СБОРНИК ЗАДАЧ

потерь в стали, потоком рассеяния и активным сопротивлением катушки пренебречь.

Р е ш е н и е . Максимальное значение магнитной индукции

Для определения коэффициентов аппроксимации а è b âûáè-

находим коэффициенты аппроксимации: а = 43, b = 157. Используя закон полного тока и уравнение аппроксимации, за-

писываем уравнение мгновенного значения тока:

i = l H = l (aB + bB5).

ww

Поскольку напряжение, приложенное к катушке, синусоидально, то и магнитная индукция изменяется по синусоидальному закону

B = Bm sinωt = 1,43sinωt Òë.

Тогда уравнение мгновенного значения тока имеет вид

200

Действующее значение тока катушки

Амплитудное значение тока катушки определяется суммой амплитудных значений токов 1, 3 и 5-й гармоник (1), так как 3-я гармоника в противофазе с 1-й и 5-й:

Imax = 0,811 + 0,367 + 0,073 = 1,251 À.

Результаты аналитического и графического (задача 7.1) расче- тов катушки различаются незначительно.

Задача 7.4. На рис. 7.4 приведена динамическая петля перемагничивания В(Н) при частоте f = 50 Гц стального сердечника ка-

Ð è ñ . 7 . 4

201

тушки, имеющего площадь поперечного сечения S = 10 ñì2, длину средней магнитной линии l = 17,5 см, площадь петли перемагничи- вания Sï = 10,7 ñì2. Число витков катушки w = 175. Воспользовавшись диаграммой В(Н), построить зависимость i(ωt), определить действующие значения напряжения и тока катушки, потерю мощности в сердечнике. Активным сопротивлением и потоком рассеяния обмотки пренебречь.

Р е ш е н и е . При отсутствии активного сопротивления и потока рассеяния катушки

U = E = 4,44 fwSBm.

На петле перемагничивания амплитуда индукции Bm = 16, Тл, и действующее значение напряжения

U = 4,44 50 175 16, 10 10−4 = 62 Â.

Магнитная индукция в сердечнике изменяется синусоидально (рис. 7.4). Для построения зависимости i(ωt) задаемся значениями индукции В (точки 1–5) и с помощью петли перемагничивания находим соответствующие точки 1′–5′ кривой тока.

Диаграмма i(ωt) приведена на рис. 7.4. Из-за потерь в сердечнике наблюдается сдвиг фаз индукции и тока.

Действующее значение тока

Потери энергии за один цикл перемагничивания сердечника

A = Vc ∫HdB = VcmH mBSï = 175, 10−4 86 0,47 10,7 = 75,6 10−3 Äæ,

ãäå Vc = Sl = 1,75·10–4 ì3 – объем сердечника; mH = 86 À/ì/ñì, mB = 0,47 Тл/см – масштабы по осям координат, в которых построена петля; Sï = 10,7 ñì2 – площадь петли перемагничивания.

Мощность полных потерь в сердечнике на гистерезис и вихревые токи при заданной частоте

P = f A = 50 75,6 10−3 = 3,78 Âò.

Задача 7.5. Мощность потерь в стали магнитопровода при ча- стоте 40 Гц составила 100 Вт, а при частоте 60 Гц и том же напряжении источника – 80 Вт. Определить мощность суммарных потерь в стали, а также раздельно потери от гистерезиса и от ви-

202

хревых токов при частоте 50 Гц и неизменном напряжении источника.

Р е ш е н и е . Мощность потерь в стали от гистерезиса прямо пропорциональна частоте и квадрату магнитной индукции. Но так как индукция при неизменном напряжении источника обратно пропорциональна частоте, то рост частоты приводит к уменьшению мощности потерь от гистерезиса. При f1 = 40 Ãö

Мощность потерь в стали от вихревых токов прямо пропорциональна квадрату частоты и квадрату магнитной индукции. При f1 = 40 Ãö

Pâ1 = bf12Bm21;

ïðè f2 = 60 Ãö

Из последнего выражения следует, что при U = const мощность потерь от вихревых токов остается постоянной при изменении частоты.

Таким образом, можно составить систему двух уравнений:

Решение системы уравнений дает Рã1 = 60 Âò, Рâ1 = 40 Вт. При частоте f = 50 Гц мощность потерь в стали от гистерезиса,

вихревых токов и суммарные потери равны соответственно:

203

При отсутствии воздушного зазора (l0 = 0)

I = lñHñ = 400 132 10−3 = 0,147 À.

w360

Таким образом, увеличение воздушного зазора в сердечнике приводит к возрастанию тока катушки и уменьшению ее индуктивности.

