math_for_econ_p1

15.

z = 2xy −2x2 −4 y2 .

16.

z = x2 + y2

+ xy −3x −6 y.

17.

z = 2xy −5x2 −3y2 + 2.

18.

z = xy(12 − x − y).

19.

z = xy − x2 − y2 +9.

20.

z = 2xy −3x2 −2 y2 +10.

21.

z = x3 +8y3 −6xy +1.

22.

z = x2 + y2

− xy +3x −2 y +1.

23.

z = x2

+ y2

− xy +9x −6 y + 20.

24.

z = xy(6 − x − y).

25.

z = x2

+ y2

− xy + x + y.

26.

z = x2 + y2

+ xy −2x − y.

27.

z = (x −1)2 + 2 y2 .

28.

z = xy −3x2 −2 y2 .

29.

z = x2

+3( y + 2)2 .

30.

z = 2(x + y) − x2 − y2 .

Задача 4

Знайти найбільше та найменше значення функції z = f (x, y) в

області D, обмеженої заданими лініями [17].

1.

z = 3x + y − xy, D : y = x, y = 4, x = 0.

2.

z = xy − x −2 y, D : y = x, y = 0, x = 3.

3.

z = x2 + 2xy −4x +8y, D : y = 2, y = 0, x = 0, x =1.

4.

z = 5x2 −3xy + y2 , D : y =1, y = 0, x = 0, x =1.

5.

z = x2 + 2xy − y2 −4x, D : y = x +1, y = 0, x = 3.

6.

z = x2 −2x −2 y + y2 +8, D : y = 0, x = 0, x + y =1.

7.

z = 2x3 − xy2 + y2 , D : y = 6, y = 0, x = 0, x =1.

8.

z = 3x +6 y − x2 − xy − y2 , D : y =1, y = 0, x = 0, x =1.

9.

z = x2 + 4xy −2 y2 −6x −1, D : y = 0, x = 0, x + y = 3.

12.

z = x2 / 2 − xy, D : y =8,

y = 2x2 .

13.

z = 3x2

−2x −2 y +3y2 + 2,

D : y = 0, x = 0,

x + y =1.

14.

z = 2x2

+3y2 +1,

D : y = 0, y = 9 −9x2 / 4.

15.

z = x2 −2xy − y2 + 4x +1,

D : y = 0,

x = −3,

x + y +1 = 0.

16.

z = 3x2

+3y2 − x − y +1,

D : y = 0,

x = 5, x − y −1 = 0.

17.

z = 2x2

+ 2xy −( y2 / 2) −4x,

D : y = 2x,

y = 2, x = 0.

18.

z = x2 −2xy −(5 y2 / 2) −2x,

D : y = 0,

y = 2,

x = 0, x = 2.

19.

z = xy −2 y −3x,

D : y = 0,

y = 4, x = 0, x = 4.

20.

z = x2 + xy −2, D : y = 0, y = 4x2 −4.

21.

z = x2 y(4 − x − y),

D : y = 0,

x = 0,

x + y = 6.

22.

z = x3 −3xy + y3 ,

D : y = −1,

y = 2,

x = 0, x = 2.

23.

z = 4x −4 y − x2 − y2 ,

D : x + 2 y = 4, x −2 y = 4.

24.

z = xy − y2 +3x + 4 y,

D : y + x =1,

y = 0, x = 0.

25.

z = 4x + 4 y −9x2 +6xy −9 y2 ,

D : y = 2, y = 0, x = 0, x =1.

28.

z = 5x2 −3xy + y2 + 4,

D : y =1,

y = −1,

x =1, x = −1.

29.

z = x2 + 2xy − y2 + 4x,

D : y = 0,

x = 0,

x + y + 2 = 0.

30.

z = 2x2 y − x3 y − x2 y2 ,

D : y = 0,

x = 0,

x + y = 6.

1.

y′+ y tg x =sec x,

y(0) = 0.

2.

(x2 +1) y′+ 4xy =3,

y(0) =0.

3.

xy′− 2 y = 2x4 ,

y(1) = 0.

4.

(1 − x)( y′+ y) = e−x ,

y(0) =0.

5.

y′= 2x(x2 + y),

y(0) = 0.

6.

xy′+ y + xe− x 2

= 0,

y(1) =1/(2e).

7.

y′− y =e

x

, y(0) =1.

8.

′

π

cos y = (x + 2cos y)sin yy ,

y(0) = 4 .

9.

x2 y′+ xy +1 =0,

y(1) =0.

