Глава 5.Проверка адекватности и точности модели

5.1. Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности

Проверка гипотезы о правильности выбора уравнения регрессии. Для исследования случайности отклонений уравнения находятся разности:

,

i = 1 ÷ n, (n = 20),

ε_i - случайная переменная;

y_i - фактическое значение ряда;

ỹ_i - теоретическое значение ряда.

Характер этих отклонений изучается с помощью ряда непараметрических критериев. Одним из таких критериев является критерий серий, основанный на медиане выборки. Ряд из величин ε_i располагают в порядке возрастания их значений и находят медиану ε_m, полученную из вариационного ряда, то есть срединное значение при n нечетном или среднюю арифметическую из 2-х соседних срединных значений при четном n. Возвращаясь к исходной последовательности ε_i и сравнивая значение этой последовательности с ε_m ставят знак «+», если ε_i > ε_m; «-», если ε_i< ε_m, соответственно значение ε_i опускается, если ε_i=ε_m. Таким образом, получается последовательность, состоящая из «+» и «-», общее число которых не превосходит n.

Последовательность подряд идущих «+» или «-» называется серией. Для того, чтобы последовательность ε_i была случайной выборкой, протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее количество серий слишком малым. Обозначим протяженность самой длинной серии K_max, a общее число серий через v. Выборка признается случайной, если выполняются следующее неравенства для 5%-го уровня значимости:

l. K_max<[3,3*lg(n+l)] (1)

2. (2),

где квадратные скобки означают целую часть числа.

Если хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то гипотеза о случайном характере отклонений уровней ряда от теоретических уровней отвергается и модель признается неадекватной.

В рассматриваемой задаче: Медиана ε_m = -0,2038

Таблица №10

Наблюдение	Остатки	Серия
1	-0,063799547	-
2	0,537706309	+
3	0,323928589	+
4	-0,269116041	-
5	0,005710805	-
6	-0,589002641	-
7	-0,577214039	-
8	0,093846652	+
9	-0,907128548	-
10	1,158304042	+
11	-0,285106115	-
12	-0,667358338	-
13	1,868290289	+
14	-0,247036568	-
15	-0,428998847	-
16	1,350051447	+
17	-0,997655076	-
18	-0,542485718	-
19	0,397653893	+
20	-0,160590549	-

Протяженность самой длиной серии К_mах = 2. Если посчитать К_mах по формуле (1), то мы получим 3 < 4.

Общее число серий v = 13 > 6.

Поскольку оба неравенства выполняются, то гипотеза о случайном характере отклонений уровней остаточной компоненты принимается и, следовательно, модель признается адекватной.

5.2. Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения

Данная проверка производится обычно приближенно с помощью нахождения показателей асимметрии γ₁ и эксцесса γ₂. Это производится на основании сравнения найденных показателей с теоретическими. При нормальном распределении некоторой генеральной совокупности показатели асимметрии и эксцесса должны быть равны нулю (γ₁=0, γ₂ =0). При конечной выборке из генеральной совокупности показатели асимметрии и эксцесса имеют отклонения от нуля.

Для оценки соответствия выбранной совокупности данных нормальному закону распределения используется так называемая оценка показателей эксцесса и асимметрии.

В качестве оценки асимметрии используется формула:

Оценка эксцесса:

где:

—выборочная характеристика асимметрии;

—выборочная характеристика эксцесса;

—среднеквадратичная ошибка асимметрии;

—среднеквадратичная ошибка эксцесса.

Если одновременно выполняются неравенства:

,

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты принимается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств:

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается, линейная модель уравнения регрессии признается неадекватной.

Другие случаи требуют дополнительной проверки при помощи более сложных критериев.

В рассматриваемой задаче:

γ1	1,003453186
γ2	0,472866244
σγ1	0,32012179
σγ2	0,761076154

	<				<
1,001	>	0,71		0,61	<	1,14
	>				>
1,001	>		0,95	0,61	<	1,52

Следовательно, этот случай требует дополнительной проверки при помощи более сложных критериев.