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Украинская академия банковского дела Национального банка Украины

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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27.	lim	1 −2x2 −		4x5		28.	lim	3x3	− x2 +1	.
			+6x3	.
	x → ∞ 3x5			+ x			x → ∞1 + 2x −4x3
29.	lim	2x3	− x2 + x −1		.	30.	lim	x2	−2x +1		.

	x → ∞ x3 + x2 + 2x −4						x → ∞ 2x2		+3x −4

Задача 4

1.	lim	x5 −3x2 +		4			.
1.	lim	x4 + x2 + 2					.
	x → −∞	x4 + x2 + 2
3.	lim	3x2	+ 2x −	1			.
3.	lim	3x5 + x −1					.
	x → −∞	3x5 + x −1
5.	lim	x3	+ 2x −		3				.
5.	lim	2x4	+ x2 +		5x				.
	x → −∞	2x4	+ x2 +		5x
7.	lim	2x6	−3x2 +			1		.
7.	lim	x3 + 4x2 −3						.
	x → −∞	x3 + 4x2 −3
9.	lim	x2 +5x +3			.
9.	lim	1 + 4x − x3			.
	x → −∞	1 + 4x − x3
11.	lim	x2 +3x +1			.
11.	lim				.
	x → −∞ x4 − x2 +1
13.	lim	2x3	− x2 +		1		.
13.	lim				2		.
	x → −∞ x4 +3x2 +				2
15.	lim	x3 − x2 +1			.
15.	lim	3x2	− x + 2		.
	x → −∞	3x2	− x + 2
17.	lim	3x3	+ 2x2 +			1		.
17.	lim	2x	2 − x +	1				.
	x → −∞	2x	2 − x +	1
19.	lim	2x3	+ 4x2 −				5		.
19.	lim	x2	−2x +		4				.
	x → −∞	x2	−2x +		4
21.	lim	3x5	− x2 +	3x					.
21.	lim	2x3 + x2 −5							.
	x → −∞	2x3 + x2 −5
23.	lim	3x4	− x3 +1			.
23.	lim	x2	+ x −3			.
	x → −∞	x2	+ x −3
25.	lim	2x4 − x3 +1							.
25.	lim	3x3	−2x2 +			5			.
	x → −∞	3x3	−2x2 +			5
27.	lim	5x3	−2x2 +				3		.
27.	lim	x2 + x −1							.
	x → −∞	x2 + x −1
29.	lim	5x2	+7x −		1		.
29.	lim	3x4	− x2 +	5			.
	x → −∞	3x4	− x2 +	5

lim

x4 + 2x3 −

x3 + x2 +3

x → ∞

− x3

lim

x → ∞ x2 − x + 4

lim

2x3 +7x2 −

+ 2x2 +

x → −∞ x4

lim

x5 + 2x4 −

2x2 + x −1

x → ∞

10.

lim

2x4

+ x3 −

+ 2x +1

x → ∞

12.

lim

3x3

+ 4x2 −

2x4 + x2 −

x → ∞

14.

lim

3x2 − x + 2

x → −∞ 2 +3x − x3

16.

lim

2x2 −3x + 4

3x3

+ 2x2 −

x → ∞

18.

lim

3x2

+3x +

2x3

− x2 +

x → ∞

20.

lim

2 +3x −

4 − x3 + x

x → −∞ 3x

22.

lim

4x2

−5x +

2x3

+ x2 −

x → ∞

24.

lim

3x3 + 2x2 −

x → −∞ 2x2 −3x +1

26.

lim

2x4

+ x3 −

3x3

− x2 +

x → ∞

28.

lim

3x3

+ 2x2 −

+3x −1

x → ∞

30.

lim

4x3

+3x2 −

3x2 −6x +1

x → ∞

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

lim

x2 + 2x −1

x → ∞ 3x3 − x2 + 2

lim

3x4

− x3 +

− x +1

x → −∞

lim

x3 − x2 +1

2x2

−3x +

x → −∞

lim

x3 −2x2 +

+ x2 −1

x → −∞

lim

x3 − x2 + 2

2x2

x → −∞

+ x +1

11.