Задача 7.7. Определить число витков и намагничивающий ток в обмотке электромагнитного реле при U = 220 Â è f = 50 Гц. Реле должно создавать усилие F = 10 H при рабочем зазоре l0 = 4 мм. Сечение якоря S = 2 ñì2 (реле имеет один зазор).

Р е ш е н и е . Амплитуда индукции (без учета потока рассеяния)

Пренебрегая активным сопротивлением обмотки и ее индуктивным сопротивлением рассеяния, находим число витков:

При достаточно большом воздушном зазоре (l0 = 4 мм) МДС катушки приблизительно равна падению магнитного напряжения в зазоре:

205

Задача 7.8. Сравнить силы притяжения электромагнитов постоянного и переменного тока при одинаковой индукции Вm = 0,2 Тл и площади сечения полюса S = 2 · 10–4 ì2.

Р е ш е н и е . Подъемная сила электромагнита постоянного тока

Среднее за период значение подъемной силы электромагнита переменного тока (на один полюс)

Таким образом, при одних и тех же максимальных значениях индукции и площади сечения полюса подъемная сила электромагнита постоянного тока вдвое превышает подъемную силу электромагнита переменного тока.

Задача 7.9. Для определения параметров схемы замещения катушки со сталью использована цепь, изображенная на рис. 7.6. Приборы показали: U = 127 Â, I = 5 À, P = 100 Вт. Частота f = 50 Гц. При включении катушки в цепь постоянного напряжения U_ = 12 Â òîê I_ = 4 А. Число витков катушки w = 200. Пренебрегая потоком рассеяния, определить сопротивления всех элементов последова- тельно-параллельной схемы замещения катушки (рис. 7.7, а). Построить векторную диаграмму для заданного режима.

Ð è ñ . 7 . 6

206

Ð è ñ . 7 . 7

Решение. Активное сопротивление обмотки

R = U− = 12 = 3 Îì.

I− 4

Мощность потерь в обмотке (в меди)

Pì = RI 2 = 3 52 = 75 Âò.

Мощность Р, измеренная ваттметром, включает мощность потерь в меди и стальном сердечнике. Следовательно, мощность потерь в стальном сердечнике

Pc = P − Pì = 100 − 75 = 25 Âò.

Сопротивление R0 в последовательной схеме замещения катушки (рис. 7.7, б) определяется по мощности потерь в стали:

R0 = PcI 2 = 2552 = 1 Ом. Полное сопротивление катушки

Z = UI = 1275 = 25,4 Ом. Индуктивное сопротивление

Находим активную g0 и реактивную b0 проводимости в схеме замещения (рис. 7.7, а):

207

Для построения векторной диаграммы определяем угол сдвига фаз ϕ между вектором напряжения U и вектором эквивалентного тока катушки I :

Откладываем вектор напряжения U, затем под углом 81° к нему вектор тока I (ðèñ. 7.7, в). Òàê êàê U = –E + RI è –E = U′ = U – RI, то, вычитая из вектора U вектор падения напряжения UR = RI (UR = 3 ×

Вектор потока Ô m отстает по фазе от вектора U′ на угол 90°, его значение

Находим угол сдвига фаз δ между векторами I è Ô m (óãîë ïî-

òåðü):

Задача 7.10. Â öåïè (ñì. ðèñ. 7.6) U = 220 Â, I = 5 À, P = 225 Вт. Частота источника напряжения f = 50 Гц. Число витков катушки w = 500, ее активное сопротивление R = 5 Ом. Амплитуда магнитного потока сердечника в заданном режиме Фm = 18·10–4 Вб. Определить параметры всех элементов последовательной схемы замещения катушки (рис. 7.8, а) и построить векторную диаграмму.

Р е ш е н и е . Мощность потерь в меди обмотки

Pì = RI 2 = 5 52 = 125 Âò.

Мощность потерь в сердечнике

Pc = P − Pì = 225 − 125 = 100 Âò.

208

Ð è ñ . 7 . 8

Активное сопротивление схемы замещения, обусловленное потерями в стали,

R0 = PcI 2 = 10025 = 4 Ом. Находим ЭДС в обмотке:

E = U ' = 4,44 fwÔm = 4,44 50 500 18 10−4 = 200 Â.

Определяем полное Z0 и индуктивное X0 сопротивления, учи- тывающие наличие стального сердечника:

Рассчитываем полное сопротивление катушки Z и ее индуктивное сопротивление рассеяния X:

= U = 220 =

Z 44 Îì;

I5

X = 43 − 39,8 = 3,2 Îì.

209