Додавання гармонічних коливань

1. Метод векторних діаграм

Гармонічні коливання можна зобразити графічно, застосувавши метод векторних діаграм. Для цього з довільної точки О на осі х під кутом , який дорівнює початковій фазі коливання, відкладають вектор, модуль якого дорівнює амплітудіА даного коливання (рис. 13.1). Якщо цей вектор почати обертати з кутовою швидкістю , яка дорівнює циклічній частоті коливань, то проекція кінця вектора переміщуватиметься по осі z і прийматиме значення від – А до +А, а величина, що коливається, змінюватиметься з часом за законом

,

Рис. 13.1

У фізиці часто застосовують інший метод, який відрізняється від методу векторних амплітуд лише формою. В цьому методі величину, що коливається, представляють комплексним числом. Згідно з формулою Ейлера, для комплексних чисел

,

де – уявна одиниця.

Тому рівняння гармонічного коливання можна записати в комплексній формі:

.

Дійсна частина цього виразу

якраз і є гармонічним коливанням. Позначення Re дійсної частини опускають, тобто записують у вигляді:

і вважають, що величина s, що коливається, дорівнює дійсній частині комплексного виразу, що стоїть в цьому рівнянні справа.

2. Додавання гармонічних коливань одного напрямку

В ряді випадків необхідно знати результуюче коливання, тобто підсумувати два гармонічні коливання одного напрямку і однакової частоти:

;

.

Рівняння результуючого коливання найпростіше знайти скориставшись векторних діаграм (рис 13.2):

Рис. 13.2

, (1)

де амплітуда А і початкова фаза задаються співвідношеннями:

;

.

Результуюче коливання (1) – гармонічне і воно здійснюється в тому ж самому напрямку і з тією ж самою частотою, що й коливання, які підсумовуються.

Розглянемо два характерних випадки коливань:

1. , … . Тоді;

2. , … . Тоді.

3. Биття

Для практики важливим є випадок, коли додаються два гармонічних коливання з близькими частотами. Саме тоді виникає биття, тобто періодичне змінювання амплітуди коливань, яке виникає при підсумовуванні двох гармонічних коливання з близькими частотами.

Розглянемо додавання наступних коливань:

;

;

, початкові фази обох коливань дорівнюють нулю

Результуюче коливання буде таким:

.

Амплітуда биття: ; період биття:(рис. 13.3).

Рис. 13.3

4. Додавання взаємно перпендикулярних гармонічних коливань. Поняття про фігури Ліссажу

Додаються гармонічні коливання однакової частоти , що відбуваються у взаємно перпендикулярних площинах

Рівняння траєкторії результуючого коливання можна отримати шляхом виключення параметра :

.

Це рівняння еліпса, осі якого орієнтовані відносно координатних осей довільно.

Розглянемо два частинні випадки:

І. … . Це випадоклінійно поляризованих коливань: еліпс вироджується у відрізок прямої лінії , де знак плюс відповідає нулю і парним значенням(рис. 13.4, а), а мінус – непарним значенням (рис. 13.4, б), .

Рис. 13.4

ІІ. 1) … . 2). Це випадокциркулярно поляризованих коливань: у разі виконання умови 1) матимемо еліпс, орієнтований відносно координатних осей; у разі виконання ще й умови 2) – еліпс вироджується в коло.

Фігури Ліссажу. Фігури Ліссажу – це замкнені траєкторії, які прочерчуються точкою, що здійснює одночасно два взаємно перпендикулярні коливання (рис. 13.5). Форма цих коливань залежить від співвідношення амплітуд, частот (на рисунку вказані зліва) і різниці фаз (на рисунку вказані зверху; різниця фаз приймається такою, що дорівнює ).

Рис. 13.5

ЛЕКЦІЯ 14