lim

2x5

+ x4 − x

+3x +1

x → −∞

13.

lim

− x4

x → −∞ x3 + x2 −1

15.

lim

x2 +7x −5

2 − x2 + 4x3

x → −∞

17.

lim

x3 − x2 −5

2x4

+ x3 +

x → −∞

19.

lim

2x2

+3x −

− x2 +1

x → −∞

21.

lim

2x3

−3x2 +

3x4 − x2 +6

x → −∞

23.

lim

2x2 + x +1

3x3

−2x2 +

x → −∞

25.

lim

2x3

−5x2 +

2x3 − x4

x → −∞

27.

lim

2x3

− x2 −

x → −∞ x4 − x2 −4x

29.

lim

3x3

− x2 +

2x2 + x +1

x → −∞

Задача 5

2.	lim	x2 −5x +			2		.
2.	lim				1		.
	x → −∞ x3 + x2 −				1
4.	lim	x2 −2x +			5			.
4.	lim	2x3	− x2 +			5		.
	x → −∞	2x3	− x2 +			5
6.	lim	x4 −2x +1						.
6.	lim	2x3	+ x2 −			3		.
	x → −∞	2x3	+ x2 −			3
8.	lim	x2	−3x +			1				.
8.	lim	2x3	+ 2x2		−			3		.
	x → −∞	2x3	+ 2x2		−			3
10.	lim	x3 − x2 +			3			.
10.	lim	2x4	− x3 +1					.
	x → −∞	2x4	− x3 +1
12.	lim	1 − x2 −2x				4		.
12.	lim	x3 + x2 −			4			.
	x → −∞	x3 + x2 −			4
14.	lim	2x4	− x3 −1					.
14.	lim	x2	− x +1					.
	x → −∞	x2	− x +1
16.	lim	x3 −3x2 + x						.
16.	lim	2x2 +3						.
	x → −∞	2x2 +3
18.	lim	2x4	− x3	.
18.	lim	1 + x + x2		.
	x → −∞	1 + x + x2
20.	lim	3x4 + x2						.
20.	lim	2x3	− x2 −1					.
	x → −∞	2x3	− x2 −1
22.	lim	3x5	− x4 + x −									1	.
22.	lim	4x4 + x2				−		3					.
	x → −∞	4x4 + x2				−		3
24.	lim	1 −2x − x2				.
24.	lim	3x3				.
	x → −∞	3x3	− x +3
26.	lim	2x3 − x2 +1									.
26.	lim	3x4	+ 4x2		−			6			.
	x → −∞	3x4	+ 4x2		−			6
28.	lim	x2	− x +1						.
28.	lim	2x3	+ x2 +			5			.
	x → −∞	2x3	+ x2 +			5
30.	lim	3x2	+ 4x −5							.
30.	lim	2x3	−4x2		+1					.
	x → −∞	2x3	−4x2		+1

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

Задача 6 [16]

lim

x2 + x −

x −2 −

x → 3

4 − x

lim

x +10 −

4 − x

2x2 − x −21

x → −3

lim

3x + 2 −

x + 4

x →1

3x2 −4x +1

lim

3x2 + 4x +1

x +3 −

5 +

x → −1

lim

3x +17 − 2x +12

x → −5

x2 +8x +15

11.

lim

x2 + 2 −

−1

x → 0

13.

lim

1 + x −

1 − x

x → 0

15.lim 5 + x −2 .

x→ −1 8 − x −3

17.lim x −3 −2 .

x→ 7 x + 2 −3

19. lim	5x +1 −4	.

x → 3	x2 + 2x −15

21.lim x2 + 4 −2 .

x→ 0 x2 +16 −4

23. lim	2x +7 −5	.

x → 9	3 − x

25.lim x3 −27 .

x→ 3 3x − x

27.	lim	x + 20 −4		.

	x → −4	x3 +64
29.	lim	9 + x −3	.

