СБОРНИК ЗАДАЧ
.pdfЗадача 4.8. Цепь, состоящая из двух параллельных ветвей (R1 = R2 = 10 Îì, L = 0,1 Ãí, С = 200 мкФ), включается на постоянное напряжение U = 24 Â (ðèñ. 4.6, а). Найти закон изменения переходных токов в ветвях и неразветвленной части. Построить диаграммы i1(t), i2(t), i(t). Как следует изменить емкость С конденсатора, чтобы ток в неразветвленной части цепи имел постоянное значение? Определить значение этого тока.
Ðè ñ . 4 . 6
Ðе ш е н и е . Токи переходного режима в параллельных ветвях схемы независимы и определяются уравнениями:
i = |
U |
(1 − å−t τ1 ) = 2,4(1 − å−100t ) À; τ = |
L |
= 0,01ñ; |
|||||||
|
|
||||||||||
1 |
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
i = |
U |
å−t τ2 |
= 2,4å−500t À; |
τ |
2 |
= R C = 0,002 ñ. |
||||
|
|
||||||||||
|
2 |
|
R2 |
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общий ток цепи находим по первому закону Кирхгофа:
i = i1 + i2 = U (1 − å−tτ1 + å−tτ2 ) = 2,4(1 − å−100t + å−500t ) À.
R
Как видно из последнего выражения, общий ток не будет зависеть от времени при условии τ1 = τ2, ò.å. LR = RC′, откуда
C′ = LR2 = 1000 ìêÔ. Ïðè ýòîì òîê i = 2,4 À.
150
Задача 4.9. Определить начальные и установившиеся значения токов i, i1, i2, напряжений uC è uL при замыкании ключа (рис. 4.7), если U = 220 Â, R = 22 Îì, L = 100 ìÃí, С = 50 мкФ. Напряжение на конденсаторе до замыкания ключа равнялось нулю.
Р е ш е н и е . До коммутации то- |
|
|
ки и напряжения имели следующие |
Ð è ñ . 4 . 7 |
|
значения: |
||
|
||
i = i1 = U (2R) = 5 À; |
|
i2 = 0; uL = uC = 0.
Запишем уравнения законов Кирхгофа для мгновенных значе- ний токов и напряжений послекоммутационной цепи:
i = i1 + i2; |
(1) |
U = Ri + uC ; |
(2) |
Ri1 + uL = uC . |
(3) |
Поскольку ток в индуктивности и напряжение на емкости не изменяются скачком, то в момент коммутации (t = 0):
i1(0) = 5 À, uC (0) = 0.
Согласно уравнению (2)
i(0) = U − uC (0) = 10 À.
R
Тогда из уравнения (1) находим:
i2(0) = i(0) − i1(0) = 5 À,
а из выражения (3)
uL(0) = uC (0) − Ri1(0) = −110 Â.
В установившемся режиме послекоммутационной цепи (t = ∞):
151
i = i1 = U(2R) = 5 À; i2 = 0; uL = 0; uC = Ri1 = 110 В. Ответы приведены в табл. 4.1.
|
|
|
Ò à á ë è ö à 4 . 1 |
|
|
|
|
|
|
Величина |
|
Режим |
|
|
до коммутации |
t = 0 |
t =∞ |
||
|
||||
i, À |
5 |
10 |
5 |
|
i1, À |
5 |
5 |
5 |
|
i2, À |
0 |
5 |
0 |
|
uC, Â |
0 |
0 |
110 |
|
uL, Â |
0 |
–110 |
0 |
Задача 4.10. Катушка, имеющая индуктивность L = 0,127 Гн и сопротивление R = 6,35 Ом, включается на синусоидальное напря-
жение u = 2 220sin(ωt + ψ) В, где ψ = 30°. Частота напряжения 50 Гц. Определить закон изменения тока в цепи, а также значение тока через два периода после включения. Рассчитать начальную фазу напряжения сети, при которой будет отсутствовать переходный процесс.
Р е ш е н и е . Для определения тока катушки в установившемся режиме находим:
XL = ωL = 2π 50 0127, = 40 Îì; Z = R2 + XL2 = 40,5 Îì;
cosϕ = R = 6,35; ϕ = 81°; ψi = ψ − ϕ = 30 − 81 = −51°.
Z40,5
Âустановившемся режиме ток
iïð = Um sin(ωt + ψ − ϕ) = 7,68sin(ωt − 51°) À.
