1.1 Нормальний розподіл сили тяжіння Землі та її потенціалу.

Геогустинна модель земної кори

Моделі фігури Землі. У першому наближенні реальна форма Землі може бути описана еліпсоїдом обертання (сфероїдом, рис 1.1). Екваторіальний радіус земного еліпсоїда а_е = 6.37816010⁶ м, полярний радіус а_п = 6.35677810⁶ м, радіус рівновеликої кулі а = 6.37102310⁶ м. Стиснення земного еліпсоїда  = (а_е–а_п)/а_е = 0.00335292 = 1/298.247. Кутова швидкість =7.29211510^-5 рад/с. Об’єм Землі =1.083210²¹ м³. Маса Землі М=5.97310²⁴ кг. Середня густина Землі  =5.51510³ кг.

Z



Пн

P

а_п r



а_е х

Пд

Рисунок 1.1 – Земний сфероїд

Рівняння земного еліпсоїда:

, (1.4)

де r і  – полярні координати точок еліпсоїда.

Зв’язок між геоцентричною  та географічною  широтами наступний:

, (1.5)

тоді рівняння сфероїду (1.4):

. (1.6)

Міжнародною Геодезичною Асоціацією у 1924р. були прийняті стандарти до еліпсоїду:

стиснення –  = 1/297;

радіус (в метрах) –

. (1.7)

Рапп (Rapp, 1974р.) за результатами пізніших геодезичних вимірів отримав уточнені значення параметрів земного еліпсоїда:

 = 1/298.256;

. (1.8)

Стиснення земного сфероїду з точністю до членів другого порядку визначають за рівнянням:

, (1.9)

де J₂  0.0010827 – коефіцієнт, який залежить від розподілу мас в сфероїді;

  0.0033528  1/298.256;

p = ²а_е/g_е  0.0034678;

²а_е – відцентрова сила на екваторі;

g_е – сила тяжіння на екваторі.

Відстань між кутовими координатами на поверхні Землі на середніх широтах наступна: довгота – 1⁰  75500 м; широта – 1⁰  111500 м

Геопотенціал.З задовільним наближенням гравітаційний потенціал сфероїда на його поверхні описується формулою Мак-Кулло (Mac Cullagh):

, (1.10)

де f=6.67310^-11 м³/(кгс²) – гравітаційна стала;

fM = 3.9860110¹⁴ м³/с²;

С = 0.33076M(a_е)² – момент інерції Землі відносно полярної вісі Z;

А і В – моменти відносно екваторіальних вісей X і Y;

для сфероїду AB = 0.32968M(a_е)²;

I - момент інерції відносно вісі , що проходить через точку Р, розташованій на поверхні земного сфероїду.

З урахуванням обертання земного сфероїда та визначення моменту I:

(1.11)

Середнє значення потенціалу на геоїді: V 6.263710⁷ м²/с².

Нормальний розподіл сили тяжіння (прискорення вільного падіння) у точці, що розташована на сфероїді, можна отримати шляхом диференціювання потенціалу по напрямку дії сили, наразі по напрямку радіуса-вектора r.

Нормальне поле сили тяжіння вздовж поверхні земного еліпсоїда визначається формулою Клеро:

, (1.12)

де ,;

g_п – сила тяжіння на полюсі.

Наведемо ряд формул визначення нормального розподілу поля сили тяжіння (в м/с²).

Формула Кассініса, (1930р,   1/297):

(1.13)

Формула міжнародної геодезичної асоціації (1967р,   1/298.247):

(1.14)

Формула Раппа (1974р.):

(1.15)

Світовий опорний гравіметричний пункт знаходиться в Потсдамі, де абсолютне значення прискорення вільного падіння становить 9.81260 м/с² (у 1906 році було 9.81274 м/с²).

Нормальне значення сили тяжіння:

– на екваторі g_е = 9.7803169 м/с²;

– на полюсі g_п = 9.8324157 м/с².

Середні значення прискорення вільного падіння всередині Землі наведені в таблиці 1.1.

Густина основних шарів Землінаведена в таблиці 1.2.

Таблиця 1.1–Розподіл прискорення вільногопадіння

всередині Землі

Інтервал глибин, 103 м	0	33-413	413-984	984-2000	2000-2898
Інтервал значень g, м/с2	9.822	9.846-9.960	9.960-9.966	9.966-10.01	10.01-10.73

Інтервал глибин, 103 м	2898-4000	4000-4980	4980-5120	5120-6371
Інтервал значень g, м/с2	10.73-7.87	7.87-4.78	4.78-4.31	4.31-0.

