- •Федеральное агентство по образованию
- •1 Цели и задачи практических занятий по дискретной математике
- •2 Содержание занятий
- •2.1 Практические занятия № 1 – 2. Множества. Операции над множествами. Свойства операций над множествами
- •2.1.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •1) , То есть;
- •2) , То есть.
- •2.1.2 Примеры решения задач
- •2.1.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.2.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.2.2 Примеры решения задач
- •2.2.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.3 Практическое занятие № 8. Соответствия и их свойства
- •2.3.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.3.2 Примеры решения задач
- •2.3.3 Задачи для самостоятельного решения
- •G1 g2
- •2.4 Практическое занятие № 9. Операции и их свойства
- •2.4.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.4.2 Примеры решения задач
- •2.4.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.5 Практическое занятие № 10. Гомоморфизмы
- •2.5.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.5.2 Примеры решения задач
- •2.5.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.6 Практическое занятие № 1112. Алгебры с одной бинарной операцией. Полугруппы. Моноиды. Группы. Подгруппы. Циклические группы. Группа подстановок
- •2.6.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.6.2 Примеры решения задач
- •2.7 Практические занятия № 13 – 15. Алгебры с двумя бинарными операциями. Кольца. Поля. Решетки. Булевы алгебры
- •2.7.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.7.2 Примеры решения задач
- •2.7.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.8 Практические занятия № 16 – 19. Комбинаторика
- •2.8.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.8.2 Примеры решения задач
- •2.8.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.9 Практическое занятие № 20. Контрольная работа
- •2.10 Практические занятия № 21 – 22. Орграфы и бинарные отношения. Связность. Компоненты связности
- •2.10.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.10.2Примеры решения задач
- •2.10.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.11 Практические занятия № 23 – 25. Поиск путей в графах орграфах. Минимальные пути в нагруженных орграфах. Эйлеровы цепи и циклы. Сети и потоки
- •2.11.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.11.2 Примеры решения задач
- •2.11.3 Задачи для самостоятельного решения
- •3 Технические и инструментальные средства
- •4 Порядок проведения занятий
- •Содержание
2.7 Практические занятия № 13 – 15. Алгебры с двумя бинарными операциями. Кольца. Поля. Решетки. Булевы алгебры
2.7.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
Алгебра называетсякольцом, если выполняются следующие условия:
1) – абелева группа;
2) – полугруппа;
3) операция дистрибутивна справа и слева относительно операции.
Кольцо называетсякоммутативным, если–коммутативная операция.
Если в кольце есть единица, т.е., тоназываетсякольцом с единицей.
Алгебра называетсяполем, если выполняются следующие условия:
1) –абелева группа;
2) –абелева группа, в которой обратим каждый ненулевой элемент;
3) операция дистрибутивна относительно операции.
2.7.2 Примеры решения задач
Задача 1. Доказать, что все обратимые элементы кольца <К, +, ∙> с единицей образуют группу относительно умножения.
Решение.Умножение во множестве К ассоциативно, единица содержится во множестве обратимых элементов (в самом деле, единица себе обратна), и произведение не выводит из множества обратимых элементов, так как если элементыaиbобратимы то. Тем самым, в кольце для обратимых элементов выполняются все аксиомы группы относительно умножения.
Задача 2. Доказать, что алгебра, называемая двоичной арифметикой, является полем. Здесь- сложение по модулю 2 и· - конъюнкция.
Решение. Очевидно, что сложение по модулю 2 и конъюнкция замыкают бинарное множество {0, 1}.
В курсе математической логики доказано, что конъюнкция и сложение по модулю 2 – коммутативные, ассоциативные операции, эти факты подтверждаются следующими равносильными формулами алгебры логики:
;
;
;
.
Также ранее было доказано, что конъюнкция дистрибутивна относительно сложения по модулю 2, т.е.
.
Нейтральным элементом относительно операции является 0. В самом деле,. Аналогично, нейтральным элементом для операции конъюнкция является 1, так как.
Найдем симметричные для 0 и 1 элементы относительно операции и симметричный 1 элемент относительно операции конъюнкция:
, так как;
, так как;
, так как.
Обратим внимание на то, что симметричный 0 элемент относительно операции конъюнкция искать не нужно, так как 0 является нейтральным элементом относительно операции .
Таким образом, все аксиомы поля выполняются, а алгебра образует поле.
2.7.3 Задачи для самостоятельного решения
Доказать, что матрицы вида с действительными коэффициентамиa, bобразуют кольцо относительно операций «сложение» и «умножение» матриц.
Образует ли поле относительно операций «сложение» и «умножение» множество матриц вида :
а) с рациональными коэффициентами;
б) с действительными коэффициентами?
Образует ли булеан коммутативное кольцо относительно операций «объединение» и «пересечение» множеств?
Образует ли булеан поле относительно операций «симметрическая разность» и «пересечение» множеств?
Образуют ли поле относительно операций сложения и умножения комплексные числа a+bi:
а) с целыми а иb;
б) с рациональными а иb;
в) с действительными а иb?
Образует ли множество {a, b} поле относительно операций * и, заданных таблицами Кэли:
* |
a |
b |
a |
a |
b |
b |
b |
a |
|
a |
b |
a |
a |
a |
b |
a |
b |
Пусть –множество простых чисел, не превосходящихp, а- множество произведений различных чисел из. Доказать, что <P; НОД, НОК, ДОП>–булева алгебра, где НОД – наибольший общий делитель, НОК – наименьшее общее кратное, ДОП(n)=.
Проиллюстрировать изоморфизм между булевыми алгебрами множеств и логических функцийдля.
Выполнить булевы операции над логическими функциями трех переменных f1 и f2, используя изоморфизм булевых алгебр логических функций и двоичных векторов, если:
а) f1 и f2 определены таблицами истинности
xyz |
f1 |
f2 |
000 |
0 |
0 |
001 |
0 |
0 |
010 |
0 |
1 |
011 |
1 |
1 |
100 |
1 |
0 |
101 |
0 |
1 |
110 |
1 |
1 |
111 |
1 |
1 |
б) f1 и f2 определены своими СДНФ:,.