Z
Свободная составляющая тока iñâ = Aå−tτ , ãäå τ = LR = 0,02 с. Действительный ток
i = iïð + iñâ = 7,68sin(ωt − 51°) + Аå−tτ.
Постоянную интегрирования А находим из начальных условий, при t = 0:
i(0) = 0 = 7,68sin(−51°) + А,
152
откуда А = − 7,68sin(−51°) = 5,97.
Уравнение тока катушки имеет вид
i = 7,68sin(ωt − 51°) + 5,97å−t0,02 À.
Диаграммы изменения тока i и составляющих iïð, iñâ приведены на рис. 4.8.
Ð è ñ . 4 . 8
Определяем значение тока через два периода после включения (ωt1 = 4π; t1 = 4π314 = 0,04 ñ) :
i1 = 7,68sin(720° − 51°) + 5,97å−0,040,02 = −5,17 À.
Переходный процесс будет отсутствовать, если
iñâ = Um sin(ψ − ϕ)å−tτ = 0,
Z
т.е. при ψ − ϕ = 0, значит, ψ = ϕ = 81°.
Задача 4.11. Найти закон изменения тока i(t) и напряжения uC(t) на конденсаторе, если последовательно соединенные резистор и конденсатор (R = 2 Îì, С = 50 мкФ) включаются на синусоидальное напряжение u = 141sin(314t + ψ) В, где ψ = 45°. При каком значении ψ начальное значение тока будет максимальным?
Р е ш е н и е . Определяем ток и напряжение конденсатора в установившемся режиме:
153
iïð = |
|
|
Um |
|
|
sin(ωt + ψ − ϕ) = 2,21sin(314t + 133°20′) Â; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R2 + (1 (ωC))2 |
||||||
u |
= |
Um |
X |
sin(ωt + ψ − ϕ − π) = 140sin(314t + 43°20′) Â, |
|||
|
|||||||
C ïð |
|
Z |
C |
2 |
|||
|
|
|
|
ãäå ϕ = arctg − 1 (ωC) = arctg − 63,7 = − 88°20′.
R2
Свободная составляющая напряжения uC ñâ = Аå−tτ , ãäå τ = RC = = 2 50 10−6 = 10−4 ñ.
Общее выражение для напряжения имеет вид
uC = uC ïð + uC ñâ = 140sin(314t + 43°20′) + Аå−tτ Â.
Используя второй закон коммутации, находим постоянную ин-
тегрирования А. Ïðè t = 0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
uC (0) = 0 = 140sin43°20′ + А; |
|
A = − 96. |
|
|||
Окончательное выражение для напряжения |
|
|||||||||
u |
= |
Um |
X |
sin(ωt + ψ − ϕ − 90 ) − |
Um |
X |
|
sin(ψ − ϕ − 90 )å−t τ |
, |
|
|
|
|
||||||||
C |
|
Z |
C |
|
Z |
C |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
uC = 140sin(314t + 43°20′) − 96å−104 t Â.
Ток конденсатора
i = C duC = Um (cosϕsin(ωt + ψ − ϕ) − sinϕsin(ψ − ϕ − 90°)å−tτ); dt R
i= 2,21sin(314t + 133°20′) + 48å−104 t À.
Âмомент включения цепи, как следует из общего выражения
òîêà,
i(0) = Um sinψ.
R
Значит, наибольшее значение imax = UmR = 70,5 А будет при ψ = = π/2. Действительно, в момент включения цепи емкость как бы закорочена (uС(0) = 0) и все внешнее напряжение приложено к со-
противлению R.
154
Контрольные задачи
Задача 4.12. Определить длительность переходного процесса в цепи (см. рис. 4.1, а) при замыкании ключа (R = 5 Îì, L = 0,5 Гн). Считать, что переходный процесс заканчивается по прошествии времени t = 4τ.
Задача 4.13. Äëÿ öåïè (ñì. ðèñ. 4.1, а) рассчитать сопротивление R резистора из условия, что за время t = 0,1 с после подключения цепи к источнику постоянного напряжения ток катушки достигнет значения i = 2,6 А. Индуктивность катушки L = 0,5 Гн. Ток установившегося режима 3 А. Определить напряжение uL в момент t = 0,1 ñ.
Задача 4.14. Катушка, индуктивность которой L = 2 Гн и сопротивление R = 5 Ом, замыкается накоротко в момент, когда ток катушки равен 10 А. Определить напряжение на катушке и скорость убывания тока в момент замыкания. Какова скорость убывания тока, когда i = 5 À?