10.

yx′+ x = 4 y3 +3y2 ,

y(2) =1.

11.

y′= y (3x − y2 ),

y(0) =1.

12.

(2x + y)dy = ydx + 4ln ydy,

y(0) =1.

13.

x( y′− y) =ex ,

y(1) = 0.

14.

(1 − 2xy) y′= y( y −1),

y(0) =1.

15.

y′+ 2xy = xe− x 2

,

y(0) =0.

16.

xy′+ y =sin x,

y(π 2) = 2 π.

17.

(2e y − x) y′=1,

y(0) = 0.

18.

xy′+ (x +1) y =3x2e−x ,

y(1) = 0.

19.

(x + y2 )dy = ydx,

y(0) =1.

20.

(sin2 y + xctg y) y′=1,

y(0) =π 2.

21.

xy′− 2 y + x2 =0,

y(1) = 0.

22.

(x +1) y′+ y = x3 + x2 ,

y(0) =0.

23.

(xy′−1) ln x = 2 y,

y(e) = 0.

24.

(x2 −1) y′− xy = x3 − x,

y( 2) =1.

25.

(1− x

2

)y

′

+ xy =1,

y(0) =1.

26.

′

2

xctg x,

y(0) =0.

y ctg x − y =2cos

27.

x2 y′= 2xy +3,

y(1) = −1.

28.

y = x( y′− xcos x),

y(π 2) =0.

29.

xy′+ y =ln x +1,

y(1) =0.

30.

y′−3x2 y − x2ex 3

= 0,

y(0) =0.

Задача 3

Розв’язати диференціальне рівняння [17].

1.

y′+ y = x

y.

2. ydx + 2xdy = 2 y

x sec2 ydy.

3.

y′+ 2 y = y2ex .

4.

y′= y4 cos x + y tg x.

5.

xydy =( y2 + x)dx.

6.

xy′+ 2 y + x5 y3ex

=0.

7.

′

3

sin y

= xy

′

− 2 y.

8.

(2x

2

y ln y − x) y

′

= y.

y x

9.

2 y′−

x

=

xy

.

10. xy′− 2x2

y = 4 y.

y

x2 −

1

11.

xy2 y′= x2 + y3.

12. (x +1)( y′+ y2 ) = −y.

′

2

3

− x 2

13.

+ y

= −xy .

14.

y′− xy = −y e .

y x

15.

xy′− 2

x3 y = y.

16.

y′+ xy = x3 y3.

17.

y′=

x

e2 x + y.

18.

yx′+ x = −yx2 .

y

19.

x(x −1) y′+ y3 = xy.

20.

2x3 yy′+ 3x2 y2 +1 =0.

dx

21.

=

1

− 2x dy.

22.

y′+ x3 y =3y.

x

y

23.

xy′+ y = y2 ln x.

24.

xdx = (x2

y − y3 )dy.

25.

y′+ 2xy = 2x3 y3.

26.

y′+ y = x

y2 .

27.

y′− y tg x + y2 cos x = 0.

28.

y′− y + y2 cos x = 0.

2 y

2 y

30.

y

′

= x y

xy

+ x2 −1.

29.

y′+ x

= cos2 x .

1.

(1 − x

2

) y

′′

− xy

′

= 2.

2.

′

′′

= y

′2

−1.

2xy y

3.

x

3

y′′+ x

2

y′=1.

4.

y

′′

′

+ y tg x =sin 2x.

5.

′′

′

6.

xy′′− y′=

x

2

e

x

.

y xln x

= y .

7.

′′

=

′

8.

x

2

y′′+ xy′=1.

y xln x

2 y .

9.

y

′′

= −x

′

.

10.

xy

′′

′

y

= y .

11.

y′′= y′+ x.

12.

xy′′= y′+ x2 .

13. xy′′= y′ln( y′ x).

14.

xy′′+ y′=ln x.

15.

y

′′

=

y

′

+1.

16.

y′′

+

2xy′

2

= 0.

tg x

17.

2xy′y′′= y′2 +1.

18.

y′′−

y′

= x(x −1).

x −1

19.

y

′′′

+

′′

=sec x.

′′

′

3

y tg x

20.

y

−

2 y ctg x =sin x.

21.

y′′+ 4 y′= 2x2 .

22.

xy′′− y′= 2x2ex .

23.

x( y′′+1) + y′=0.

24.

y′′+ 4 y′= cos 2x.

25.

y′′+ y′=sin x.

26.

x2 y′′= y′2 .

