- •Федеральное агентство по образованию
- •1 Цели и задачи практических занятий по дискретной математике
- •2 Содержание занятий
- •2.1 Практические занятия № 1 – 2. Множества. Операции над множествами. Свойства операций над множествами
- •2.1.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •1) , То есть;
- •2) , То есть.
- •2.1.2 Примеры решения задач
- •2.1.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.2.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.2.2 Примеры решения задач
- •2.2.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.3 Практическое занятие № 8. Соответствия и их свойства
- •2.3.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.3.2 Примеры решения задач
- •2.3.3 Задачи для самостоятельного решения
- •G1 g2
- •2.4 Практическое занятие № 9. Операции и их свойства
- •2.4.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.4.2 Примеры решения задач
- •2.4.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.5 Практическое занятие № 10. Гомоморфизмы
- •2.5.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.5.2 Примеры решения задач
- •2.5.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.6 Практическое занятие № 1112. Алгебры с одной бинарной операцией. Полугруппы. Моноиды. Группы. Подгруппы. Циклические группы. Группа подстановок
- •2.6.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.6.2 Примеры решения задач
- •2.7 Практические занятия № 13 – 15. Алгебры с двумя бинарными операциями. Кольца. Поля. Решетки. Булевы алгебры
- •2.7.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.7.2 Примеры решения задач
- •2.7.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.8 Практические занятия № 16 – 19. Комбинаторика
- •2.8.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.8.2 Примеры решения задач
- •2.8.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.9 Практическое занятие № 20. Контрольная работа
- •2.10 Практические занятия № 21 – 22. Орграфы и бинарные отношения. Связность. Компоненты связности
- •2.10.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.10.2Примеры решения задач
- •2.10.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2.11 Практические занятия № 23 – 25. Поиск путей в графах орграфах. Минимальные пути в нагруженных орграфах. Эйлеровы цепи и циклы. Сети и потоки
- •2.11.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
- •2.11.2 Примеры решения задач
- •2.11.3 Задачи для самостоятельного решения
- •3 Технические и инструментальные средства
- •4 Порядок проведения занятий
- •Содержание
2 Содержание занятий
Ниже в таблице 1 представлены темы практических занятий по дисциплине «Дискретная математика».
Таблица 1 - Темы практических занятий по дисциплине «Дискретная математика»
№ темы |
№ занятия |
Тема занятия |
Объем, ч |
1 |
1 |
Множества. Операции над множествами |
2 |
2 |
2 |
Свойства операций над множествами |
2 |
3 |
3, 4 |
Бинарные отношения. Способы задания бинарных отношений. Операции над бинарными отношениями |
4 |
4 |
5 |
Свойства бинарных отношений |
2 |
5 |
6, 7 |
Замыкания бинарных отношений. Отношение эквивалентности. Отношение порядка |
4 |
6 |
8 |
Соответствия и их свойства |
2 |
7 |
9 |
Операции и их свойства |
2 |
8 |
10 |
Гомоморфизмы |
2 |
9 |
11 |
Алгебры с одной бинарной операцией. Полугруппы. Моноиды. Группы |
2 |
10 |
12 |
Подгруппы. Циклические группы. Группа подстановок |
2 |
11 |
13-15 |
Алгебры с двумя бинарными операциями. Кольца. Поля. Решетки. Булевы алгебры |
64 |
12 |
16-19 |
Комбинаторика |
8 |
13 |
20 |
Контрольная работа |
2 |
14 |
21,22 |
Орграфы и бинарные отношения. Связность. Компоненты связности |
4 |
15 |
23-25 |
Минимальные пути в нагруженных орграфах. Эйлеровы цепи и циклы. Сети и потоки |
6 |
2.1 Практические занятия № 1 – 2. Множества. Операции над множествами. Свойства операций над множествами
2.1.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
Интуитивное определение множества: множество - это любая определенная совокупность объектов, которые называются элементами множества.
Элементы множества различны и отличимы друг от друга.
Приняты следующие обозначения. Если a - элемент множества А, то пишут: аА. В противном случае: аА или аА.
Интуитивный принцип объемности: два множества А и В равны, если они содержат одни и те же элементы: А=В.
Множество А всех элементов, обладающих свойством Н(x), обозначается А=.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается знаком .
Множество А называется подмножеством множества В (), если любой элемент множества А является также и элементом множества В.
Два множества равны тогда и только тогда, когда каждое из них является подмножеством другого, т.е. тогда и только тогда, когда.
На утверждении, сформулированном выше, основан метод доказательства равенства двух множеств. Для того, чтобы доказать, что множества А и В равны, необходимо доказать два факта:
1) , То есть;
2) , То есть.
Мощностью конечного множестваМназывается численность его элементов. Два конечных множестваАиВназываются равномощными, если.
Множество всех подмножеств данного множества Мназываетсябулеаном.
Для конечного множества Мсправедлив следующий факт:, где.
Объединением множеств А и Вназывается множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множествАилиВ, т.е..
Пересечением множеств А и Вназывается множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множествуАи множествуВ, т.е..
Разностью множеств А и Вназывается множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествуА, но не принадлежат множествуВ, т.е..
Симметрическая разность А+В множеств А и В определяется равенством А+В=(А\В)(В\А).
Если все рассматриваемые в ходе данного рассуждения множества являются элементами некоторого множества U, то множество U называется универсальным для данного рассуждения или универсумом.
Дополнением множестваАназывается множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые не принадлежат множеству А, т.е..
Для более наглядного представления операций над множествами и их свойств применяют диаграммы Эйлера–Венна (рисунок 1). Каждое множество представляется множеством точек на плоскости.
\
Рисунок 1 – Диаграммы Эйлера–Венна
Свойства операций над множествами:
1) Коммутативность объединения |
1`) Коммутативность пересечения |
; |
; |
; |
2`) Ассоциативность пересечения; |
3) Дистрибутивность объединения относительно пересечения ; |
3`) Дистрибутивность пересечения относительно объединения ; |
; |
4`) Идемпотентность пересечения ; |
5) Свойства нуля ; |
; |
6) Свойства единицы ; |
; |
7) Свойства дополнения ; |
; |
8) Первый закон де Моргана ; |
8`) Второй закон де Моргана ; |
9) Первый закон поглощения |
9`) Второй закон поглощения ; |
10) Инволютивность ; |
|
11) Выражение для разности ; |
|
12) Выражение для дополнения . |
|
Приняты следующие обозначения для числовых множеств:
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
R – множество действительных чисел;
Q – множество рациональных чисел;
С – множество комплексных чисел.