Реактивний рух

В класичній механіці під рухом тіл змінної маси розуміють такий рух, коли маса тіла змінюється за рахунок зміни кількості речовини цього тіла, а його швидкість мала, порівняно із швидкістю світла.

Найбільш типовим прикладом цього руху є рух ракет. Принцип дії ракет дуже простий. Продукти згорання палива викидаються з великою швидкістю з ракети, діючи на неї з певною силою і надаючи їй певного прискорення. При цьому швидкість ракети збільшується, а її маса зменшується, за рахунок зменшення маси палива, що згорає.

Знайдемо рівняння руху ракети. Нехай в момент часу tмаса ракети булаm, а швидкість -, отже імпульс:.

В момент часу t+dtмаса ракетиm-dm, а швидкість -, імпульс

Тоді з рівняння ми отримаємо:

(1.50)

де - імпульс продуктів згорання палива,- маса палива, що згорає за час,- рівнодійна всіх сил, що діють на ракету.

Розкриємо дужки:

(1.51)

За законами додавання швидкостей: , де- швидкість палива відносно ракети,- швидкість ракети відносно землі.

(1.51)

Ділимо на і отримуємо рівняння руху ракети, або рівняння Мещерського:

(1.51)

Величина називається масою палива, що згорає за одиницю часу.

(1.52)

- називаєтьсяреактивною силою.

Розглянемо випадок коли , тоді з рівняння Мещерського

(1.53)

Позначимо . Рівняння Мещерського є ІІ законом Ньютона для руху тіл змінної маси:

(1.53)

Рух ракети в безповітряному просторі без дії зовнішніх сил:

, (1.54)

(1.54)

приотже. Отримуємо рівняння для швидкості руху ракети, або рівняння Ціолковського:

(1.55)

Швидкість ракети (кінцева) визначається тільки відносно швидкості витікання продуктів згорання та логарифмом відношення початкової та кінцевої маси.

Швидкість, необхідна для подолання тілом сили тяжіння, внаслідок чого це тіло стане штучним супутником Землі, називається першоюкосмічноюшвидкістюта становить. Швидкість, необхідна для того щоб тіло вийшло на навколосонячну орбіту називаєтьсядругоюкосмічноюшвидкістюта становить. Для того щоб тіло назавжди покинуло Сонячну систему, йому необхідно надатитретюкосмічнушвидкість:.

Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу

Розглянемо рух матеріальної точки масою m під дією сил, рівнодійна яких рівна F. За ІІ законом Ньютона:

(1.56)

Назвемо моментом імпульсуматеріальної точки векторний добуток її радіус-вектора на імпульс:

(1.56)

Знайдемо похідну:

(1.56)

Моментом силивідносно даної точки називають векторний добуток радіус-вектора на силу. Тобто:

(1.57)

Підставивши в (1.56) ми отримаємо теорему про зміну моменту імпульсу матеріальної точки:

Похідна від моменту імпульсу матеріальної точки по часу дорівнює сумі моментів всіх сил, прикладених до цієї матеріальної точки, тобто:

(1.58)

Якщо , то

Момент імпульсу матеріальної точки є сталим, якщо сума моментів всіх сил, прикладених до цієї матеріальної точки дорівнює нулю.

Закон збереження моменту імпульсу можна сформулювати так:

Узамкнутій системі сумарний момент імпульсу всіх тіл системи є величиною сталою:

(1.58)

Обертальний рух матеріальної точки відносно нерухомої осі

Якщо тіло обертається відносно нерухомої осі, то кожна його точка рухається по колу відповідного радіуса (рис. 1.11). Розглянемо рух матеріальної точки по колу

(1.59)

Знайдемо роботу сили F:

Роботу виконує тільки тангенціальна складова сили F:

Потужність обертального руху:

(1.59)

Для твердого тіла, оскільки для його точок є однаковим, то:

, (1.60)

де M— рівнодійна моментів сил, прикладених до однієї точки.

Знайдемо кінетичну енергію матеріальної точки, що обертається навколо нерухомої осі:

Отже, для обертального руху:

(1.61)

Величина, що дорівнює добутку маси матеріальної точки на квадрат відстані до осі обертання називається моментом інерціїматеріальної точки.

(1.62)

Відповідно для кінетичної енергії обертального руху можна записати:

(1.63)

За теоремою про зміну кінетичної енергії:

(1.64)

У векторній формі:

(1.64а)

Це є основне рівняння динаміки для обертального руху або ІІ закон Ньютона для обертального руху.

Для абсолютно твердого тіла, оскільки для нього ωіεоднакові для всіх точок, то:

(1.65)

(1.66)

Моментом інерції твердого тіланазивається сума моментів інерцій елементів мас з яких це тіло складається. Аналогічно основне рівняння динаміки обертального руху тіла має вигляд:

,

де - рівнодійна моментів всіх сил, прикладених до тіла,I- момент інерції тіла,- кутове прискорення тіла.

Приклад.

Знайдемо момент інерції стержня довжиною L, масоюmвідносно осі, що проходить через його центр мас (рис. 1.12). Для цього розділимо стержень на елементи масиdm. Відстань до елемента маси від осіх.