′′

′

′

2

28.

′′′

′′

27.

= y

− 4.

y xln x = y .

2xy y

29.

′′

′

= 2.

2

′′

′

y ctg x + y

30.

(1 + x ) y

= 2xy .

1.

а) y′′+4 y = 0;

б) y′′−10 y′+25y =0;

в) y′′+3y′+2 y = 0.

2.

а) y′′− y′−2 y = 0;

б) y′′+9 y = 0;

в) y′′+4 y′+4 y = 0.

3.

а) у′′−4 у′ = 0;

б) у′′−4 у′+13у = 0;

в) у′′−3у′+9 у =0.

4.

а) у′′−5 у′+6 у = 0;

б) у′′+16 y =0;

в) у′′+2 у′+5у = 0.

5.

а) у′′+ у′−2 у =0;

б) у′′−2 у′+10 у = 0;

в) у′′−2 у′=0.

6.

а) у′′−4 у =0;

б) у′′+2 у′+17 у =0;

в) у′′− у′−12 у =0.

7.

а) у′′+ у′−6 у = 0;

б) у′′+9 у′ = 0;

в) у′′−4 у′+20 у = 0.

8.

а) у′′−49 у =0;

б) у′′−4 у′+5 у = 0;

в) у′′+2 у′−3у =0.

9.

а) у′′+7 у′ = 0;

б) у′′−5у′+ 4 у = 0;

в) у′′+16 у = 0.

10.

а)

у′′−6 у′+8у = 0;

б)

у′′+4 у′+5у =0;

в)

у′′+5у′ = 0.

11.

а)

у′′−3у′=0;

б) 4 у′′−8 у′+3у = 0;

в)

у′′−2 у′+10 у =0.

12.

а)

у′′−16 у = 0;

б)

у′′−3у′−10 у =0;

в)

у′′+4 у′+20 у = 0.

13.

а)

у′′+ у = 0;

б)

у′′−4 у′−21у = 0;

в) 9 у′′+6 у′+ у = 0.

14.

а) 2 у′′+3у′+ у = 0;

б)

у′′+4 у′+8у = 0;

в)

у′′−6 у′+9 у = 0.

15.

а)

у′′−2 у′+2 у =0;

б)

у′′−10 у′+21у = 0;

в)

у′′+4 у′= 0.

16.

а)

у′′+6 у′ = 0;

б)

у′′+10 у′+29 у = 0;

в)

у′′−8у′+7 у =0.

17.

а)

у′′+25у =0;

б)

у′′+6 у′+9 у =0;

в)

у′′+2 у′+2 у = 0.

18.

а)

у′′−3у′=0;

б)

у′′−7 у′−8у = 0;

в)

у′′+4 у′+13у =0.

19.

а)

у′′−3у′−4 у = 0;

б)

у′′+6 у′+13у = 0;

в)

у′′+2 у′=0.

20.

а)

у′′+25 у′ = 0;

б)

у′′−10 у′+16 у =0;

в)

у′′−8у′+16 у = 0.

21.

а)

у′′−6 у′=0;

б)

у′′−3у′−18у =0;

в)

у′′+2 у′+5у = 0.

22. а)

у′′−8у′=0;

б)

у′′−2 у′−15 =0;

в)

у′′−6 у′+13у =0.

23. а)

у′′+2 у′+ у = 0;

б)

у′′+6 у′+25у =0;

в)

у′′−4 у′= 0.

24. а)

у′′+10 у′=0;

б)

у′′−6 у′+8у = 0;

в) 4 у′′+4 у′+ у = 0.

25. а)

у′′+5у = 0;

б) 9 у′′−6 у′+ у = 0;

в)

у′′+6 у′+8у =0.

26. а)

у′′−5у′+ 4 у = 0;

б)

у′′+6 у′+10 у = 0;

в)

у′′−4 у′+4 у = 0.

27. а)

у′′− у =0;

б) 4 у′′+8у′−5у = 0;

в)

у′′−6 у′+10 у =0.

28. а)

у′′+9 у′= 0;

б)

у′′+8у′+25у = 0;

в) 9 у′′+3у′−2 у = 0.

29. а)

у′′+16 у = 0;

б) 6 у′′+7 у′−3у =0;

в) 4 у′′−4 у′+ у = 0.

30. а)

у′′−2 у′= 0;

б)

у′′+12 у′+36 у =0;

в) 9 у′′−6 у′+ у = 0.

1.

y′′−8y′+17 y =10e2 x .