Задача 4.15. К зажимам обмотки возбуждения машины постоянного тока подключен вольтметр, сопротивление которого 3000 Ом. Индуктивность обмотки L = 15 Гн, активное сопротивление 20 Ом. Во сколько раз повысится напряжение на вольтметре в момент отключения цепи (см. рис. 4.3) от источника постоянного напряжения U = 100 В? Рассчитать энергию, выделившуюся в вольтметре
после размыкания. |
|
Задача 4.16. Определить начальное значе- |
|
ние ЭДС самоиндукции еL, возникающей в |
|
катушке при размыкании ключа (рис. 4.9). |
|
Задача 4.17. Определить длительность |
|
переходного процесса, возникающего при |
|
разряде конденсатора емкостью С = 500 ìêÔ |
|
через резистор сопротивлением R = 100 Îì. |
Ð è ñ . 4 . 9 |
Считать, что переходный процесс заканчива- |
ется по прошествии времени t = 4τ.
Задача 4.18. Â öåïè (ñì. ðèñ. 4.4, а) определить емкость С конденсатора из условия, что за время t1 = 0,01 с после подключения цепи к источнику постоянного напряжения U = 230 В напряжение на конденсаторе при его зарядке через резистор сопротивлением R = 100 Ом достигает значения uС1 = 200 В. Рассчитать зна- чение тока i1 в момент времени t1 = 0,01 ñ.
Задача 4.19. Конденсатор емкостью С = 100 мкФ, заряженный до напряжения UС0 = 220 В, разряжается на резистор сопротивлением R (ñì. ðèñ. 4.5, а). Определить сопротивление R резистора,
155
если за время t = 3,5 ∙ 10 –3 с энергия электрического поля конденсатора уменьшилась вдвое по сравнению с первона-
чальной. Задача 4.20. Определить начальные и
установившиеся значения токов i, i1, i2 и напряжения uС при замыкании ключа в цепи (рис. 4.10), если U = 220 Â, R = 11 Îì,
R1 = 44 Îì, С = 100 ìêÔ.
Задача 4.21. Определить начальные и
установившиеся значения токов i, i1, i2 и напряжений uС , uL при замыкании ключа в цепи (см. рис. 4.6, а), åñëè U = 110 Â, R1 = = 11 Îì, R2 = 22 Îì.
Задача 4.22. Катушка, индуктивность которой L = 160 мГн и активное сопротивление R = 8,8 Ом, подключается к источнику синусоидального напряжения u = 310sin(314t + ψ)В. Определить начальную фазу напряжения ψ, при которой свободная составляющая тока в начальный момент имеет максимальное значение. Рас- считать при этом наибольшее значение тока переходного режима imax и соответствующее ему время t1.
Задача 4.23. В задаче 4.11 определить начальную фазу синусоидального напряжения ψ, при которой будет отсутствовать переходный процесс, т.е. напряжение конденсатора сразу после вклю- чения будет изменяться по синусоидальному закону.
Ответы к контрольным задачам
|
|
4.12. 0,4 ñ. 4.13. R = 10 Îì, uL |
= 4 Â. 4.14. uL |
= 50 Â, |
di |
|
t=0 = −25 À/ñ, |
||
|
|
||||||||
di |
dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i=5À |
= −12,5 À/ñ. 4.15. Â 150 ðàç, W = 186 Äæ. 4.16. 2U. 4.17. 0,2 ñ. 4.18. С = |
|||||||
|
|||||||||
dt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=50 ìêÔ, i = 0,308 À. 4.19. 100 Îì. 4.20. t = 0: i = 0, i1 = 5 À, i2 = – 5 À, uС =
=220 Â; t = ∞: i = i1 = 4 À, i2 = 0, uС = 176 Â. 4.21. t = 0: i = i2= 5 À, i1 = 0, uС = 0, uL = 110 Â; t = ∞: i = i1 = 10 À, i2 = 0, uС = 110 Â, uL = 0. 4.22. ψ =
=170°, imax = 9,6 À, t1 = 0,01 ñ. 4.23. ψ = 1°40′ ± 180°.
5.ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ
ÂЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Задачи с решениями
Задача 5.1. Электродвижущая сила периодически изменяется по трапецеидальному закону (рис. 5.1, а). Записать ряд Фурье и построить по нему кривую мгновенных значений ЭДС (при разложении в ряд ограничиться тремя членами ряда). Определить коэффициенты, характеризующие форму кривой.
