- •СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
- •СОДЕРЖАНИЕ
- •Литература
- •Тематические тестовые задания
- •Определения, свойства, формулы
- •Комбинаторика
- •События. Операции над событиями
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей
- •Приближенные формулы в схеме Бернулли
- •Дискретные случайные величины (ДСВ). Числовые характеристики ДСВ и их свойства. Функция распределения
- •Биномиальное распределение
- •Функция и плотность распределения непрерывной случайной величины
- •Равномерный закон распределения
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Примерные варианты тестов
На пяти одинаковых карточках написаны числа 2, 4, 8, 9, 14. Наугад
7берутся две карточки. Найти вероятностpь p того, что образованная из двух полученных чисел дробь несократимая. В ответ записать 2/p.
Имеется 10 билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда, а
8остальные на места пятого ряда. Найти вероятность р того, что выбранный наудачубилетокажетсянаместапятогоряда. Вответзаписать10р.
9 |
Для некоторой местности число пасмурных дней в июне равно шести. |
||||||||
Найтивероятностьртого, что1 июняяснаяпогода. Вответзаписать15р. |
|||||||||
|
|
|
|
Геометрическое определение вероятности |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|
|
Задания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Если на светофоре 90 сек горит зелёный свет и 60 сек – красный, то |
||||||||
1. |
вероятность р, что автомобиль, подъехав к светофору, не сделает |
||||||||
|
остановки равна… В ответ запишите величину 10·р. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
Если на участке между 40-ым и 70-ым километрами телефонной линии |
||||||||
2. |
произошёл обрыв, то вероятность р того, что разрыв линии находится |
||||||||
между 50-ым и 55-ым километрами равна…. |
|
|
|
||||||
|
В ответ запишите величину 12р. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
Все динамики вокзала каждые 3 мин. передают одно и то же объявление. |
||||||||
3. |
Найти вероятность того, что пассажир, пришедший на вокзал в |
||||||||
|
случайный момент времени, услышит это объявление не позднее, чем |
||||||||
|
через 1 мин после прихода. В ответ записать число 10 p. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
Если в круг вписан квадрат и внутрь круга наудачу брошена точка, то |
||||||||
4. |
вероятность р попадания точки внутрь квадрата равна… |
||||||||
|
|
В ответ запишите величину π·р. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
На отрезке AB длиной 20 см наудачу поставлена точка М. Найти |
||||||||
5. |
вероятность p того, что площадь круга радиуса AM будет больше |
||||||||
|
величины 9π . В ответ записать число 10p. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
В круг вписан квадрат. Найти вероятность того, |
|
|
||||||
6 |
что случайно брошенная в круг точка окажется внутри квадрата: |
||||||||
|
а) |
2 |
; |
б) π ; |
в) π ; |
г) π ; |
д) |
4 |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
π |
2 |
4 |
4 |
|
π |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
На отрезке |
0,1 |
наугад выбраны два числа x и y. Найти вероятность |
|||||||
|
|
|
[ |
] |
|
|
|
|
|
|
7 |
того, что расстояние от точки плоскости (x, y) до начала координат |
|||||||||
больше числа 1: |
|
в) 1 ; |
г) 2 ; |
|
4 |
|
||||
|
а)1− π |
; |
б) |
π |
