СБОРНИК ЗАДАЧ
.pdfЗадача 3.22. Линейные токи симметрич- |
|
|
ного трехфазного |
приемника, соединенного |
|
звездой без нейтрального провода, равны 10 А. |
|
|
Как изменятся токи: а) при коротком замы- |
|
|
кании; б) при обрыве в фазе А? |
|
|
Задача 3.23. Â öåïè (ðèñ. 3.16) R = XС = |
|
|
= XL = 10 Îì, Uë |
= 173 В. Определить токи, |
|
активную, реактивную и полную мощно- |
Ð è ñ . 3 . 1 6 |
|
ñòè öåïè. |
|
|
|
|
Задача 3.24. Â öåïè (ðèñ. 3.17) Uë = 220 Â, R1 = 22 Îì, R2 = R3 = = 11 Ом. Определить линейные токи и мощности цепи. Построить векторную диаграмму.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ð è ñ . 3 . 1 7 |
|
|
Ð è ñ . 3 . 1 8 |
Задача 3.25. Â öåïè (ðèñ. 3.18) Uë = 220 Â, R = XL = 100 Ом. Определить линейные токи и построить векторную диаграмму.
Задача 3.26. Â öåïè (ðèñ. 3.19) Uë = 220 Â, R = XС = 100 Ом. Определить линейные токи и построить векторную диаграмму.
Ð è ñ . 3 . 1 9 |
Ð è ñ . 3 . 2 0 |
Задача 3.27. Определить линейные токи в цепи (рис. 3.20), если все фазные токи Iô = 1 À.
140
Задача 3.28. Â öåïè (ñì. ðèñ. 3.19) Uë = 220 Â, R = XС = 100 Ом. Определить линейные токи: а) при обрыве в фазе са; б) при обрыве линейного провода Cс.
Задача 3.29. Симметричный активно-индуктивный трехфазный приемник потребляет мощность P = 20 кВт при cosϕ = 0,5. Линейное напряжение сети 220 В, частота f = 50 Гц. Рассчитать емкость конденсаторов одной фазы, необходимых для повышения коэффициента мощности цепи до 0,92 при соединении их: а) звездой; б) треугольником.
Задача 3.30. Симметричный трехфазный приемник Zô = 5 + j7 Ом, соединенный звездой, подключен к генератору линией, сопротивление фазы которой Z ë = 1 + j1Ом . Каково должно быть линейное напряжение генератора, чтобы линейное напряжение приемника Uë = 380 Â?
Задача 3.31. Трехфазный приемник соединен линией с генератором, линейное напряжение которого 380 В. Фазы приемника сопротивлением Zô = 210 + j165 Ом соединены треугольником. Сопротивление каждого из линейных проводов линии Z ë = 10 + j5 Ом . Определить напряжение на нагрузке.
Задача 3.32. Â öåïè (ðèñ. 3.21) Uë = 380 Â, XС = 110 Ом. Определить показания ваттметров, активную, реактивную и полную мощности цепи.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ð è ñ . 3 . 2 1 |
Ð è ñ . 3 . 2 2 |
|
|
Задача 3.33. Â öåïè (ðèñ. 3.22) Uë = 220 Â, Z = 10 + j7,8 Ом. Определить показание ваттметра, активную и реактивную мощности цепи.
Задача 3.34. Измерение активной мощности, потребляемой от сети трехфазным симметричным приемником, проводилось двумя ваттметрами. Показания ваттметров PW1 = 2 êÂò, PW2 = 4 кВт. На- чертить электрическую схему цепи и определить коэффициент мощности приемника.