	x → 0	x2 + x

lim

x +12 − 4 − x

x → −4

x2 + 2x −8

lim

2 − x −

x +6

x → −2

x2 − x −6

lim

x2 −3x + 2

5 − x −

x +

x → 2

lim

2x2 −9x + 4

5 − x −

x −

x → 4

10.

lim

2x +1 −

x +6

x → 5

2x2 −7x −15

12.

lim

3 − x −

3 + x

x → 0

14.

lim

2x +1 −3

x → 4

x −2 −

16.lim x + 4 −3 .

x→ 5 x −1 −2

18.

lim

4x −3 −3

x → 3

x2 −9

20.

lim

−

x2 + 4

3x2

x → 0

22.

lim

5 − x −

5 + x

x → 0

24.

lim

2 −

6x +1 −5

x → 4

26.

lim

1 +3x2

−1

x3 + x2

x → 0

28. lim

3x2 −2

8 + x −

x →1

30.

lim

4x +1 −3

x → 2

x3 −8

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

	x +1				2−3x
1.	lim			.

	x → ∞ x −3
3.		3 −2x 1−4 x
	lim				.
	x → ∞	1 −2x
5.		3x +	4		2 x −4
	lim	3x +	2		.
	x → ∞
	x + 2 1+2 x
7.	lim			.

	x → ∞ x +1
9.		2x +	3		1−3x
	lim	2x +	1		.
	x → ∞
		3x −	1		x +2
11.	lim				.
		3x +	2
	x → ∞
13.		4x +	2		1−5x
	lim	4x +			.
	x → ∞		1
	x −4 1−2 x
15.	lim			.

	x → ∞ x + 2

17.lim 3x −4 4−3x .

x→ ∞ 3x −1

19.lim 2x −5 7 x −2 .

x→ ∞ 2x +1

21.lim 2 − x 3x+5.

x→ ∞ 5 − x

23.lim 5x + 2 2 x −3.

x→ ∞ 5x −1

25.lim 2x −1 3−4 x .

x→ ∞ 2x

27.lim 1 −2x 5−3x .

x→ ∞ 3 −2x

	3x	4−3x
29. lim		.

x → ∞ 3x −2

Задача 7

2.lim x −4 4 x −3.

x→ ∞ x +1

4.lim 2x +1 2−x .

x→ ∞ 2x −1

6.lim x + 4 3−5x .

x→ ∞ x −6

8.lim x −3 3x −4 .

x→∞ x + 2

		x		2−x
10.	lim		.

	x → ∞ x −6
12.		2x +	3		4 x +1
	lim	2x		.
	x → ∞
		2x		3x −5
14.	lim				.
			4
	x → ∞ 2x −

16.lim 3x −1 2 x −1.

x→ ∞ 3x + 2

	3x +5	x +4
18. lim	3x	.
x → ∞	3x

20.lim 5x +1 3−5x .

x→ ∞ 5x

22.lim 1 −2x 2 x −5.

x→ ∞ 3 −2x

24.lim 3x + 4 4−2 x .

x→ ∞ 3x −2


26.		3x		2 x +1
	lim		.
	lim		.
	x→∞	3x +1

28.lim 3x −5 2 x −2 .

x→ ∞ 3x + 4

30.lim 2 −3x 4 x +1.

x→ ∞ 1 −3x

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

Задача 8

lim

2x +3 2 x +1

lim

2x +1

2−5x

x → ∞ 3x + 2

x → ∞

x −1

x +1 4 x −3

x −1

2 x−1

lim

x → ∞ 3x −1

x → ∞

4x +1

2x +5 1−x

x +1 x +1

lim

x → ∞

x −2

x → ∞

2x −1

lim

2x +

1 3x −6

lim

4x +1 3x −5

4x −

x → −∞

x → ∞

2x −1

lim

2x +

−x +2

10.

lim

5x −1

3x −

−1

x → −∞

x → −∞ 3x

3x −

4 x +3

12.

