ТЗА / Лекция заочники 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЗАДАНИЕ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Функцию f ( x1, x2, …, xn ) называют функцией алгебры логики (ФАЛ), если она, как и ее переменные, может принимать только два значения: 0 и 1. Переменные ФАЛ сопоставляют со значениями сигналов на входах дискретного автомата, а значения функции алгебры логики — со значениями сигналов на его выходах.

Реальные дискретные автоматы имеют конечное число входов, следовательно, число переменных у соответствующих ФАЛ также конечно. Так как переменные ФАЛ могут принимать только два значения, область определения любой ФАЛ конечна. Существует ряд способов задания ФАЛ.

При табличном способе ФАЛ задают таблицей ее значений в зависимости от значений переменных. Например, в табл. 2.1 заданы две ФАЛ трех переменных:

f ( x1, x2, x3 )..

Совокупность значений переменных называют набором, или точкой. Каждому набору переменных, или каждой точке, соответствует определенное значение функции. При трех переменных можно образовать восемь наборов. Следовательно, приведенные в табл. 2.1 функции f ( x1, x2, x3 ) определены на восьми наборах (или в восьми точках). Каждый набор представляет собой трехразрядное двоичное число. Если ФАЛ содержит n переменных. двоичные числа будут n-разрядные и, следовательно, общее число наборов будет При каждом наборе переменных возможны два значения ФАЛ: 0 или 1 . Поэтому в соответствие каждой ФАЛ можно поставить й-разрядиое двоичное число. Значит, число функ­ций алгебры логики n аргументов Таблицу, в которой для всех наборов переменных приводятся значения ФАЛ, называют таблицей истинности. При «переменных таблица содержит 2" строк (по числу наборов), п столбцов (по числу переменных) и один столбец значений функции.

При графическом способе наборам значений переменных ФАЛ сопоставляются точки n мерного пространства. Множество 2" наборов определяет множество вершин n-мерного единичного куба. Вершинам куба соответствуют наборы значений переменных и приписаны значения функции на этих наборах, т. е. областью определения ФАЛ, зависящей от п переменных, является множество вершин единичного «-мерного куба. Куб называют единичным, так как каждое его ребро соединяет вершины, наборы которых различаются одной переменной. Функции заданные таблицей истинности (см. табл. 2.1), можно задать графически (рис. 2.1, а).

При координатном способе функцию задают в виде координатной карты состояний, которую называют картой Карно. Карты представляют собой прямоугольные таблицы, разделенные горизонтальными и вертикальными линиями на клетки. Общее число клеток соответствует числу наборов функции. Все переменные функции разбивают на две группы. Одна группа переменных определяет выбор строки, другая — столбца. На пересечении строки и столбца находится клетка, в которую записывают значение функции при соответствующем наборе переменных. Разделение переменных на группы осуществляется так, чтобы в соседних клетках наборы различались только значением одной переменной. Карты Карно для трех (б) и четырех (в) переменных приведены на рис. 2.1. В каждую из клеток карты Карно трех переменных вписаны значения функции заданной таблицей истинности (см. табл. 2.1).

При числовом способе каждому набору переменных ставят в соответствие определенное число в двоичной системе исчисления и присваивают соответствующий номер. Переменным х_г, х_г, ..., х_п-_ъ х_п приписывают соответственно веса 2"-¹, 2"~², ..., 2¹, 2°. Функцию задают в виде десятичных номеров тех наборов переменных, на которых она принимает значение 1. Поскольку номер внутреннего состояния зависит от присвоенных переменным весов, условимся записывать эти переменные в порядке уменьшения весов. Такую запись назовем базой данной системы нумерации. Так, например, если имеются три переменные причем переменной х_г присвоен вес 2², переменной х_г — 2¹, а переменной х_а — 2°, то база системы нумерации будет.

Функции, могут быть заданы. В скобках в каждой из клеток карт Карно проставлены десятичные номера соответствующих наборов.

При аналитическом способе функцию задают в виде алгебраического выражения, показывающего, какие и в какой последовательности должны выполняться логические операции над аргументами функции. В табл. 2.2

приведен перечень логических операций, используемых при записи логических выражений.