141
Ответы к контрольным задачам
3.16. E = E, E = Eå–j120°, E = Eåj120°, E |
AB |
= |
3Ee j30°, E |
AB |
= 3Ee j90°, |
E = |
||||||
A |
B |
|
C |
|
|
|
|
|
|
CA |
||
= 3Ee j150°. |
3.17. ψ |
В |
= – 30°. 3.18. à) I |
ë |
= 12,7 À, P = 968 Âò; á) I |
ë |
= 38 À, P = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2904 Âò. 3.19. 1 : 4 : 3 : 12. 3.20. 14,2 À, 3,2 êÂò. 3.21. 6 À, 484 Âò, 0. 3.22. à) IА = |
||||||
= 30 À, IB = IС = 17,3 À; á) IА = 0, IВ = IС = 8,67 À. 3.23. IА = – 17,3 À, IВ = |
||||||
= 33,5å–j75° À, I |
С |
= 33,5åj75° À, P = 300 Âò, Q = 0, S = 300 ·À. 3.24. I |
А |
= I |
В |
= |
|
|
|
|
=26,4 À, IС = 34,6 À, P = 11 êÂò. 3.25. IА = IС = 2,2 À, IВ = 1,14 À. 3.26. IА =
=4,25 À, IВ = 1,14 À, IС= 3,81 À. 3.27. IА = 0,52 À, IВ = 1 À, IС = 0,52 À. 3.28. à) IА =
=IС = 2,2 À, IВ = 1,14 À; á) IА = IВ = 2,46 À, IС = 0. 3.29. CY = 1720,2 ìêÔ,
C∆ = 573,4 ìêÔ. 3.30. 442,56 Â. 3.31. 338,8 Â. 3.32. PW1 = 380 Âò, PW2 = – 380 Âò, P = 0, Q = 1320 âàð, S = 1320 ·À. 3.33. PW = 1354,46 Âò, P = 3000 Âò, Q = = 2340 âàð. 3.34. cosϕ = 0,866.
4.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
ÂЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Задачи с решениями
Задача 4.1. Катушка, сопротивление которой R = 5 Ом и индуктивность L = 0,5 Гн, подключается к источнику постоянного напряжения U = 30 Â (ðèñ. 4.1, а). Найти закон изменения тока i(t) и ЭДС самоиндукции eL(t), постоянную времени τ. Построить диаграммы i(t), eL(t) при переходном режиме. Определить ток катушки в момент времени t1 = 0,1 с после замыкания ключа и скорость нарастания тока в начальный момент.
Ðè ñ . 4 . 1
Ðе ш е н и е . Согласно второму закону Кирхгофа уравнение электрического состояния цепи в послекоммутационном режиме имеет вид
U = Ri + L di . dt
Решение уравнения находим как сумму принужденной (iïð) и свободной (iñâ ) составляющих:
i = iïð + iñâ .
143
Принужденную составляющую определяем из расчета цепи в установившемся режиме, т.е. при t = ∞:
iïð = UR = 6 À,
а свободную составляющую – из общего решения однородного уравнения
0 = Ri + L |
diñâ |
; |
i = Aåpt , |
|
|||
ñâ |
dt |
ñâ |
|
|
|
ãäå p = −RL – показатель затухания (корень характеристического уравнения 0 = R + Lp); τ = −1 p = LR = 0,1с – постоянная времени цепи.
Постоянную интегрирования А находим из начальных условий
ñпомощью первого закона коммутации при t = 0: i(0) = UR + Ae−tτ;
0 = 6 + À; À = – 6.
Таким образом, ток катушки изменяется по закону
i = UR (1 − å−tτ ) = 6(1 − å−t0,1) А. Индуцированная в катушке ЭДС самоиндукции
еL = −L di = −Uå−tτ = −30å−t0,1 Â. dt
Диаграммы i(t) è eL(t) приведены на рис. 4.1, б. В момент времени t1 = 0,1 ñ
i(0,1) = 6(1 − å−1) = 3,8 À.
Скорость нарастания тока в начальный момент
di |
|
|
= |
U |
= 60 À/ñ. |
|
|
|
|
||
dt |
|
t =0 |
|
L |
|
|
Задача 4.2. Öåïü (ðèñ. 4.1, а) подключается к источнику постоянного напряжения U = 30 В. Параметры катушки: R = 5 Îì, L = 0,5 Гн. Определить время, за которое ток в катушке достигнет 95% своего установившегося значения, а также энергию магнитного поля катушки в этот момент.
144
Р е ш е н и е . Выражение для тока цепи в переходном режиме имеет вид
i = 6(1 − å−t0,1) À.