−2

2 x −4

11.

lim

2x +

x → −∞

x → −∞ 6x

13.

lim

2x −

4 3x −7

14.

lim

2x +3 −3x

3x +

x → −∞

x → ∞

4x −5

15.

lim

5x −

2 3x −2

16.

lim

−4

2 x −1

3x +

x → −∞

x → −∞ x +6

4x −2 −3x

−3

5x +1

17.

lim

18.

lim

x → ∞ 3x +10

x → −∞ 4x +1

x +3 7 x +3

20.

3x +5 −2 x

19.

lim

x→−∞ 5x −1

x → ∞

x −8

2x +7

4 x −3

22.

x −1 −3x

21.

lim

4x +

lim

x → −∞

x → ∞

2x +5

23.

lim

2x −

2 x −4

24.

lim

1 −3x −6 x

x → −∞

x +6

x → ∞

2 − x

25.

lim

1 −2x 1−5x

26.

lim

4 −3x

4 x −3

x → −∞

3 −4x

x → −∞ 5 − x

2 x−1

28.

1 −2x 3x

27.

lim

x → ∞ 2x +5

x → ∞

1 −4x

3 + x −4 x

2 x −5

29.

lim

30.

lim

x → ∞ 2x −4

x → ∞

4x −2

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

Задача 9

1.	lim	1 −cos 4x .
	x → 0			2x2
3.	lim		cos 2x −cos 4x .
	x → 0				4x2
5.	lim		tg2x −sin 2x .
	x → 0			4x2
7.	lim(1 − x)tg					πx .
	x →1					2
9.	lim		tg3x −sin 3x .
	x → 0			x2
				1		1
11.	lim			1	−	1		.
11.	lim				−			.

	x → 0 tg2x						sin 2x
13.	lim		sin 5x +sin 3x .
	x → 0			x sin x
15.	lim		cos 4x −cos 8x						.
15.	lim								.
	x → 0			2x2
17.	lim		tg4x −sin 4x .
	x → 0			x2
19.	lim		cos 2x −cos3 2x							.
19.	lim				4x2					.
	x → 0				4x2
21.	lim		cos2 2x −cos2 5x								.
21.	lim				3x2						.
	x → 0				3x2

23.lim 1 −cos2 4x .

x→ 0 x arcsin 2x

25.	lim		cos 3x −cos x .
	x → 0		2x2
27.	lim	1 +cos x .
	x→π	(π − x)2
29.	lim		2x	.
29.	lim			.
	x → 0 sin x +sin 3x

2. lim	sin 2x −sin x .
x → 0	x

4.lim tg4x .

x→ 0 sin 3x

6.	lim	arcsin 2x .
	x → 0		sin 3x
8.	lim			1 −sin x .
	x →π	/ 2		π −2x
10.	lim	1 −cos2 4x					.
10.	lim			3xtg4x			.
	x → 0			3xtg4x
12.	lim	sin2 4x −sin						2 6x			.
12.	lim			3x2							.
	x → 0			3x2
14.	lim	1 −cos 4x .
	x → 0			3x2
16.	lim	arctg4x .
	x → 0		tg5x
18.	lim			1 −sin 2x .
	x →π	/ 4		π −4x
				1			1
20.	lim			1	−		1		.
20.	lim				−				.

	x → 0 sin 4x					tg4x
22.	lim	arcsin 3x .
	x → 0		x2 −2x
24.	lim	1 −cos 4x .
	x → 0		x sin 3x
26.	lim	sin 3x +sin x .
	x → 0			arcsin 2x
28.	lim(π − x)ctgx.
	x→π
30.	lim	cos 4x −cos3 4x								.
30.	lim				x2					.
	x → 0				x2

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

Задача 10

Знайти границі за допомогою еквівалентних нескінченно малих функцій.

ln(1 + x2 )

lim

arcsin 3x

lim

− 2x

2 .

tg2x

x → 0

lim

sin 3x .

lim

e2 x −1

x → 0

tg4x

x → 0

x3 + 2x

lim

arctg4x .

lim

arcsin2 5x .

x → 0

x2 −2x

x → 0

2x2

lim

sin 4x

lim

ln(1 + 2x2 ).

x → 0 arctg3x

x → 0

sin 2 3x

lim

e4 x −1

10.

lim

sin(x −2)

tg5x

x2 −5x +

x → 0

x → 2

11.

lim

cos 5x −cos 7x .