Таблиця 1.2–Параметри моделі будови Землі

Зона	Інтервал глибин, 103 м	Щільність, 103 кг/м3	Тиск, 1011 Н/м2
Кора А	0 – 33	2.84	0 – 0.009
Верхня мантія В	33 – 413	3.32 – 3.64	0.009 – 0.141
Верхня мантія С	413 – 984	3.64 – 4.55	0.141 – 0.379
Нижня мантія D	984 – 2900	4.55 – 5.11	0.379 – 0.870
Зовнішнє ядро Е	2900 – 4000	9.98 – 11.42	1.360 – 2.470
	4000 – 4980	11.42 – 12.17	2.470 – 3.200
Перехідний шар F	4980 – 5120	12.17 – 12.25	3.200 – 3.280
Внутрішнє ядро G	5120 – 6371	12.25 – 12.51	3.280 – 3.610

Середнє значення густини порід осадового комплексу Землі складає 2.3010³ кг/м³.

Густина верхньої частини кристалічного фундаменту. Густина порід, які виходять на поверхню кристалічної основи щитів та масивів, коливається в межах 2.403.4010³ кг/м³, а найчастіше – 2.602.9010³ кг/м³. За даними Н.Б.Дортман середнє значення густини порід Балтійського та Алданського щитів дорівнює 2.7210³ кг/м³. За даними Г.Я.Голіздри середнє значення густини порід Українського щита – 2.6910³ кг/м³. Середнє значення густини порід фундаменту Північної Америки – 2.7410³ кг/м³ (Дж.Буллард).

Прямі дані (буріння), отримані на щитах і кристалічних масивах, можна поширювати й на фундаменти платформ з поправками на зміну тиску і температур (Pt–умов).

Відомий зв’язок між густиною порід  і швидкістю поширення в них пружних хвиль V_p найчастіше описують лінійним рівнянням:

. (1.16)

Цю залежність вперше запропонували М.М.Пузирьов і Ф.Берч.

У таблиці 1.3 наведені значення коефіцієнтів рівняння регресії (1.16) в залежності від тиску (С.С. Красовській).

Таблиця 1.3–Коефіцієнти регресії

Глибини, 103 м	5	15	25	40
Тиск, Мпа	100	400	1000	1500
a	0.8109	0.7666	0.7212	0.6996
b	0.3209	0.3209	0.3209	0.3209

Середнє значення a  0.7269.

Рівняння регресії В.В.Гордієнко враховує блокову будову земної кори:

, (1.17)

де _z і V_pz – значення густини і швидкості на глибинах z;

₀ і V_p0 – значення густини і швидкості на поверхні фундаменту (блоку);

k – коефіцієнт пропорційності.

В межах Східно-Європейської платформи середнє значення вертикального градієнта густини: _z  0.0110³ кг/м³ на 10³ м заглиблення.

У тришаровій сейсмічній моделі земної кори прийнято:

– для першого шару _z  0.010.0210³ кг/м³;

– для другого _z  0.0110³ кг/м³;

– для третього _z  0.016-0.02210³ кг/м³.

За К.Е.Булленом у межах верхньої мантії вертикальний градієнт густини становить 0.000810³ кг/м³.

В моделях, які враховують вертикальний градієнт густини, на контакті кора-мантія контраст густини становить не більше 0.0210³ кг/м³ (К.Ф.Тяпкін).

Значення густини деяких гірських порід наведені в таблиці 1.4.

Таблиця 1.4–Значення густини і намагніченості

гірських порід

Породи	Намагніченість, А/м	Густина, 103 кг/м3
Осадові: Глина Пісковик Вапняк Крейда Доломіт Кам’яна сіль	0.00-0.20 0.00-0.20 0.00-0.02 0.00-0.02 0.00-0.01 0.00-0.01	1.63-2.60 2.05-2.55 2.60-2.80 1.94-2.23 2.28-2.90 2.10-2.40
Магматичні: Граніт Гранодіорит Базальт Габро	0.00-0.75 0.01-2.00 0.40-2.40 0.00-2.00	2.52-2.75 2.67-2.79 2.70-3.20 2.85-3.12
Метаморфічні: Гнейс Кварцит Амфіболіт	0.30-1.50 0.01-1.50 0.01-2.50	2.61-2.99 2.60-2.70 2.79-3.14

Запитання для самоперевірки

1) Зв’язок між силою тяжіння та геопотенціалом.

2) Середні значення радіусу, густини і кутової швидкості Землі.

3) Причини та характер зміни сили тяжіння і геопотенціалу по поверхні земного сфероїда.

4) Зміна коефіцієнтів регресії _p = (V_p) з глибиною.

5) Густина основних шарів Землі та типів гірських порід.

6) Моделі нормальної фігури Землі.

7) Особливості формули регресії за В.В.Гордієнко.

8) Зміна сили тяжіння з глибиною.

9) Висновки про розбіжність між формулами 1930р. і 1974р., за якими розраховуються значення сили тяжіння.

Література

1. Тяпкін К.Ф. Фізика Землі: Підручник. – К.: Вища шк., 1998. – 291с.

2. Делинджер П. Морская гравиметрия. Пер. с англ. – М., Недра, 1982. – 312с.

3. Веселов К.Е., Сагитов М.У. Гравиметрическая разведка. – М.: Недра, 1968, – 512с.