Из этого выражения определяем время t1, за которое ток достигнет 95% установившегося значения:
0,95 6 = 6(1 − å−t10,1)À,
откуда е−t1 0,1 = 0,05 , |
−t |
|
0,1 =ln0,05 = ln5 − ln100 = 1,6 − 4,6 = −3, |
||||||
t1 |
= 0,3 ñ. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3τ, где τ = 0,1 с – постоянная вре- |
||||
|
Обращаем внимание, что t1 |
||||||||
мени. Энергия магнитного поля в этот момент |
|||||||||
|
|
|
|
Li2 |
|
0,5(5,7)2 |
|
||
|
W |
|
= |
|
0,3 |
|
= |
|
= 8,12 Äæ. |
|
t1 =0,3 ñ |
|
2 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4.3. Электромагнит постоянного тока имеет сопротивление R = 11 Ом и индуктивность L = 0,44 Гн. Напряжение источ- ника U = 220 В. Рассчитать сопротив-
ление Rp реостата, шунтирующего обмотку электромагнита (рис. 4.2), при котором напряжение на обмотке в момент отключения электромагнита не превысит утроенного значения напряжения источника.
Р е ш е н и е . Установившееся значе- ние тока электромагнита, включенного
под напряжение, I = UR = 20 А. Электрическое состояние цепи при отклю-
ченном источнике напряжения характеризуется уравнением
0 = (R + R ) i + L |
di |
, |
||
|
||||
|
|
p |
dt |
|
|
|
|
|
|
− |
R+Rp |
t |
|
|
|
|
|
||
решение которого i = Aå |
L . |
|
|
Поскольку ток в индуктивности не изменяется скачком, то в момент размыкания ключа (t = 0) i(0) = 20 = Аå0, значит, А = 20, и ток в переходном режиме
− |
R+Rp |
t |
|
||
i = 20å |
L À. |
145
Напряжение на обмотке электромагнита
− |
R+Rp |
t |
|
uýì = Rp i = 20Rp å |
L |
Â. |
|
|
|
Сопротивление Rp рассчитываем так, чтобы в момент отключе- ния (t = 0) uýì ≤ 3U:
3U ≥ 20 Rpå0; Rp ≤ 66020 = 33 Îì.
Задача 4.4. Обмотка электромагнита имеет сопротивление R = 2 Ом и индуктивность L = 0,5 Гн. Рассчитать, чему должно быть равно сопротивление добавочного резистора Rä, включаемого последовательно с обмоткой, и напряжение сети U, чтобы электро-
магнит срабатывал через промежуток времени tñ |
= 0,1 с после его |
|||||||||||
подключения к источнику. Установившийся ток обмотки IÓ = 5 À. |
||||||||||||
Ток срабатывания электромагнита Iñ = 3,5 À. |
|
|
|
|||||||||
Р е ш е н и е . Ток цепи в любой момент времени определяется |
||||||||||||
выражением |
|
|
i = Ió (1 − å−t τ), |
|
|
|
|
|
||||
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ãäå Ió = |
, τ = |
L |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
R + Rä |
R + Rä |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В момент срабатывания электромагнита |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
01,(2+Rä ) |
|
||
|
|
|
|
−tñ |
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Iñ |
= Ió (1 − å |
); 3,5 = |
0,5 |
|
, |
||||||
|
|
|
5 1 − |
å |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда e–0,2(2+RÄ ) = 0,3; –0,4 – 0,2R |
= ln0,3 = –1,2; |
|
R |
= 4 Îì. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ä |
|
|
|
ä |
Напряжение сети
U = (R + Rä )Ió = 30 Â.
Задача 4.5. Для измерения напряжения на зажимах катушки с |
|||||||
R = 22 Îì è L = 2 Гн включен вольтметр по схеме, приведенной на |
|||||||
|
рис. 4.3. Сопротивление вольтметра RV = |
||||||
|
= 10 кОм, предел измерения 250 В. Можно |
||||||
|
ли отключить катушку от сети напряжением |
||||||
|
U = 220 В, не отсоединяя вольтметр? |
||||||
|
Р е ш е н и е . Ток послекоммутационной |
||||||
|
цепи изменяется по закону |
|
|||||
|
i = |
U |
å |
−t τ |
= 10å |
−t τ |
À, |
|
R |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ð è ñ . 4 . 3 |
ãäå τ = L (R + RV ) ≈ 0,0002 ñ. |
|
146
В момент отключения катушки напряжение на вольтметре (при t = 0)
UV = RVi(0) = 10 000 10 = 100 êÂ,
т.е. в 400 раз превышает допустимое для вольтметра значение, что приведет к повреждению изоляции прибора. Поэтому перед отключением катушки следует отсоединить вольтметр.
