Начертательная геометрия

П. Е. Наук, А. Н. Богданова

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

Учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"ТЮМЕНСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙУНИВЕРСИТЕТ"

П. Е. НАУК, А. Н. БОГДАНОВА

Начертательная

геометрия

Учебное пособие

Тюмень 2009

УДК 514.18

Наук, П.Е. Богданова А.Н. Начертательная геометрия: учебное пособие. – 2 – е изд./ П.Е. Наук, А.Н. Богданова. – Тюмень: ТюмГНГУ, 2009. - 128 с.

Учебно е по собие предназначено для обучения студентов по разделу «Начертательная геометрия» в программе дисциплины «Начертательная геометрия. Инженерная графика». Учебный материал состоит из шести образовательных модулей, которые составлены в соответствии с государственными образовательными стандартами специальностей.

Каждый образовательный модуль включает дидактическую цель и задачи, теоретический материал, вопросы для самоконтроля и задачи для индивидуальной работы с подробным разбором одной типовой задачи по рассматриваемой теме, тесты модульного контроля знаний студента. В зависимости от выбранной специальности возможно варьирование набором образовательных модулей.

В пособии широко используются поясняющие трехмерные графические модели для интенсификации обучения за счет повышения степени визуализации учебнопрактического материала.

По аналогии с типовыми тестами модульного контроля знаний студентов отдельно от пособия разработано приложение с тестами итогового контроля знаний студентов.

Аттестация уровня образования каждого студента по разделу «Начертательная геометрия» производится на основе тестов итогового контроля. Время проведения тестирования 20 минут. К итоговому тестированию допускаются студенты, выполнившие все задачи для индивидуальной работы, представленные по соответствующим темам.

Для удобства работы с пособием приведен словарь терминов, описание условных знаков.

Для всех студентов, в учебные планы которых входит данная дисциплина.

Рецензенты: Ю.И. Некрасов, кандидат технических наук, профессор Тюменского государственного нефтегазового университета;

Е.В.Варнакова, кандидат технических наук, доцент Тюменского юридического института МВД РФ

Пр и н я т ы е о б о з н а ч е н и я

1.Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, D, . . .

или арабскими цифрами: 1, 2, 3, . . . ; центр проецирования обозначается буквой S.

2.Прямые и кривые линии, произвольно расположенные относительно плоскостей проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита: а, b, c, d, . . .

Линии, занимающие особое положение, обозначаются: h – горизонтальная прямая уровня (горизонталь);

f – фронтальная прямая уровня (фронталь); p – профильная прямая уровня;

х – ось абсцисс; у – ось ординат; z – ось аппликат;

s – направление параллельного проецирования.

Для линий применяются также следующие обозначения: АВ – прямая, определяемая точками А и В; [АВ] – отрезок прямой, ограниченный точками А и В; | АВ | – натуральная величина отрезка [АВ];

ех, еу, еz или е при ех = еу = еz – единичные (масштабные) отрезки.

3.Поверхности обозначаются прописными буквами греческого алфавита: Г – гамма,

– дельта, – тета, – ламбда, – кси, – пи, – сигма, Ф – фи, – пси, – омега.

Для указания способа задания поверхности рядом с их буквенными обозначениями в круглых скобках пишутся обозначения задающих их элементов: Г(А, В, С); (а, М);

Ф (j, l) . . .

Плоскости проекций обозначаются буквой П с добавлением нижнего или верхнего индекса:

П1 – горизонтальная плоскость проекций; П2 – фронтальная плоскость проекций; П3 – профильная плоскость проекций;

Пa – аксонометрическая плоскость проекций.

4. Углы обозначаются строчными буквами греческого алфавита: Применяются также следующие обозначения:

АВС – угол с вершиной в точке В;

а, Г – угол между прямой а и плоскостью Г.