12.

lim

1 −cos 4x .

x → 0

3x2

13.

lim

arctg3x .

14.

lim

arcsin 5x .

x → 0 ln(1 + x)

x → 0

tg2x

15.

lim

e3x −1.

16.

lim

tg(x −2)

x → 0

sin 5x

x → 2

x2 −4

17.

lim

sin

(x −2)

18.

lim

arcsin 3x .

x → 2

x3 −8

x → 0

tg4x

19.

lim

x2 −16

20.

lim

cos 4x −cos 6x

4x2

x → 4 tg(x −

x → 0

21.

lim

ln(1 +5x3 ).

22.

lim

arctg7x .

x → 0

tg5x

23.

lim

sin 4x

24.

lim

arcsin 5x .

x → 0 ln(1 + 2x)

x → 0

tg4x

25.

lim

e6 x −1.

26.

lim

ln(1 + 4x2 ).

x → 0

tg4x

x → 0

sin2 5x

27.

lim

sin(x −3).

28.

lim tg(x −5).

x → 3

x3 −27

x→5

x2 −25

29.

lim

1 −cos10x .

30.

lim

ln(1 + 4x).

x → 0

5x2

x → 0

sin 2x

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

2.2. НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ

Література: [1, розділ 5, п. 5.3]; [2, розділ 4, п. 4.3]; [3, розділ 3, п. 3.5]; [4, розділ 2, глава 6, п. 6.7, 6.8]; [5, глава 6, § 6]; [8, розділ 1, п. 1.9]; [11, розділ 1, п. 1.8]; [13, розділ 4, § 13]; [15, розділ 2, § 4, 5]; [16, розділ 5].

Індивідуальне завдання 2.2

У задачах 1, 2 дослідити функції на неперервність і побудувати графіки [16].

Задача 1

		x + 4,	x < −1,
1. f (x)= x2 + 2, −1 ≤ x <1,
			x ≥1.
		2x,	x ≥1.
		x + 2,	x ≤ −1,
3. f (x)= x2 +1, −1 < x ≤1,

		− x +3, x >1.
		− 2(x +1), x ≤ −1,
5. f (x)=		(x +3)3 , −1 < x ≤0,

			x > 0.
		x,	x > 0.
		x2 +1,	x ≤1,
7. f (x)= 2x,			1 < x ≤3,
			x >3.
		x + 2,	x >3.
		1 − x, x ≤0,
9.	f (x)=	0,	0 < x ≤ 2,

			x > 2.
		x − 2,	x > 2.
		sin x,	x < 0,
11.	f (x)= x,		0 ≤ x ≤ 2,
			x > 2.
		0,	x > 2.

	x +1,	x ≤0,
2. f (x)= (x +1)2 , 0 < x ≤ 2,
	− x + 4, x > 2.

	− x,	x ≤ 0,
4. f (x)= −(x −1)2 , 0 < x < 2,
	x −3,	x ≥ 2.

	− x,	x ≤0,
6. f (x)= x2 ,		0 < x ≤ 2,
		x > 2.
	x +1,	x > 2.
	x −3,	x < 0,
8. f (x)= x +1, 0 ≤ x ≤ 4,
		x > 4.
	3 + x,	x > 4.
	2x2 ,	x ≤ 0,
10.	f (x)= x,	0 < x ≤1,
		x >1.
	2 + x,	x >1.
	cos x,	x ≤π / 2,
12.	f (x)= 0,	π / 2 < x ≤π,

		x >π.
	2,	x >π.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

	x −1,			x ≤ 0,
13.	f (x)= x2 ,			0 < x < 2,
				x	≥ 2.
	2x,			x	≥ 2.
	− x,				x < 0,
15.	f (x)= x2 +1,				0 ≤ x < 2,
		+1,			x ≥ 2.
	x	+1,			x ≥ 2.
	x −1,				x < 0,
17.	f (x)= sin x,				0 ≤ x <π,