Задача 4.6. Найти закон изменения тока i и напряжения uC â
цепи, изображенной рис. 4.4, а, после замыкания ключа, если U = = 220 Â, R = 10 Îì, C = 100 мкФ. Определить постоянную времени τ и время зарядки конденсатора до напряжения 50 В.
Ðè ñ . 4 . 4
Ðе ш е н и е . После коммутации уравнение электрического состояния цепи
U = Ri + uC = RC duC + uC . dt
Решением его является сумма принужденной (uC ïð) и свободной (uC ñâ ) составляющих:
uC = uC ïð + uC ñâ .
Принужденную составляющую находим из расчета цепи в установившемся режиме, т.е. при t = ∞:
uC ïð = U = 220 Â,
147
свободную составляющую – из общего решения однородного уравнения
0 = RC |
duC ñâ |
+ u |
; u |
= Аåpt , |
|
||||
|
dt |
C ñâ |
C ñâ |
|
|
|
|
|
ãäå p = −1 (RC) – показатель затухания (корень характеристиче- ского уравнения 0 = RCp + 1).
Напряжение конденсатора в переходном режиме
uC = U + Аå−t(RC).
Постоянную интегрирования А находим из начальных условий с помощью второго закона коммутации при t = 0:
uC (0) = 0 = U + А,
откуда А = – U. Тогда напряжение на конденсаторе uC = U(1 − å−t(RC)) = 220(1 − å−t0,001) Â,
òîê â öåïè
i = C |
duC |
= |
U |
å−t (RC) = 22å−t 0,001 À. |
dt |
|
|||
|
|
R |
||
Постоянная времени |
|
|
|
τ = −1 p = RC = 10−3 ñ.
Диаграммы uC (t) è i(t) приведены на рис. 4.4, б.
Для определения времени, за которое конденсатор зарядится до напряжения 50 В, воспользуемся общим выражением для uC:
50 = 220(1 − å−t10,001),
откуда:
å−1000t1 = 0,775; − 1000t1 = ln0,775;
t1 = ln7,75 − ln10 = 2,04 − 2,3 = 26 10−5 ñ. −1000 −1000
Задача 4.7. Конденсатор емкостью С = 500 мкФ, заряженный до напряжения источника U, разряжается на резистор сопротивлением R (ðèñ. 4.5, а). При этом за время t1 = 0,035 с напряжение на зажимах конденсатора снижается в 2 раза. Определить сопротив-
148
Ð è ñ . 4 . 5
ление R и постоянную времени τ переходного процесса. Построить
диаграммы uC (t) è i(t) .
Р е ш е н и е . По второму закону Кирхгофа для послекоммутаци-
онной цепи
0 = RC duC + uC . dt
Это уравнение имеет решение uC = uC ñâ = Аåpt , ãäå p = – 1/(RC). Поскольку согласно второму закону коммутации напряжение
на емкости не изменяется скачком, то в момент переключения рубильника (при t = 0) uC (0) = U = Àå0 . Следовательно, А = U, и напряжение при разрядке конденсатора
uC = U å−t(RC).
Решая это уравнение для момента времени t1, определяем сопротивление резистора R:
U |
|
= U å− |
0,035 106 |
|
0,5 = å− |
70 |
|
||||
|
R 500 |
, |
R , |
||||||||
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R = − |
70 |
|
= − |
70 |
= 100 Îì. |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1,6 − 2,3 |
||||||||
|
|
|
ln5 − ln10 |
|
|
|
Постоянная времени τ = RC = 0,05 ñ.
Диаграммы изменения напряжения uC и тока при разрядке конденсатора (рис. 4.5, б) строим по уравнениям:
u = U å−t 0,05 |
Â; i = − C |
duC |
= |
U |
å−t 0,05 À. |
|
|
||||
C |
|
dt |
|
R |
|
|
|
|
149