5. Проекции точек, линий, вырожденные проекции плоскостей и цилиндрических поверхностей обозначаются теми же буквами или цифрами, что и сами точки, линии и

А1, В1, . . . ; а1, b1, . . . ; Г1, Ф1, . . . – горизонтальные проекции; А2, В2, . . . ; а2, b2, . . . ; Г2, Ф2, . . . – фронтальные проекции;

A3, B3, . . . ; a3, b3, . . . ; Г3, Ф3, . . . – профильные проекции;

Аa, Ba, . . . ; aa, ba, . . . ; Гa, Фa, . . . – аксонометрические проекции. 6. Также используются следующие символы:

– принадлежно сть точки (элемента множества) геометрической фигуре (множеству): А m, В Ф;

3

– принадлежность (включение) геометрической фигуры (подмножества) данной фигуре (множеству): m Г; t ;

– объединение множеств: [АВ] [ВС] – ломаная АВС;– пересечение множеств: а Г, Ф ;

- прямой угол (90°).

Если символы перечеркнуты наклонной чертой, то это означает наличие частицы

"не" :

А l – точка А не принадлежит прямой l; а /|| b - прямые а, b не параллельны.

Краткий словарь терминов

Тождество - отношение между объектами, рассматриваемыми как "одно и то же"; "предельный" случай отношения равенства.

Циклические поверхности - поверхности, образованные движением окружности постоянного или переменного радиуса.

Концентрические сферы - сферы разного радиуса, проведенные из одного центра. Позиционные задачи - задачи, в которых требуется установить взаимное положение

и взаимопринадлежность рассматриваемых геометрических образов.

Метрические задачи - задачи на определение длин линий, размеров, углов, площадей, объемов и др.

4

Образовательный модуль 1

Тема 1. Графическое отображение технических форм

Цель: Изучение способа графической передачи технической информации. Задачи: – Изучить метод образования изображений в технике.

– Овладеть приемами получения обратимых изображений – чертежей.

1.1. Предмет “Инженерная графика”, история возникновения и развития

Окружающий нас мир беспредельно многообразен и безграничен. Известно, что реальность в сознании человека формируется в виде мысленных образов. Этими образами можно оперировать в воображении, преобразуя в новые более сложные или простые, можно воспроизводить образы и их элементы посредством музыки, пластики или с помощью изображений на листе бумаги, холсте, на экране компьютера и т.д.

Изображения, созданные человеком, окружают нас везде: на работе, в быту, на отдыхе, в общественных местах. Если рассматривать их, как материализованные мысленные образы, то они являются превосходным средством общения между людьми. Поэтому овладение человеком технологией создания, распознавания и прикладного использования изображений весьма актуально для развития личности, раскрытия ее потенциала.

Наиболее часто люди используют для передачи информации графические изображения, выполненные на экране дисплея или на бумажном носителе информации.

“Графика” – общий термин, указывающий на визуальное представление, изображение реальности, чаще всего, посредством контурных линий, штрихов, точек без применения красок. Термин “Графика” происходит от греческого слова “grafikos”, которое имеет более древний этимологический корень “gerph”, что означает “гравировать, царапать”. Графика присуща многим сферам деятельности человека. С одной стороны – это художественное творчество (гравюра, литография, станковая графика, иллюстративная графика и т. д.), с другой – техническое творчество (инженерная графика, картография, компьютерная графика и т.д.). Связующими областями знаний, которые основаны на применении графики, являются архитектура, дизайн, техническая эстетика и т.д.

Различные виды графики объединяет общность функциональных процессов, таких, как обязательное абстрагирование рассматриваемых реальных или искусственных про странственных отношений и форм, их самодостраивание в мысленный геометрический образ и его визуализация.

Таким образом, графика - это мультифункциональная система деятельности человека, которая включает:

1.Восприятие пространственных отношений и форм (реальных или искусственных).

2.Абстрагирование и самодостраивание мысленных геометрических образов.

3.Коммуникативную, познавательную визуализацию целостной структуры (гештальт) мысленного образа.

Теоретическим фундаментом графики является геометрия, физиология и психология человека, другие науки.

