Теорема 2. Оптимальне значення цільова функція задачі лінійного програмування досягає в вершині багатокутника розв’язків.

Теорема 3. Якщо оптимальне значення цільова функція задачі лінійного програмування досягає в декількох точках багатокутника розв’язків, то вона приймає це значення в будь-якій точці, яка є їх випуклою комбінацією.

1.2. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування

Графічний метод розв’язування ЗЛП заснований на твердженнях, що приведені в пункті 1.1. Згідно теоремі 2, оптимальне рішення знаходиться у вершині багатокутника розв’язків і тому розв’язати ЗЛП – знайти вершину багатокутника розв’язків, координати якої дають оптимальне значення цільової функції.

Графічний метод використовують для розв’язування обмеженого класу задач з двома змінними, інколи з трьома змінними. Треба відмітити, що для трьох змінних ця область є недостатньо наочною.

Алгоритм графічного методу розв’язування ЗЛП

1. Побудувати прямі лінії, рівняння яких отримуємо заміною в системі обмежень (1.1.3) знаків нерівностей на знаки рівності.

2. Визначити півплощини, що відповідають кожному обмеженню задачі.

3. Знайти багатокутник розв’язків ЗЛП, враховуючи, що .

4. Побудувати вектор напрямків =(с₁,с₂), який вказує напрямок найбільшого зростання цільової функції ЗЛП (1.1.2).

5. Побудувати пряму, яка проходить через область допустимих розв’язків, перпендикулярно до вектора :. Це лінія рівня.

6. Пересунути пряму в напрямку векторав випадку максимізації цільової функції; або в протилежному направленні в разі мінімізації цільової функції, знайти вершину багатокутника розв’язків ЗЛП, в якій цільова функція досягає екстремального значення.

7. Визначити координати точки, в якій цільова функція досягає оптимальне значення і обчислити екстремальне значення цільової функції в цій точці.

Реалізацію графічного методу розв’язування ЗЛП розглянемо на прикладах.

Приклад 1.2.1. Розв’язати ЗЛП графічним методом:

(1.2.1)

max z = x₁ + 4x₂ (1.2.2)

Розв’язування.

Для побудови області допустимих розв’язків, яка складається з перетину півплощин, що відповідають кожній нерівності системи обмежень (1.2.1), запишемо рівняння граничних прямих:

l₁: x₁ + 5x₂ = 5; l₂: x₁ + x₂ = 6; l₃: 7x₁ + x₂ = 7.

Зауваження. Для побудови прямої лінії, її рівняння можна привести до виду у відрізках на осях

, (1.2.3)

де параметри а, b – довжини відрізків, що відсікає пряма на відповідних осях Ох₁, Ох₂ .

Якщо рівняння прямої лінії має вид: Аx₁ + Вx₂ = 0, то вона проходить через точку с координатами (0;0). Для її побудови слід виразить x₂ через x₁, і найти ще одну точку.

Для того, щоб привести рівняння прямої l₁ к виду (1.2.3.) поділимо обидві його частини на 5: . Таким чином, прямаl₁ відсікає на осі Ох₁ 5 одиниць, на осі Ох₂ 1 одиницю. Аналогічно маємо для l₂: іl₃: .

Для визначення півплощин, які відповідають обмеженням системи (1.2.1) в обмеження потрібно підставити координати якої-небудь точки, що не належить граничній прямій. Якщо отримаємо вірну нерівність, то всі точки з цієї півплощини є рішеннями даної нерівності. В іншому випадку вибирають іншу півплощину.

Зауваження. Як точку порівняння доцільно вибирати, якщо це можливо, точку О(0,0).

Таким чином, перша і друга шукані півплощини розташовані в протилежну сторону від початку координат (0 – 5·0– 5; 7·0 + 07), а друга – у бік початку координат (0 + 0 6). Область допустимих розв’язків на рисунку 1 заштриховано.

Зауваження. Через обмеження х₁0,х₂0, область допустимих розв’язків ЗЛП завжди лежить у першій чверті координатної площини.

Рис. 1.1 – Область допустимих розв’язків

Для знаходження оптимального плану, який знаходитиметься у вершині багатокутника вирішень, потрібно побудувати вектор напрямків =(с₁,с₂), який вказує напрямок найбільшого зростання цільової функції z = с₁х₁ + с₂х₂.

У даному завданні вектор напрямків = (1, 4): він починається в точці О(0,0) і закінчується в точці N(1, 4).

