Згасаючі коливання

1. Згасаючі механічні коливання

Згасаючі коливання –це коливання, амплітуда яких внаслідок втрати енергії реальної коливальної системи з плином часу зменшується, перетворюючись в теплоту через тертя в механічних коливальних системах, омічні втрати та випромінювання електромагнітної енергії в електричних коливальних системах.

Закон згасаючих коливань визначається властивостями систем, що коливаються. Серед таких систем найпоширенішими є лінійні системи. Лінійні системи – це ідеалізовані реальні системи, в яких параметри, що визначають фізичні властивості системи, під час процесу коливань не змінюються (на відміну від нелінійних систем, в яких ці параметри змінюються нелінійно).

Різні за своєю природою лінійні системи описуються однаковими рівняннями, що дає можливість застосувати єдиний підхід до вивчення коливань різної фізичної природи.

Гармонічні коливання величини описуються рівнянням такого типу

, ,

де – амплітуда коливань;– початкова фаза в момент;– фаза коливань в момент часу.

Визначення періоду і частоти коливань:

; ;.

Швидкість та прискоренняточки

;

.

Сила, що діє на матеріальну точку

.

Енергія гармонічних коливань

Кінетична енергія

.

Потенційна енергія

.

Повна енергія

.

Маятники

Рівняння гармонічного осцилятора

.

Пружний маятник

Рівняння руху маятника під дією сили :

має розв'язок

; ;.

Математичний маятник

Період малих коливань такого маятника

,

де – довжина маятника;– прискорення вільного падіння.

Фізичний маятник

Момент сили, що вертає, дорівнює

,

де – момент інерції відносно осі, що проходить через точку 0;– відстань між точкою підвісу і центром мас маятника;– сила, що вертає;відповідає малим коливанням маятника.

Рівняння фізичного маятника

; ,

де .

Фізичний маятник здійснює коливання з циклічною частотою і періодом

; ,

де – приведена довжина фізичного маятника.

2. Диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань лінійної системи

та його розв'язок

Величина , яка описує коливальний фізичний процес в лінійній системі, задовольняє диференціальному рівнянню:

,

де – коефіцієнт згасання (– для механічних коливань і– для електричних коливань);– циклічна частота вільних коливань.

Розв'язок цього рівняння такий:

,

де – частота загасаючих коливань;– амплітуда згасаючих коливань.

Характеристики згасання такі: – коефіцієнт згасання;– час релаксації – це час, протягом якого амплітуда згасаючих коливань зменшиться ве раз.

Період згасаючих коливань .

Вимушені коливання

Для пружного маятника, на який діє змушуюча сила :

,

або, враховуючи те, що ,,

.

Розв'язок цього рівняння:

,

де ;.

Резонансна частота ()

Ця частота визначається так:

,

звідки

.

Електричні коливання. Електричний коливальний контур

Згідно з законом Ома

,

де – напруга на резисторі;– напруга на конденсаторі;– е. р. с. самоіндукції. Отже

або

; ;;

.

Це рівняння має такий розв'язок:

,

де .

Згідно з законом збереження енергії

.

ЛЕКЦІЯ 15

Вимушені коливання

1. Вимушені механічні коливання, диференціальне рівняння і його розв'язок. Характеристики вимушених коливань (частота, амплітуда, фаза)

Вимушені коливання – це незгасаючі коливання, що виникають під дією зовнішньої сили F, яка періодично змінюється (F₀ — амплітудне значення змушувальної сили).

Вимушені механічні коливання розглянемо на прикладі пружинного маятника.

Закон руху пружинного маятника. Для пружного маятника масою , який здійснює малі коливання під дією пружної сили , сила тертя пропорційна швидкості:

,

де –коефіцієнт опору; знак мінус вказує на протилежні напрями сили тертя і швидкості.

Отже, закон руху пружинного маятника з врахуванням змушувальної сили F,такий

.

З урахуванням того, що коефіцієнт згасання , а, отримаємо диференційне рівняння:

.

Розв'язок цього рівняння:

,

де амплітуда (1); фаза.

2. Механічний резонанс

Розглянемо явище механічного резонансу. Це явище має місце за частоти, коли амплітуда зміщення досягне максимума. Така частота називається резонансно частотою ().Ця частота визначається з такої умови: : треба продиференціювати підкорінний вираз у формулі (1) по і прирівняти його нулю:

,

звідки

.

Визначимо поняття механічний резонанс. Механічний резонанс – це явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти змушувальної сили до частоти, яка дорівнює або наближається до власної частоти коливальної системи.

Резонансні криві – це криві залежності амплітуди А вимушених коливань від частоти при різних. При0 всі криві досягають одного і того ж самого,відмінного від нуля, граничного значення , яке називаєтьсястатичним відхиленням (див. рис. 15.1).

Рис. 15.1