Алгебраическое выражение может быть составлено из наборов аргументов, на которых функция принимает значение 1, или из наборов аргументов, на которых она принимает значение 0.

Аналитические выражения для функций заданных таблицей истинности (ем. табл. 2.1), имеют вид:

В системах железнодорожной автоматики, телемеханики и связи могут применяться дискретные устройства, закон функционирования которых определен не полностью. В та ких устройствах некоторые комбинации сигналов на входы никогда не подаются. Эти комбинации входных сигналов на зывают неиспользуемыми. Для неиспользуемых входных комбинаций выходные сигналы не определены.

Работа дискретных устройств с неиспользуемыми комбинациями входных сигналов описывается не полностью, или частично определенными функциями алгебры логики, т. е. функциями, значения которых определены не на всех наборах переменных. Если значение ФАЛ определено на всех возможных наборах значений ее переменных, то ее называют полностью определенной.

При задании частично определенных ФАЛ табличным, координатным и графическим способами ставят знак ~ , если значение функции не определено. В случае числового задания не полностью определённой функции номера неиспользуемых наборов заключают в скобки: / (х_г, х₂, х₃) = = {0, 5, 6 (2, 4, 7)}. На рис. 2.2 задана не полностью определенная функция / (х_г, х₂, х₉) трех переменных с использованием таблицы истинности в форме карты Карно.

ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ ОДНОЙ И ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ

Число наборов значений одной переменной равно двум. Поэтому число ФАЛ одной переменной 2² =_4. Таблицей истинности этих функций является табл. 2.3.

Функции /о (*) и /₃ (х) равны соответственно 0 и 1 при обоих значениях переменной. Значение функции /_х (х) совпадает со значением входного сигнала. Функция /₂ (х) принимает значения, противоположные х, т. е. осуществляет инверсию х.

Техническая реализация ФАЛ зависит от выбора физических величин, которыми являются логические 0 и 1. Если О представляется низким потенциалом, а 1 — высоким, как, например, в бесконтактных дискретных элементах, то формирование функций /о (х) и /з (х) требует подключения выхода к точкам схемы соответственно с низким и высоким потенциалами. Формирование функции /\ (х) вызывает необходимость соединения входа с выходом. Схемы реализации функции /₂ (х) на электронных элементах приведены на рис. 1.14 и 1.15.

При использовании электромагнитных реле функция /о формируется разрывом электрической цепи, функция /_г— включением в цепь фронтового контакта реле, на обмотку которого подается входной сигнал (напряжение), функция /₂ — включением в цепь тылового контакта реле, функция /₃ — коротким замыканием цепи.

Число различных наборов значений двух переменных составляет 2'² ~ 4, а число различных возможных ФАЛ двух переменных — 2² ---- 16. Эти функции заданы в табл. 2.4.

В число 16 ФАЛ двух переменных входят функции, тождественно равные константам 0 и 1, переменным х_г и л:.₂ и инверсиям этих переменных:

Из сравнения таблиц истинности функций /₀ — /_]5 (^см-табл. 2.4) с таблицами истинности логических операций (см. табл. 2.2) следует:

Функции "одного и двух аргументов ввиду их простоты называют элементарными. Примеры технической реализации рассмотренных функций на контактах приведены на рис. 2.3. Если х_г — 1 и х₂ = 1, т. е. подается напряжение на обмотки реле XI и Х2 (рис. 2.3, а), последние притягивают якоря, замыкаются их фронтовые контакты. Вы

4. Перелік літератури

	Основна
1.	Сапожников В.В. и др. Теория дискретных устройств железнодорожной автоматики и телемеханики. М.: 2001.
2.	Сапожников В.В. и др. Дискретные устройства железнодорожной автоматики, телемеханики и связи. -М.: Транспорт, 1988.-256с. Обесп. 1/3.
	Додаткова
2.	Голсуорт В.В. Проектирование цифровых логических устройств.-М.:Машиностроение, 1985.- 226 с. Обесп. 1 екз.
3.	Дискретные устройства автоматизированных систем управления /Под ред. Г.Н.Тимонькина.-Харьков, 1990.-511 с. Обесп.1 екз.
4.	Методичні вказівки Обесп.1/1