; |
д) |
. |
|||
|
4 |
|
||||||||
|
4 |
|
|
|
2 |
3 |
π |
|||
|
|
|||||||||
|
Центр круга единичного радиуса находится в одной из вершин квадрата, |
|||||||||
|
длина стороны которого равна 1. Найти вероятность p того, что точка, |
|||||||||
8 |
брошенная наугад в круг, окажется внутри квадрата: |
|||||||||
|
а) 1 ; |
б) |
1 ; |
|
в) |
π ; |
г) π ; |
д) 3 . |
||
|
4 |
|
2 |
|
|
4 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вари- |
|
|
|
|
|
|
Задания |
анты |
|||||
п/п |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ответов |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Условная вероятность P(A / B) это: |
1) а); |
|||||||||
|
а) вероятность одновременного наступления событий А и В; |
2) в); |
|||||||||
|
б) вероятность события В, вычисленная в предположении, что |
3) г); |
|||||||||
|
событие А уже произошло; |
4) б); |
|||||||||
1. |
в) вероятность события А, вычисленная в предположении, что |
5) д. |
|||||||||
событие В уже произошло; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
г) вероятность наступления по крайней мере одного из событий |
|
|
||||||||
|
А и В; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
д) ) вероятность события А, вычисленная в предположении, что |
|
|
||||||||
|
событие В не может произойти. |
|
|
||||||||
|
Условная вероятность P(A / B) вычисляется по формуле: |
1) |
б); |
||||||||
|
а) P(A) P(B); |
б) |
P(A B) |
; |
|
|
2) |
д); |
|||
|
|
|
3) |
а); |
|||||||
|
|
||||||||||
2. |
|
|
P(A B) |
|
|
P(B) |
4) |
г); |
|||
|
в) |
|
г) P(A) − P(B) ; |
5) в). |
|||||||
|
P(A) ; |
||||||||||
|
|
|
|||||||||
|
д) P(A) + P(B) − P(A B). |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
Чему равна условная вероятность P(A / B), если A и B - |
1) |
д); |
||||||||
3. |
независимые события: |
2) |
а); |
||||||||
3) |
г); |
||||||||||
|
а) |
|
P(A B) |
; б) P(A); в) P(B); г) P(A) P(B); д) |
P(A B) |
. |
4) |
б); |
|||
|
|
P(B) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P(A) |
5) |
в). |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
|
Вероятность совместного наступления n событий A1, A2 ,K, An |
|
1) |
д); |
||||||
|
вычисляется по формуле: |
|
|
|
|
|
2) |
а); |
||
|
а) P(A1A2 KAn ) = P(A1)P(A2 )KP(An ) ; |
|
|
|
|
3) |
б); |
|||
4. |
б) P(A1A2 KAn ) = P(A1) + P(A2 ) +K+ P(An ) ; |
|
|
|
4) |
в); |
||||
|
|
|
5) г). |
|||||||
|
в) P(A A KA ) = P(A ) + P(A ) +K+ P(A ) − P(A )P(A )KP(A ) ; |
|||||||||
|
1 2 |
n |
1 |
2 |
n |
1 |
2 |
n |
|
|
|
г) P(A1A2 KAn ) = P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2 )×K×P(An / A1A2 KAn−1) ; |
|
|
|||||||
|
д) P(A1A2 KAn ) = P(A1)P(A2 ) + P(A2 )P(A3 ) +K+ P(An−1)P(An ). |
|
|
|
||||||
|
Если A1, A2 ,K, An – независимые события, то вероятность их |
|
1) |
а); |
||||||
|
совместного наступления задается формулой: |
|
|
|
2) |
д); |
||||
|
а) P(A1A2 KAn ) = P(A1) + P(A2 ) +K+ P(An ) ; |
|
|
|
3) |
б); |
||||
5. |
б) P(A1A2 KAn ) = P(A1)P(A2 )KP(An ) ; |
|
|
|
|
4) |
г); |
|||
|
|
|
|
5) |
в). |
|||||
|
в) P(A1A2 KAn ) = P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2 )×K×P(An / A1A2 KAn−1); |
|||||||||
|
|
|
||||||||
|
г) P(A1A2 KAn ) = P(A1)P(A2 ) + P(A2 )P(A3 ) +K+ P(An−1)P(An ); |
|
|
|
||||||
|
д) P(A1A2 KAn ) = P(A1) + P(A2 ) +K+ P(An ) − P(A1)P(A2 )KP(An ) . |
|
|
Теорема сложения вероятностей. Вероятность противоположного события.
