- •Міністерство освіти і науки україни
- •ЕкономіКо-математиЧнЕ моделЮвання
- •1. Задача лінійного програмування та методи її розв’язування
- •1.1. Загальна економіко-математична модель задачі лінійного програмування. Приклади побудови лінійних економіко-математичних моделей
- •Теорема 2. Оптимальне значення цільова функція задачі лінійного програмування досягає в вершині багатокутника розв’язків.
- •1.3. Симплексний метод розв’язування задач лінійного програмування
- •Алгоритм симплекс-метода розв’язування злп
- •Критерій оптимальності опорного плану:
- •Правила переходу до наступної симплекс-таблиці:
- •1.4. Двоїста задача лінійного програмування
- •Правила складання двоїстої задачі:
- •2. Елементи нелінійного програмування та розподілюванні задачі
- •2.1. Дробово-лінійне програмування
- •Правила розв’язування задачі дробово-лінійного програмування графічним методом
- •2.2. Цілочисельні задачі лінійного програмування
- •2.3. Транспортна задача. Постановка, методи розв’язання та аналіз
- •Критерій оптимальності плану перевезень
- •3. Завдання для модульного контролю
- •Література
- •ЕкономіКо-математичне моделЮвання
- •83023, М. Донецьк, вул. Харитонова, 10. Тел.: (062)97-60-50
- •2.4. Задачі при призначення
- •Алгоритм метода Фогеля
- •Алгоритм венгерского метода решения задачи о назначениях
1.4. Двоїста задача лінійного програмування
З кожною ЗЛП зв’язана інша лінійна задача, яка називається двоїстою (начальна задача називається вихідною).
Пара двоїстих задач має наступний вид:
Вихідна задача Двоїста задача
Правила складання двоїстої задачі:
1. Якщо цільова функція вихідної задачі формулюється на максимум, а цільова функція двоїстої задачі – на мінімум, при цьому в задачі на максимум все нерівності в обмеженнях приводять до вигляду “”, а в задачі на мінімум – до вигляду “ ”.
2. Матриця складена з коефіцієнтів при невідомих в системі обмежень вихідної задачі, і аналогічна матриця двоїстої задачі є транспонованими по відношенню одна до однієї.
3. Число змінних двоїстої задачі дорівнює числу обмежень вихідної задачі а число обмежень двоїстої задачі – числу змінних вихідної задачі.
4. Коефіцієнтами при невідомих в цільовій функції двоїстої задачі є вільні члени в системі обмежень вихідної задачі.
5. Правими частинами в обмеженнях двоїстої задачі є коефіцієнти при невідомих в цільовій функції вихідної задачі.
6. Передбачається, що змінні в обох задачах є невід’ємними.
Пари двоїстих задач підрозділяються на симетричні і несиметричні. У симетричних задачах обмеження вихідної і двоїстої задач є нерівностями, змінні можуть набувати невід’ємні значення. У несиметричних задачах обмеження вихідної задачі можуть бути рівняннями, а двоїстої – нерівностями, змінні можуть набувати будь-яких значень.
Зауваження.
• Двоїста задача до двоїстої буде вихідною.
• Для побудови двоїстої задачі слід перевірити виконання для вихідної задачі наступних умов:
а) у всіх обмеженнях вільні члени містяться в правій частині нерівностей (рівностей), члени з невідомими – в лівій;
б) всі нерівності обмежень вихідної задачі мають бути записані так, щоб знаки нерівностей в них були направлені в одну і тугіше сторону;
в) знаки нерівностей системи обмежень пов’язані з оптимізацією цільової функції таким чином: ;
Між взаємно двоїстими ЗЛП має місце взаємозв'язок, який виходить з теорем двоїстості.
Теореми двоїстості.
• Якщо одна з пари двоїстих задач має оптимальний план, то друга також має рішення, а значення цільових функцій для оптимальних планів збігаються, тобто .
• Якщо цільова функція однієї з пари двоїстих задач не обмежена, то друга задача зовсім не має рішень.
• Пара двоїстих задач не має рішень.
• Якщо вихідна задача має оптимальний план, що знайдено за допомогою симплекс-метода, то оптимальний план двоїстої задачі розташований в останній таблиці. Значення дорівнює модулю оцінки оптимальності для вектора, який в першій симплекс-таблице був першим базисним вектором і так далі
• Якщо в результаті підстановки оптимального плану вихідної задачі в систему обмежень цієї задачі i-е обмеження звертається в рівність, то відповідна i-а компонента оптимального плану двоїстої задачі дорівнює нулю.
• Якщо i-а компонента оптимального плану двоїстої задачі додатна, то відповідне i-е обмеження вихідної задачі виконується для оптимального плану.
Приклад 1.4.1. Записати двоїсту задачу для ЗЛП (1.2.1) (1.2.2). Виписати рішення двоїстої задачі.
Розв’язування. Оскільки вихідна задача на максимум, то у всіх обмеженнях системи (1.2.1) має бути знак “”. Для цього обидві частини третьої нерівності помножимо на (–1). Таким чином, отримаємо:
(1.4.1)
max z = x1 + 4x2 (1.4.2)
Для задачі (1.4.1), (1.4.2) запишемо двоїсту. Для цього:
Випишемо матрицю, що складається з коефіцієнтів при невідомих в системі обмежень (1.4.1) і транспонуємо її: .
За отриманою матрицею складемо нову систему обмежень, причому в нерівностях обмежень буде знак “” і в правій частині цих нерівностей будуть стояти коефіцієнти цільової функції (1.4.2), тобто 1 і 4:
Коефіцієнтами цільової функції двоїстої задачі будуть числа, що знаходяться в правій частині обмежень вихідної задачі (1.4.1), причому цільова функція вже мінімізується: min f = – 5y1 + 6y2 – 7y3 .
Таким чином, двоїста задача має вид (1.4.3), (1.4.4):
(1.4.3)
min f = – 5y1 + 6y2 – 7y3 . (1.4.4)
Вихідна і двоїста ЗЛП мають різний економічний зміст. Розв’язуючи одну задачу можна не розв’язуючи другу виписати її рішення. Рішення двоїстої задачі y1, y2, y3 знаходиться в z-рядку останньої симплексної таблиці в додаткових стовпцях (а саме, в стовпцях р3, р4, р5). Слід пам’ятати, що рішення виписують з урахуванням невід’ємності змінних. В нашому випадку маємо наступне рішення:
y1 = 0, y2 = 9/2, y3 = 1/2.
При підстановці цього рішення в цільову функцію двоїстої задачі (1.4.4) повинне виходите число, що стоїть в z-рядку останньої симплексної таблиці в стовпці р0. Перевіримо:
min f = maxz.