

Таблиця 2.3.4

Третя таблиця

B A		B1	B2	B3	B4	ui
		10	20	20	45
А1	20	(-)	(-)	20	0	0
А2	40	(-)	20	(-)	20	0
А3	35	10	(-)	(-)	25	0
	vj	2	2	2	0

В таблиці 2.3.4 число заповнених клітин дорівнює 5, що менше 6, тобто потрібно заповнити незаповнену клітину нулем, тоді їх буде 6. В клітину (А₁,В₄) с найменшим тарифом поставимо нуль и будемо вважати її заповненою.

Далі розписуємо потенціали і знаходимо оцінки оптимальності, відображуючи ці дії в таблиці 2.3.4.

Опорний план, що відповідає таблиці 2.3.4, має вид

.

Опорний план Х₃ є оптимальним, сума витрат на перевозку в цьому випадку дорівнює

z₃ = 20 · 2 + 0 · 0 + 20 · 2 + 20 · 0 + 10 · 2 + 25 · 0 = 60.