Ðè ñ . 5 . 1
Ðе ш е н и е . Заданная функция симметрична относительно на- чала координат и оси абсцисс, поэтому ряд Фурье не будет содержать постоянной и косинусных составляющих, а также четных гармоник:
е = |
4Еm |
(sinα sinωt + |
1 |
sin3α sin3ωt + |
1 |
sin5α sin5ωt + …). |
απ |
|
|
||||
|
9 |
25 |
|
Ïðè α = π/4 è Еm = 100 Â (ðèñ. 5.1, а)
е = 115sinωt + 12,8sin3ωt − 4,6sin5ωt Â.
По полученному уравнению построены кривые отдельных гармоник и результирующая кривая (рис. 5.1, б). Отличие последней
157
от исходной трапеции обусловлено ограничением числа членов ряда Фурье.
Коэффициент амплитуды
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
= |
Еm |
≈ |
100 |
= 1,22, |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
à |
|
|
|
Е |
81,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ãäå Е = |
Еm21 |
+ |
Еm2 |
3 |
+ |
Еm2 |
5 |
+ … ≈ |
|
1152 |
|
+ |
12,82 |
|
+ |
4,62 |
= 81,9 Â – äåé- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||
ствующее значение несинусоидальной ЭДС. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Коэффициент формы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
= |
|
|
Е |
= |
81,9 |
= 109,, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
ô |
|
|
|
Еñð. ìîä |
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ãäå Еñð. ìîä = Еm |
π − α |
= 75 В – среднее по модулю значение ЭДС. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
Е1 |
|
|
|
81,3 |
|
|
|
|
|
|||||
Коэффициент искажения k = |
|
= |
= 0,993, |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
Е |
81,9 |
|
|
|
|
|
ãäå Е1 = Еm1 = 115 = 81,3 В – действующее значение первой гармо-
22
íèêè ÝÄÑ.
Коэффициент гармоник
|
|
Еm2 |
3 |
+ |
Еm2 |
5 |
+ … |
|
12,32 |
+ |
4,62 |
|
|
|
kã = |
|
2 |
|
2 |
|
≈ |
|
2 |
2 |
|
= 0,118. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Е1 |
|
|
81,3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 5.2. Напряжение генератора имеет пилообразную форму (рис. 5.2) с амплитудой Um = 100 В. Определить показания магнитоэлектрического и электромагнитного вольтметров, подключенных к генератору.
Р е ш е н и е . Уравнение напряжения генератора на участке от t = 0 äî t = Т есть уравнение прямой линии:
|
|
|
u = kt = |
Um |
t. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
Магнитоэлектрический вольтметр |
||
|
|
|
показывает среднее за период значе- |
||
|
|
|
|||
Ð è ñ . 5 . 2 |
ние измеряемого напряжения |
||||
|
|
|
158
|
1 |
T |
Um |
T |
Um |
t2 |
|
Um |
|
|||
Uñð = |
∫udt = |
∫tdt = |
T = |
= 50 Â. |
||||||||
|
|
|
2 |
2 |
||||||||
Т 0 |
Т |
2 |
|
2Т |
|
0 |
|
|||||
0 |
|
|
|
|
Электромагнитный вольтметр показывает действующее значе- ние напряжения
|
1 |
T |
2 |
T |
2 |
|
|
Um |
|
||
U = |
∫u2dt = |
|
Um |
∫t2dt = |
|
Um |
= |
|
= 57,7 Â. |
||
|
Т 3 |
3 |
|
||||||||
Т |
0 |
|
0 |
|
3 |
|
Задача 5.3. Источник синусоидального напряжения U = 220 В питает резистор сопротивлением R = 100 Ом через однополупериодный выпрямитель (рис. 5.3, а). Сопротивление выпрямителя в проводящем состоянии равно нулю, в непроводящем – бесконеч- ности. Определить показания электродинамических приборов. Разложив кривую выпрямленного напряжения (рис. 5.3, б) в ряд Фурье, рассчитать действующие значения тока и напряжения по их гармоническому составу.
Ðè ñ . 5 . 3
Ðе ш е н и е . Для кривой, приведенной на рис. 5.3, б, действующее значение напряжения, на которое реагирует электродинамиче- ский вольтметр,
|
1 |
T |
|
1 |
|
T 4 |
|
|
2 |
T 4 |
|
U = |
∫u2dt = |
|
∫ |
u2dt = |
∫ Um2 cos2ωtdt = |
||||||
|
Т 2 |
|
|||||||||
Т |
0 |
0 |
|
Т |
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
Um |
= |
|
2U |
= 155,5 Â. |
||||
|
|
2 |
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
159