97.Типи статистичних гіпотез. Нульова і конкуруюча гіпотези. Помилки 1 -го і 2-го роду. Рівень значущості.

Статистичною називають гіпотезу про властивості генеральної сукупності, що перевіряється на основі вибірки. Статистичними гіпотезами можуть бути такі твердження про закон розподілу, про значення параметрів розподілу, про рівність параметрів двох або декількох розподілів, про незалежність вибірок та ін.

У математичній статистиці виділяють два основні типи статистичних гіпотез: 1) непараметричні – гіпотези про закон розподілу ймовірностей випадкової величини (ознаки генеральної сукупності); 2) параметричні – гіпотези про значення параметрів розподілу випадкової величини (ознаки генеральної сукупності). Поряд із висунутою гіпотезою розглядають і гіпотезу, що їй суперечить. Якщо висунута гіпотеза буде відхилена, то має місце гіпотеза, що їй суперечить. Основною (нульовою) називають висунуту гіпотезу, її позначають Н₀. Альтернативною (конкуруючою) називають гіпотезу, яка повністю або частково логічно заперечує нульову гіпотезу, її позначають Н₁. Простою параметричною гіпотезою називають гіпотезу, яка стверджує, що всі невідомі параметри мають деякі числові значення. Складеною параметричною гіпотезою називають гіпотезу, яка складається із скінченного або нескінченного числа простих параметричних гіпотез.

Помилкою першого роду називають неправильне рішення, в результаті якого відхиляється правильна гіпотеза. Помилкою другого роду називають неправильне рішення, в результаті якого приймається неправильна гіпотеза. Рівнем значущості називають імовірність допущення помилки першого роду, його позначають a. Рівень значущості a задають наперед і найчастіше його вибирають рівним 0,1; 0,05; 0,01. Якщо a 0,05, то це означає, що ймовірність допустити помилку першого роду є малою: ми ризикуємо припустити її у п’яти випадках зі ста. 98.Статистичний критерій перевірки нульової гіпотези. Критична область, область прийняття гіпотези. Критичні точки. Пошук правосторонньої, лівосторонньої і двосторонньої критичних областей. Статистичним критерієм називають випадкову величину K , яка служить для перевірки нульової гіпотези H₀. Емпіричним значенням критерію гіпотези називають значення випадкової величини K, обчислене на підставі даних певної вибірки. Позначають емпіричне значення K_емп . За одних значень K_емп гіпотеза H₀ приймається, а за інших – відхиляється. Критичною областю називається сукупність значень критерію K, за яких нульова гіпотеза H₀ відхиляється. Областю прийняття гіпотези H₀ називається сукупність значень критерію K, за яких нульову гіпотезу H₀ приймають. Таким чином, сформулюємо основний принцип перевірки статистичних гіпотез: 1)якщо емпіричне значення критерію K_емп належить критичній області, то нульову гіпотезу H₀ відхиляють; 2)якщо емпіричне значення критерію K_емп належить області прийняття гіпотези H₀ , то нульову гіпотезу H₀ приймають.

У випадку одновимірності випадкової величини K критична область, як правило, є множиною точок певних інтервалів на прямій, які відокремлені від області прийняття гіпотези так званими критичними точками k_кр. Критичними точками k_кр наз. точки, що відокремлюють критичну область від області прийняття гіпотези.

Розглядають три види критичних областей залежно від конкуруючої гіпотези: 1)правостороння критична область – це та область на числовій прямій, що визначається нерівністю K >k_кр ; 2)лівостороння критична область – це та область на числовій прямій, що визначається нерівністю K <k_кр ; двостороння критична область – це та область на числовій прямій, що визначається нерівністю| K| >k_кр (у припущенні, що k_кр >0).

Для знаходження критичної області задаються рівнем значущості  і шукають критичні точки k_кр із таких співвідношень: · для правосторонньої критичної області: · для лівосторонньої критичної області:

· для двосторонньої критичної області:

104.Перевірка гіпотез про закони розподілу. Критерій згоди Пірсона. Критерієм згоди називають статистичний критерій перевірки гіпотези про закон розподілу ймовірностей випадкової величини (ознаки генеральної сукупності). Розглянемо критерій згоди Пірсона(критерій х²) який ґрунтується на порівнянні емпіричних і теоретичних частот. Згідно з критерієм Пірсона для перевірки гіпотези H₀ вводиться випадкова величина (статистика) К:

де m – кількість груп у статистичному розподілі вибірки; n_i – емпірична частота ознаки X в i -й групі; –теоретична частота; p_i – ймовірність того, що значення X належить i-й групі.

Відомо, що при n→∞ закон розподілу статистики K прямує до закону розподілу х² з ступенями вільності, де m – кількість груп у статистичному розподілі вибірки; r – кількість параметрів гіпотетичного розподілуA .

Для критерію х² будують правосторонню критичну область за правилом:

За рівнем значущості  і кількістю ступенів вільності k знаходять критичну точку . На підставі даних вибірки обчислюють емпіричне значення критерію Пірсона:

Порівнюємо значення К_емп і k_кр. Якщо К_емп ≥ k_кр, то гіпотезу відхиляють. Якщо К_емп < k_кр, то гіпотезу приймають.