2.

y′′+ y′−6 y = (6x +1)e3x .

3.

y′′−7 y′+12 y =3e4 x .

4.

y′′−2 y′ = 6 +12x −24x2 .

5.

y′′−6 y′+34 y =18cos5x + 60sin 5x.

6.

y′′−2 y′ = (4x + 4)e2 x .

7.

y′′+2 y′+ y = 4x3 + 24x2 + 22x −4.

8.

y′′− 4 y′=8 −16x.

9.

y′′−8y′+ 20 y =16(sin 2x −cos 2x).

10.

y′′− 2 y′+ y = 4ex .

11.

y′′+ 2 y′−3y = (12x2 +6x −4)ex .

12.

y′′+4 y′+4 y = 6e−2 x .

13.

y′′−6 y′+13y = 34e−3x sin 2x.

14.

y′′+3y′=10 − 6x.

15.

y′′+10 y′+ 25y = 40 +52x − 240x2 .

16.

y′′+16 y = 80e2 x .

17.

y′′+ 4 y′+5y = 5x2 −32x +5.

18.

y′′−4 y = (−24x −10)e2 x .

19.

y′′+2 y′+ y = (12x −10)e−x .

20.

y′′+6 y′+9 y = 72e3x .

21.

y′′+ 4 y′+ 20 y = −4cos 4x −52sin 4x.

22.

y′′+ 4 y′ =15ex .

23.

y′′+ y′− 2 y =9cos x −7sin x.

24.

y′′+ 2 y′+ y = (18x +8)e−x .

25.

y′′−14 y′+ 49 y =144sin 7x.

26.

y′′+9 y =10e3x .

27.

3y′′−5 y′− 2 y =6cos 2x +38sin 2x.

28.

4 y′′− 4 y′+ y = −25cos x.

29.

4 y′′+3y′− y =11cos x −7sin x.

30.

y′′+ 4 y′+ 29 y = 26e−x .

3.

2 y′′+ y′− y = f (x) : a)

f (x) =(x2 −5)e−x ; б) f (x) = xsin x.

4.

2 y′′−9 y′+4 y = f (x) : a) f (x) = −2e4 x ;

б) f (x) =ex cos 4x.

5.

y′′+49 y = f (x) : a) f (x) = x3 +4x; б) f (x) =3sin 7x.

6.

3y′′+10 y′+3y = f (x) :

a) f (x) =e−3x ;

б) f (x) = 2 cos3x −sin 3x.

7.

y′′−3y′+2 y = f (x) :

a) f (x) = x +2ex ;

б) f (x) =3cos 4x.

8.

y′′−4 y′+4 y = f (x) :

a) f (x) =sin 2x +2ex ; б) f (x) = x2 −4.

11.

y′′+3y′−4 y = f (x) :

a) f (x) =3xe−4 x ; б) f (x) = xsin x.

12.

y′′+36 y = f (x) :

a) f (x) = 4xe−x ; б) f (x) = 2sin 6x.

13.

y′′−6 y′+9 y = f (x) :

a) f (x) =(x −2)e3x ;

б) f (x) = 4 cos x.

14.

4 y′′−5 y′+ y = f (x) :

a) f (x) =(4x +2)ex ;

б) f (x) = ex sin 3x.

15.

4 y′′+7 y′−2 y = f (x) :

a) f (x) =3e−2 x ; б) f (x) =(x −1) cos 2x.

16.

y′′− y′−6 y = f (x) : a) f (x) = 2xe3x ;

б) f (x) =9 cos x −sin x.

17.

y′′−16 y = f (x) :

a) f (x) = −3e4 x ; б)

f (x) = cos x −4sin x.

18.

y′′−4 y′ = f (x) :

a) f (x) = (x −2)e4 x ;

б) f (x) =3cos 4x.

19.

y′′−2 y′+2 y = f (x) :

a) f (x) = (2x −3)e4 x ; б) f (x) = ex sin x.

20.

5 y′′−6 y′+ y = f (x) :

a) f (x) = x2ex ;

б) f (x) = cos x −sin x.

24.

y′′−7 y′+12 y = f (x) : a) f (x) = xe3x +2e3;

б) f (x) =3x sin 2x.

25.

y′′+9 y′= f (x) : a) f (x) = x2 +4x −3;

б)

f (x) = xe2 x sin x.

26.

y′′−4 y′+5y = f (x) :

a) f (x) = −2xex ;

б) f (x) = x cos 2x −sin 2x.