Далі будуємо пряму, яка проходить через область допустимих розв’язків, перпендикулярно до вектора, і називається лінією рівня цільової функції. Пересуваємо лінію рівня у напрямі вектора в разі максимізації цільової функції z і в напряму протилежному, в разі мінімізації z, до останнього перетину з областю допустимих розв’язків. В результаті визначається точка або точки, де цільова функція досягає екстремального значення або встановлюється необмеженість цільової функції z на множені розв’язків задачі.

Таким чином, точкою максимуму цільової функції z є точка А перетину прямих l₂ і l₃.

Для обчислення оптимального значення цільової функції z знайдемо координати точки А. Оскільки точка А – це точка перетину прямих l₂ і l₃, то її координати задовольняють системі рівнянь, яка складена з рівнянь, що відповідають граничним прямим, які перетинаються в оптимальній вершині:

Таким чином, точка А має координати x₁ =1/6, x₂ = 35/6.

Для обчислення оптимального значення цільової функції потрібно підставити в неї координати точки А.

Після підстановки координат точки А в цільову функцію (1.2.2), отримаємо

max z = 1/6 + 4·(35/6) = 47/2.

Приклад 1.2.2. Побудувати на площині область допустимих розв’язків системи лінійних нерівностей (1.2.4) і знайти найбільше і найменше значення цільової функції (1.2.5):

(1.2.4)

z = –2x₁ – x₂ (1.2.5)

Розв’язування.

Для побудови області допустимих розв’язків, яка складається з перетину півплощин, що відповідають кожній нерівності системи обмежень (1.2.4), запишемо рівняння граничних прямих:

l₁: 4x₁ – x₂ = 0; l₂: x₁ + 3x₂ = 6; l₃: x₁ – 3x₂ = 6; l₄: x₂ = 1.

Пряма l₁ проходить через точку с координатами (0;0). Для її побудови виразимо x₂ через x₁: x₂ = 4x₁. Найдемо координати ще однієї точки, через яку проходить пряма l₁, наприклад (1;4). Через точку с координатами (0;0) и точку с координатами (1;4) проведемо прямую l₁ .

Для того, щоб привести рівняння прямої l₂ к виду у відрізках на осях (1.2.3.) поділимо обидві його частини на 6: . Таким чином, прямаl₂ відсікає на осі Ох₁ 6 одиниць, на осі Ох₂ 2 одиниці. Аналогічно маємо для l₃: . Прямаl₄ паралельна осі Ох₁ и проходить через точку с координатами (0;1) .

Для визначення півплощин, які відповідають обмеженням системи (1.2.4), в обмеження потрібно підставити координати будь-якої точки, яка не належить граничній прямій. В силу обмежень х₁0,х₂0, область допустимих розв’язків ЗЛП лежить в першій чверті координатної площини.

Область допустимих розв’язків на рисунку 2 заштриховано.

Рис. 1.2 – Область допустимих розв’язків

Побудуємо вектор напрямків = (–2,–1). Далі будуємо лінію рівня, яка проходить перпендикулярно до вектора.

Для знаходження найбільшого значення цільової функції посуваємо лінію рівня в напрямку вектора до останнього перетину з областю допустимих розв’язків. Таким чином, точкою максимуму цільової функціїz є точка А перетину прямих l₁ і l₂.

Для обчислення оптимального значення цільової функції z найдемо координати точки А. Оскільки точка А – це точка перетину прямих l₁ і l₂, то її координати задовольняють системі рівнянь, що складена з рівнянь відповідних граничних прямих, які перетинаються в оптимальній вершині:

Таким чином, точка А має координати x₁ =6/13, x₂ = 24/13.

Після підстановки координат точки А в цільову функцію (1.2.5), отримаємо оптимальне значення цільової функції

max z = – 2·(6/13) – (24/13) = – 36/13.

Для знаходження найменшого значення цільової функції пересуваємо лінію рівня в напрямку протилежному вектору до останнього перетину з областю допустимих розв’язків. В цьому випадку цільова функція необмежена в області допустимих розв’язків, тобто ЗЛП рішень не має.

В результаті розв’язування ЗЛП можливі наступні випадки:

• цільова функція досягає оптимального значення в єдиній вершині багатокутника розв’язків;

• цільова функція досягає оптимальне значення в будь-якій точці ребра багатокутника розв’язків (ЗЛП має альтернативні опорні плани);

• ЗЛП не має оптимальних планів;

• ЗЛП має оптимальний план в разі необмеженості області допустимих розв’язків.