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания |
|
|
|
|
|
|
Варианты |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ответов |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Вероятность наступления хотя бы одного из двух событий A и B |
1) |
а); |
||||||||||||||||||
|
вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
в); |
||||||
1. |
а) P(A + B) = P(A) + P(B) ; |
|
б) P(A B) = P(A) P(B); |
|
3) |
г); |
|||||||||||||||
в) P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) ; |
|
|
|
|
|
|
4) |
б); |
|||||||||||||
|
г) P(A B) = P(A) P(B / A) ; |
|
д) P(A / B) = |
P(A B) . |
|
|
5) |
д. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(B) |
|
|
|
|
|
|
|
Студент знает 14 вопросов программы из 20. В билете |
|
|
1) |
д); |
||||||||||||||||
|
содержится 3 вопроса. Чему равна вероятность того, что |
|
2) |
а); |
|||||||||||||||||
|
студент ответит не менее чем на два вопроса из трех? |
|
|
3) |
г); |
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
4) |
б); |
|
2. |
а) C14 |
C6 ; |
|
|
б) C14 |
6 +C14 ; |
в) |
C14 +C14 ; |
|
|
5) |
в). |
|||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
C20 |
|
|
|
C20 |
|
|
|
|
|
C20 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
г) 1− |
C2 |
6 |
; |
|
д) 1− |
|
C3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
14 |
|
|
|
6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
C |
3 |
|
|
|
|
|
|
C3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Изколоды, содержащей36 карт, достаютнаугадтрикарты. Чему |
1) |
д); |
||||||||||||||||||
|
равнавероятностьтого, чтосрединихбудетнеболееодноготуза? |
2) |
а); |
||||||||||||||||||
3. |
а) 1− |
C323 |
|
|
б) |
C322 |
|
C41 +C322 |
; |
в) 1 |
− |
C322 |
4 |
; |
3) |
б); |
|||||
3 |
; |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
4) |
в); |
|||||||||||
|
|
|
C36 |
|
|
|
|
|
|
C36 |
|
|
|
C36 |
|
5) |
г). |
||||
|
|
C2 |
4 +C3 |
|
|
C2 |
4 C3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
г) |
32 |
|
|
32 |
; |
д) |
|
32 |
32 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
C3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
денежно |
|
– вещевой |
|
лотерее |
|
на серию |
|
в |
100 билетов |
1) |
а); |
|||||||||||||||||
|
приходится 12 денежных и 8 вещевых выигрышей. Чему равна |
2) |
д); |
|||||||||||||||||||||||||||
|
вероятность того, что из трех купленных билетов хотя бы два |
3) |
б); |
|||||||||||||||||||||||||||
|
окажутся выигрышным? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
г); |
||||||||||||
4. |
а) |
C202 |
C801 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C202 80 +C203 |
|
|
|
|
C203 |
|
|
5) |
в). |
|||||||||
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
; |
|
|
в) 1 |
− |
|
|
|
; |
|
|
|||
|
C |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C3 |
|
|
C3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
||||
|
г) |
1− |
C2 |
80 |
; |
|
|
|
д) |
1− |
C2 80 +C3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
20 |
20 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
C3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
В первом ящике a белых и b черных шаров, во втором - c белых |
1) |
а); |
|||||||||||||||||||||||||||
|
и d черных. Из каждого ящика одновременно и наугад достают |
2) |
д); |
|||||||||||||||||||||||||||
5 |
по шару. Чему равна вероятность того, что оба шара черные: |
3) |
б); |
|||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
b + d |
; б) |
|
|
|
b |
|
d |
; в) |
|
b |
+ |
|
d |
|
; г) b d ; д) |
|
b +d |
|
. |
4) |
г); |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
в). |
|||||||||||||||||||||
|
|
a |
+b |
c +d |
a +b |
|
c +d |
|
a +b +c +d |
|||||||||||||||||||||
|
|
a c |
|
|
|
|
|
|
|
|
a c |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приближенные формулы в схеме Бернулли |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
№ |
|
|
|
|
|
|
Формулировка вопроса |
|
|
|
|
Варианты ответов |
|
|||||||||||||||||
1 |
Если вероятность наступления события A |
1) |
формулой Бернулли; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
в каждом испытании равна |
|
0,002, то для |
2) |
формулой Пуассона; |
|||||||||||||||||||||||||
|
нахождения вероятности того, что событие |
3) |
локальной |
теоремой |
||||||||||||||||||||||||||
|
A наступит |
3 раза в 1000 испытаниях, вы |
4) |
Муавра-Лапласа; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
интегральной |
теоремой |
||||||||||||||||||||||||||||
|
воспользуетесь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Муавра-Лапласа; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулой Байеса. |
|
2Вероятность выпуска бракованного изделия 1) 0,1045; равна 0,02. Какова вероятность того, что 2) 0,86; среди 2500 выпущенных изделий окажется 3) 0,0570; 50 бракованных, если значение функции 4) 0,0172; Гаусса 0e−x2 /2 при1x)f ( 5) 0,3989.= x =
2π |
|
|
|
|
|
|
|
3 Если вероятность наступления события A |
1) |
формулой Бернулли; |
|
в каждом испытании равна 0,25, то для |
2) |
формулой Пуассона; |
|
нахождения вероятности того, что событие |
3) |
локальной |
теоремой |
A наступит от 215 до 300 раз в 1000 |
Муавра-Лапласа; |
|
|
испытаниях, вы воспользуетесь: |
4) |
интегральной |
теоремой |
|
Муавра-Лапласа; |
|
|
|
5) |
формулой Байеса. |
19