- •Федеральное агентство по образованию
- •1 Цели и задачи практических занятий по дискретной математике
- •2 Содержание занятий
- •2.1 Практические занятия № 1 – 2. Множества. Операции над множествами. Свойства операций над множествами
- •2.1.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •1) , То есть;
- •2) , То есть.
- •2.1.2 Примеры решения задач
- •2.1.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.2.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.2.2 Примеры решения задач
- •2.2.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.3 Практическое занятие № 8. Соответствия и их свойства
- •2.3.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.3.2 Примеры решения задач
- •2.3.3 Задачи для самостоятельного решения
- •G1 g2
- •2.4 Практическое занятие № 9. Операции и их свойства
- •2.4.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.4.2 Примеры решения задач
- •2.4.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.5 Практическое занятие № 10. Гомоморфизмы
- •2.5.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.5.2 Примеры решения задач
- •2.5.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.6 Практическое занятие № 1112. Алгебры с одной бинарной операцией. Полугруппы. Моноиды. Группы. Подгруппы. Циклические группы. Группа подстановок
- •2.6.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.6.2 Примеры решения задач
- •2.7 Практические занятия № 13 – 15. Алгебры с двумя бинарными операциями. Кольца. Поля. Решетки. Булевы алгебры
- •2.7.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.7.2 Примеры решения задач
- •2.7.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.8 Практические занятия № 16 – 19. Комбинаторика
- •2.8.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.8.2 Примеры решения задач
- •2.8.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.9 Практическое занятие № 20. Контрольная работа
- •2.10 Практические занятия № 21 – 22. Орграфы и бинарные отношения. Связность. Компоненты связности
- •2.10.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.10.2Примеры решения задач
- •2.10.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.11 Практические занятия № 23 – 25. Поиск путей в графах орграфах. Минимальные пути в нагруженных орграфах. Эйлеровы цепи и циклы. Сети и потоки
- •2.11.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.11.2 Примеры решения задач
- •2.11.3 Задачи для самостоятельного решения
- •3 Технические и инструментальные средства
- •4 Порядок проведения занятий
- •Содержание
2.4.2 Примеры решения задач
Задача 1. Какая из функций является операцией на соответствующем множестве? Определить арность операции. Рассмотреть следующие функции:
а) транзитивное замыкание бинарного отношенияR(на множестве бинарных отношений);
б) (на множестве положительных действительных чиселR+; на множестве действительных чиселR; на множестве отрицательных действительных чиселR_ );
в) векторное произведение векторов пространства (на множестве векторов пространства);
г) скалярное произведение векторов пространства (на множестве векторов пространства).
Решение. а) транзитивное замыканиебинарного отношенияRявляется унарной операцией на множестве бинарных отношений, поскольку любому бинарному отношению ставит в соответствие бинарное отношение;
б) функция является унарной операцией на множествах положительных действительных чиселR+и действительных чиселR, так как любому положительному действительному числу ставит в соответствие также положительное действительное число, а любому действительному числу ставит в соответствие действительное число. Вместе с тем, функцияне замыкает множество отрицательных действительных чиселR,поскольку любому отрицательному действительному числу ставит в соответствие положительное действительное число, не принадлежащее множествуR -;
в) векторное произведение векторов является бинарной операцией на множестве векторов пространства. В самом деле, векторным произведением двух произвольных векторов также является вектор;
г) скалярное произведение векторов пространства не замыкает множество векторов, поскольку двум произвольным векторам пространства ставит в соответствие число, а не вектор.
Задача 2. Проиллюстрировать на примере некоммутативность операций: а) композиции преобразований типаконечного множества А; б) композиции элементарных функций.
Решение. а) Проиллюстрируем некоммутативность операции преобразования конечного множества на примере задачи 2 из пункта 2.3.2. В самом деле, для преобразований множества:
;
композициями являются преобразования
;.
Очевидно, что .
б) Рассмотрим функции и. Пусть обе функции имеют типR→R. Тогда их композиции возможны в любом порядке.
Композиция функций представляет собой подстановку функцииfв функциюg, т.е..
Композиция есть функция, полученная подстановкой функцииgв функциюf, т.е..
Таким образом, , а композиция функций – некоммутативная операция.
Задача 3. Доказать, что бинарная логическая операция «штрих Шеффера» не обладает свойством:
а) ассоциативности;
б) идемпотентности.
Решение.а) Логическая операция «штрих Шеффера» определяется следующей таблицей истинности (таблица 2).
Таблица 2 – Таблица истинности операции «штрих Шеффера»
-
х
у
х|y
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Докажем, что не выполняется равенство . С этой целью сравним таблицы истинности формули(таблица 3):
Таблица 3 – Таблица истинности формули
х |
у |
z |
|
|
х|y |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Результаты, полученные в пятом и седьмом столбцах (выделены жирным шрифтом) предыдущей таблицы, не совпадают, следовательно, .
Тем самым, доказано, что «штрих Шеффера» не является ассоциативной бинарной операцией.
б) «Штрих Шеффера» не обладает свойством идемпотентности. В этом легко убедиться, сравнивая таблицы истинности логических формул и х:
-
х
х|х
0
1
1
0
В самом деле, х|хх.