2.11 Практические занятия № 23 – 25. Поиск путей в графах орграфах. Минимальные пути в нагруженных орграфах. Эйлеровы цепи и циклы. Сети и потоки

2.11.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Эйлеров цикл – цикл графа, проходящий все его ребра.

Эйлерова цепь – цепь графа, проходящая через все его ребра.

Эйлеров граф – граф, имеющий эйлеров цикл.

Теорема Эйлера (необходимое и достаточное условия существования эйлерова цикла): мультиграф является эйлеровым тогда и только тогда, когда он связан и степени всех его вершин четны.

Необходимое и достаточное условия существования эйлеровой цепи: мультиграф обладает эйлеровой цепью тогда и только тогда, когда он связен и число вершин нечетной степени равно 0 или 2.

Гамильтонов цикл – простой цикл, проходящий через все вершины графа.

Гамильтонова цепь – простая цепь, проходящая через все вершины графа.

Орграф G(V,X) называетсявзвешенным, если каждой дуге(v`,v``)поставлено в соответствие некоторое действительное числоc(v`,v``)–вес дуги(v`,v``).

Весом маршрута v₁,v₂, …,v_n, v_n+1 называется числоc=.

Алгоритм Форда-Беллманапозволяет определить кратчайшее расстояние от фиксированной вершиныv₁ орграфаG, называемойисточником, до любой другой вершины этого графаv_i1 и выглядит следующим образом.

1). Определяются значения (i=1, …,n,k=1, 2, …,n-1) – длин минимальных путей из вершиныv₁в вершиныv_iпо формулам:

, , где i=2, …, n; (1)

при i=2, …, n, k0 ; (2)

при i=1, k0. (3)

2). Если , то вершинаv_i1 не достижима из v₁. В этом случае работа алгоритма заканчивается.

3). Если , тогда числовыражает длину любого минимального пути изv₁вv_i1 в нагруженном орграфеG.

4). Определяется минимальное значение k₁, при котором выполняется равенство, здесьk₁1,k₁– минимальное число дуг в пути среди всех минимальных путей изv₁вv_i1 в нагруженном орграфеG.

5). Последовательно определяются номера i₂, …,i_k1+1такие, что выполняются равенства

;; ….

6). - искомый минимальный путь из вершиныv₁вv_i1 во взвешенном орграфеG.

Сетьюназывается орграфG(V,X)cмножеством вершинV= {v₁,v₂, …,v_n}, для которого выполняются условия:

а) существует одна и только одна вершина v₁, называемаяисточником, в которую не заходит ни одна дуга;

б) существует одна и только одна вершина v_n, называемаястоком, из которой не исходит ни одна дуга;

в) каждой дуге хпоставлено в соответствие целое неотрицательное числос(х), называемоепропускной способностьюдуги.

Вершины сети, отличные от источника и стока, называются промежуточными.

Потокомв сетиGназывается целочисленная функция, определенная на множестве Х дуг сетиGи удовлетворяющая условиям:

а) для любой дуги х величина , называемаяпотоком по дуге х, удовлетворяет условию;

б) для любой промежуточной вершины v сумма потоков по дугам, заходящим вv, равна сумме потоков по дугам, исходящим изv.

Величиной потокав сетиGназывается сумма потоков по дугам, исходящим из источника (сумма потоков по дугам, заходящим в сток).

Насыщенной дугойназывается дугах, для которой выполняется условие:.

Поток называется полным,если любой путь в сетьGиз источникаv₁в стокv_nсодержит по крайней мере одну насыщенную дугу.

Поток в сети Gназываетсямаксимальным, если его величина принимает максимальное значение по сравнению с другими допустимыми потоками в сетиG.

Орграфом приращений сети G при потоке  называется нагруженный орграфI(G, )такой, что любой дугехсетиGвI(G, ) соответствуют две дугихих’(х’– дуга, противоположная по направлению дугех), а длина дугхих’определяется из условий:

Критерием максимума потока является отсутствие в орграфе приращений путей, ведущих из источника в сток, имеющих длину, равную нулю.