2.1.2 Примеры решения задач

Задача 1.Доказать и проиллюстрировать на примере множеств,,тождество алгебры множеств, выражающее закон ассоциативности операции пересечения множеств.

Решение. Для доказательства тождествадокажем два включения:и.

1. Пусть , тогда последовательно получаем

следовательно, ;

2. аналогично доказывается второе включение: пусть , тогда

Окончательно получаем, что .

Тем самым тождество доказано.

Убедимся в верности равенства на примере данных множеств А, В, С. Вычислим:,;,. Очевидно, что.

Задача 2.Изобразить на координатной плоскости множества A и В точек координатной плоскости, удовлетворяющих соответственно соотношениямx²+y²≤1 иx²+(y-1)²≤1. Какие фигуры изображают множества AB,?

Решение. Оба множества представляют собой на плоскости круги с радиусамиR= 1, при этом центр первого круга находится в точке с координатами (0, 0), а второй – (0, -1). Фигуры, изображающие множества А, В, AB,, представлены на рисунке 2 (закрашены темным цветом).

А В AB

Рисунок 2 – Решение задачи 2 (2.1.2)

Задача 3.Доказать, что эквивалентны три предложения о произвольных множествах А, В и С: 1); 2); 3).

Решение. Докажем, что из первого предложения следует второе. Действительно, так как, то осталось показать, что. Но если, то. В самом деле,. Следовательно,.

Докажем, что из второго предложения следует третье. Так как , то. По закону поглощения. Отсюда по закону коммутативности получаем.

Докажем теперь, что из третьего предложения следует первое. Так как , а по условию третьего предложения, то.

2.1.3 Задачи для самостоятельного решения

1. Какие из приведенных определений множеств являются корректными: ;;;. Принадлежит ли число 1 множествуD?

2. Даны множества Х ={l, 2, 3, 4, 5}, Y = {2, 4, 6, 7}. НайдитеXY,X∩Y,X\Y,Y\Х.

3. Проиллюстрируйте графически тождества

X(YZ)=(XY)(XZ) ,

X(YZ)=(XY)(XZ) .

4. Пусть R – множество вещественных чисел, X={x: хR; 0 ≤x≤1},Y={y: уR; 0 ≤y≤2}. Что представляют собой множестваXY,XY,X\Y?

5. Задать различными способами множество N:а) характеристическим свойством; б) порождающей процедурой.

6. Задать различными способами множество всех положительных четных чисел 2, 4, 6, …, не превосходящих 100: а) характеристическим свойством; б) порождающей процедурой.

7. Доказать, что множество Аположительных четных чисел равно множествуВположительных целых чисел, представленных в виде суммы двух положительных нечетных чисел.

8. ;;;. Найти;;.

9. A={1, 2, 3, 4, 5, 6},B={1, 2, 3},C={3, 5, 6, 7, 8}. Найти,,.

10. Представить множество диаграммой Эйлера-Венна.

11. Проиллюстрировать графически тождества ,.

12. Проиллюстрировать на конкретных примерах, с помощью диаграмм и доказать следующие тождества: а) дистрибутивность пересечения относительно объединения, б) первый закон де Моргана.

13. Доказать .

14. А, ВиС– некоторые множества. Какие из утверждений верны для всех множествА, ВиС:

а) еслии, то;

б) если и, тоØ;

в) если А≠В и В≠С, то А≠С;

г) еслии, то В = Ø?

15. Существуют ли такие множества А, ВиС, чтоØ;Ø;Ø.

16. Даны произвольные множества А, Втакие, что. Что представляют собойи.

17. Даны произвольные множества C, Dтакие, что. Что представляют собойи.

18. Даны множества А,В иСтакие, чтои,,. Доказать, что,,.

19. Доказать, что для произвольных множеств А, Вимеет место соотношениетогда и только тогда, когда.

20. Доказать тождества:

а);

б) ;

в) ;

г);

д) ;

е) ;

ж) ;

з) .

16. Даны множества А,ВиСтакие, что. Доказать, что:

а) ;

б) ;

в) .

17. Пусть универсум U– конечный, и число элементов в нем не превосходит размерности ЭВМ. Пронумеруем элементыU:. ПустьА– подмножествоU, представимАмашинным словомС,в которомi-ый символопределяется из условия:

Аналогично можно представить любое другое подмножество U. Найти объединение, пересечение и дополнение множеств, представленных машинными словами. Проиллюстрировать на примере.

18. Решить систему уравнений

при условии, что .

2.2 Практические занятия № 3 – 7. Бинарные отношения. Способы задания бинарных отношений. Операции над бинарными отношениями. Свойства бинарных отношений. Замыкания бинарных отношений. Отношение эквивалентности. Отношение порядка