		2	−2,		x ≥π.
	x		−2,		x ≥π.
	1,			x ≤0,
19.	f (x)= 2x ,				0 < x ≤ 2,
		+3,			x > 2.
	x	+3,			x > 2.
	3x + 4,				x ≤ −1,
21.	f (x)= x2 − 2,				−1 < x < 2,
					x ≥ 2.
	x,				x ≥ 2.
	x −1,				x <1,
23.	f (x)= x2 + 2, 1 ≤ x ≤ 2,
					x > 2.
	− 2x,				x > 2.
	x,				x < −2,
25.	f (x)= − x +1, − 2 ≤ x ≤1,
		2	−1,		x >1.
	x		−1,		x >1.
	0,				x ≤ −1,
27.	f (x)= x2 −1,				−1 < x ≤ 2,
					x > 2.
	2x,				x > 2.
	2,				x < −1,
29.	f (x)= 1 − x,			−1 ≤ x ≤1,

				x >1.
	ln x,			x >1.

	x +1,				x < 0,
14.	f (x)= x2 −1,				0 ≤ x <1,
					x ≥1.
	− x,				x ≥1.
	x +3,				x ≤ 0,
16.	f (x)= 1,				0 < x ≤ 2,

		2	− 2,		x > 2.
	x		− 2,		x > 2.
	− x +1,				x < −1,
18.	f (x)= x2 +1, −1 ≤ x ≤ 2,
					x > 2.
	2x,				x > 2.
	− x + 2,				x ≤ −2,
20.	f (x)= x3 ,			− 2 < x ≤1,
					x >1.
	2,				x >1.
	x,				x ≤1,
22.	f (x)= (x − 2)2 , 1 < x <3,
	− x + 6,				x ≥3.

	x3 ,				x < −1,
24.	f (x)= x −1,			−1 ≤ x ≤3,
					x >3.
	− x +5,				x >3.
	x + 3,				x ≤ 0,
26.	f (x)= − x2 + 4, 0 < x < 2,
		− 2,			x ≥ 2.
	x	− 2,			x ≥ 2.
	−1,			x < 0,
28.	f (x)= cos,			0 ≤ x ≤π,

		− x,		x >π.
	1	− x,		x >π.
	− x,			x ≤0,
30.	f (x)= x3 ,			0 < x ≤ 2,
		+ 4,		x > 2.
	x	+ 4,		x > 2.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

1.f (x)= 21 /( x −2) +1.

3.f (x)= xx+−12 .

5.f (x)= 41 /( x −2) +3.

7.f (x)= 21 /( x −4) +1.

9.f (x)= 61 /( x −3) +3.


11.	f (x)=	x −4	.

		x +3
13.	f (x)= 52 /( x −1)						+1.
15.	f (x)= 24 /( x −2)						−1.
17.	f (x)= 54 /(3−x)						+1.
19.	f (x)=	2x			.

		x2 −1
21.	f (x)= 45 /( x −2)						+ 2.
23.	f (x)= 53 /( x−4)						+1.
25.	f (x)=	x +3		.

		x + 4
27.	f (x)=	x +1				.

		x2 −9
29.	f (x)= 62 /( x +4).

Задача 2

2.f (x)= 51 /(3−x) −1.

4.f (x)= xx +−34 .

6.f (x)= 91 /( x −2) −2.

8.	f (x)= 51 /(3−x)					−2.
10.	f (x)= 71 /(2−x)					+1.
12.	f (x)=	x + 2		.

		x +5
14.	f (x)= 42 /(1−x)					−3.
16.	f (x)=83 /(2−x)					−1.
18.	f (x)= 23 /( x+2)					+1.
20.	f (x)=	4x	.

		x −2
22.	f (x)= 32 /(1−x)					−2.
24.	f (x)= 34 /( x−3)					+1.
26.	f (x)=	x +5		.

		x −2
28.	f (x)=	2x			.

		x2 −4
30.	f (x)= 62 /(1−x)					−1.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

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