27.

y′′+3y′+2 y = f (x) :

a) f (x) =3xe−x ;

б) f (x) =cos x −3sin x.

28.

y′′−8y′+16 y = f (x) :

a) f (x) = 2xe4 x ; б) f (x) = cos 4x +2sin 4x.

29.

y′′+ y′−2 y = f (x) :

a) f (x) = (2x −1)e−x ;

б)

f (x) =3cos 2x.

30.

y′′+3y′−4 y = f (x) :

a) f (x) = 6xe−x ;

б)

f (x) = x2 sin 2x.

ex

′′

1

2.

y

+ 4 y = cos 2x .

1.

y′′− y = ex +1.

′′

′

e2 x

′′

2ex

3.

y

− 4 y

+5 y

= cos x .

4.

y

− y = ex −1.

′′

1

y

′′

+ 2 y

′

+ y = xe

x

1

5.

y

+9 y = sin 3x .

6.

+ xex .

7.

y

′′

+ 2 y

′

+ 2 y

e−x

y

′′

− 2 y

′

+ 2 y

ex

= cos x .

8.

= sin 2 x .

9.

y′′+ 2 y′+ 2 y =e−xctgx.

10.

y′′−2 y′+ 2 y = ex / sin x.

11.

y′′− 2 y′+ y = ex / x2 .

12.

y′′

+ y = tgx.

13.

y′′+ 4 y =ctg2x.

14.

y′′+ y =ctgx.

15.

y′′−2 y′+ y = ex / x.

16.

y′′+2 y′+ y = e−x / x.

17.

y′′+ y =1/ cos x.

18.

y′′+ y =1/ sin x.

19.

y′′+ 4 y =1/ sin 2x.

20.

y′′+ 4 y = tg2x.

21.

y′′+4 y′+4 y = e−2 x / x3 .

22.

y′′− 4 y′+ 4 y =e2 x / x3.

23.

y′′+2 y′+ y = 3e−x x +1.

24.

y′′+ y = −ctg2 x.

25.

y′′− y′ = e2 x cos(ex ).

26.

y′′− y′ = e2 x sin(ex ).

27.

y′′+ y = tg 2 x.

28.

y′′+ y = 2 / sin 2 x.

e−x

′′

1

30.

y

+9 y = cos3x .

29.

y′′+ 2 y′+ 5 y = sin 2x .

1.

y

′′′

−7 y

′′

+ 6 y

′

′

=0,

′′

=30.

=0, y(0) =0, y (0)

y (0)

2.

y

V

−9 y

′′′

=0,

y(0) =1,

′

= −1,

′′

=0,

′′′

= 0,

y

IV

(0)

= 0.

y (0)

y (0)

y (0)

3.

y

′′′

− y

′′

= 0,

y(0) = 0,

′

=0,

′′

= −1.

y (0)

y

(0)

4.

y

′′′

− 4 y

′

= 0,

y(0) =0,

′

′′

= 4.

y (0) = 2, y (0)

5.

y

′′′

+ y

′

=0,

y(0) =0,

′

=1,

′′

y (0)

y

(0) =1.

6.

y

′′′

− y

′

= 0,

y(0) = 0,

′

= 2,

′′

= 4.

y (0)

y

(0)

7.

y

IV

+ 2 y

′′′

− 2 y

′

− y

=0,

y(0) =0,

′

=0,

′′

=0, y

′′′

y (0)

y (0)

(0) =8.

8.

y

′′′

+ y

′′

−

5 y

′

+3y =0,

y(0) =0,

′

=

1,

′′

′′′

′′

y

(0)

y

(0) = −14.

9.

y

+ y

=0,

y(0) =

0,

′

′′

= −1.

y (0) =1,

y (0)

10.

y

′′′

−5y

′′

+

8 y

′

− 4 y =0,

y(0) =1,

′

′′

′′′

′′

′

y (0) = −1,

y (0) = 0.

11.

y

+3y

+ 2 y

=0,

y(0) = 0,

′

′′

= 2.

′′′

′′

y (0) =0, y (0)

12.

y

+3y

+

3y

′

+ y = 0,

y(0) = −1,

′

′′

′′′

′′

′

y (0) = 0, y (0) =1.

13.

y

− 2 y

+9 y

−18y

= 0, y(0) = −2,5,

y

′

′′

′′′

′

(0) = 0, y

(0) =0.

14.

y

+9 y

=0,

′

′′

y(0) =0, y (0) =9,

y (0) = −18.

15.

y

′′′

−13y

′′

+12 y

′

= 0,