1.2.2. Способи завдання фал

Розрізняють декілька способів завдання ФАЛ, основними з яких є: табличний, аналітичний, координатний, графічний, цифровий.

У разі табличного способу ФАЛ задають таблицею істинності (рис. 1.1, а), в якій вказують, які з двох можливих значень «0» або «1» приймає функція на кожному наборі аргументів.

Аналітичний спосіб завдання ФАЛ припускає запис функції у вигляді формалізованого виразу, складеного за допомогою математичного апарату алгебри логіки, наприклад:

, (1)

. (2)

Координатний спосіб передбачає завдання ФАЛ у вигляді координатних карт станів, які називають картами Карно. За наявності змінних карти Карно складаються з полів і є прямокутними таблицями, на перетині рядка і стовпця яких записують значення функції за відповідного набору аргументів. Для складання карти необхідно, щоб у сусідніх клітинах таблиці (полях) набори аргументів відрізнялися тільки значенням однієї змінної. Карти Карно для двох, трьох і чотирьох змінних показані на рис. 1.1, б. У кожне поле карти Карно двох і трьох змінних проставлений номер набору і вписані значення функцій , заданих таблицями істинності (рис. 1.1, а).

Графічний спосіб завдання ФАЛ передбачає завдання функції у вигляді одиничного -мірного куба, вершинам якого відповідають набори значень змінних.У кожній вершині куба вказується значення, що приймається ФАЛ на даному наборі (рис. 1.1, в).

Цифровий спосіб завдання ФАЛ реалізується шляхом запису функції у вигляді сукупності наборів аргументів, на яких ФАЛ приймає істинне значення. Функції у разі цифрового способу завдання будуть записані у вигляді: ; .

Рис. 1.1. Способи завдання ФАЛ: а– таблиці істинності для ФАЛ 2 і 3 змінних;б– карти Карно ФАЛ 2, 3 і 4 змінних;в– графічний спосіб завдання ФАЛ

1.2.3. Форми представлення фал

Для аналізу і синтезу дискретних пристроїв часто зручно представляти ФАЛ в кон’юнктивній та диз’юнктивній нормальних формах.

Диз’юнктивною нормальною формою (ДНФ) називається диз’юнкція будь-якої кінцевої множини елементарних добутків. Кон’юнктивною нормальною формою називається добуток будь-якої кінцевої множини елементарних диз'юнкцій. Елементарним добутком, або елементарною диз’юнкцією, є вираз, що є добутком або диз'юнкцією будь-якої кінцевої множини, попарно різних між собою букв алфавіту даної функції, над частиною яких можуть бути поставлені знаки заперечення.

Прикладом завдання ФАЛ у формі ДНФ і КНФ, відповідно можуть служити функції:

, (3)

. (4)

Елементарні диз’юнкції є конституентами одиниці (відповідно конституентами нуля) для даної множини змінних, якщо вони в прямому або інверсному вигляді містять всі змінні алфавіту даної множини. ДНФ (відповідно КНФ) називається довершеною, якщо всі елементарні кон’юнкції (відповідно елементарні диз’юнкції), які входять до її складу, є конституентами одиниці (нуля) для однієї і тієї ж множини змінних. Прикладом завдання ФАЛ у формі ДДНФ і КДНФ можуть відповідно служити функції:

, (5)

. (6)

Будь-яка ФАЛ має одну ДДНФ і КДНФ. Для отримання довершених нормальних форм існують різні способи, основними з яких є аналітичний і табличний. Аналітичний спосіб ґрунтується на використанні теореми розкладання, яка у разі розкладання ФАЛ по одній змінній (наприклад ) записується таким чином:

, (7)

. (8)

Для отримання довершених нормальних форм необхідно здійснити розкладання ФАЛ за кожною зі змінних.

Табличний спосіб отримання довершених нормальних форм ґрунтується на використанні таблиці істинності або карти Карно. Для отримання ДДНФ виписують всі елементарні вирази, відповідні наборам змінних, на яких ФАЛ приймає одиничне значення. Для отримання КДНФ виписуються всі елементарні диз’юнкції, відповідні наборам змінних, на яких функція приймає нульове значення, причому кожна зі змінних, що входить в елементарні диз'юнкції, інвертується. Нижче наведений приклад запису у формі ДДНФ і КДНФ функції двох змінних , заданої таблицею істинності, наведеною на рис. 1.1:

, (9)

. (10)