Наиболее изученной является функция коммуникативной, познавательной визуализации - техника выполнения чертежа, рисунка, гравюры, эскиза и т.д.

На основе гомологии известных видов графики возможна следующая их классификация:

Тема 1

5

1.По принадлежности формируемого мысленного геометрического образа к конкретной сфере деятельности: инженерная графика, картография, иллюстративная графика, презентационная графика, строительная графика, деловая графика и т.д.

2.По степени формализации мысленного геометрического образа: аналоговая (рисунок, фотография и т.д.), аналогово-знаково-символическая, знаково-символическая.

3.По принадлежности к конкретной технологии коммуникативной, познавательной визуализации: станковая графика, гравюра, компьютерная графика, черчение и т.д.

Инженерная графика – комплексная учебная дисциплина, составляющая основу инженерного образования и включающая три основных раздела: “Начертательная геометрия”, “Техническое черчение”, “Компьютерная графика”.

Изучение инженерной графики обеспечивает развитие пространственно-образного инженерного мышления и приобретение знаний, умений и навыков выполнения и чтения технических чертежей и проектной документации.

В разделе “Начертательная геометрия” изучаются способы получения графических моделей пространства и алгоритмы решения пространственных задач.

В разделе “Техническое черчение” изучаются общие правила выполнения и чтения графической информации в соответствии с существующими стандартами.

В разделе “Компьютерная графика” рассматриваются методы автоматизации графических работ.

Появление графических изображений тесно связано с историей человечества. Известны древнейшие изображения – пещерные росписи, выгравированные на камне более 20 000 лет назад в эпоху каменного века. Человек в те времена верил в магию, полагая, что с помощью изображений можно воздействовать на окружающий мир. Считалось, например, что нужно поразить стрелой или копьем нарисованного зверя, чтобы обеспечить успех предстоящей охоты.

Для периода бронзового века (около 4 000 до н.э.) характерно появление орнамента в виде волнистых линий и других геометрических фигур.

Первые графические знаки – клинопись – изобрели жители Месопотамии (нынешний Ирак). Математические клинописные тексты на глиняных пластинках относятся ко 2-му тысячелетию до нашей эры. Преуспели жители Месопотамии и в строительном деле. Гигантский храм бога Мардука в Вавилоне (6 век до н.э.) невозможно было воздвигнуть без достижений в строительной графике (изображений в плане

–сверху). Составной частью храма был зиккурат – четырехугольная в плане и кверху суживающаяся ступенчатая башня. Этот зиккурат относится к одному из семи чудес света.

Для украшения стен строений применялись стилизованные (упрощенные) формы. Древние египтяне для графического общения изобрели свои фигурные знаки – иероглифы, обозначающие целые понятия. Например, движение представлялось парой ног. Упрощенная, скорописная форма иерографической записи

–иератическое письмо.

Стены и колонны зданий Древнего Египта (расцвет в 14 в. до н.э.) были украшены рельефами и росписями, которые легко узнать по своеобразным приемам изображения человека. Каждая часть фигуры представлена в своем повороте так, чтобы ее было видно как можно полнее: ступни ног человека - в профиль, а глаза и плечи - в анфас.

Геометрия и графика с древних времен не могут существовать друг без друга. Аксиомы и теоремы геометрии помогают абстрагировать реальность, а графика искусственно материализует идеалистические образы окружающей действительности. История графики - это также история развития геометрии. Первые руководства по геометрии, дошедшие до нас, - это математические папирусы, созданные египетским жрецом Ахмесом (около 2 000 до н.э.).

Наиболее известны папирус Ринда (Британский музей) и Московский папирус (музей им. Пушкина в Москве), на которых описано решение задач по определению площади треугольника, прямоугольника, трапеции и круга, а также объема параллелепипеда и цилиндра.

Значительные достижения в развитии геометрии и графики относятся к античному периоду (6-16 в. до н.э.).

Фалес Милетский (625-547г.г. до н.э.), предполагается, был основоположником геометрии как науки. Пифагор (570-500г.г. до н. э.) создал первую геометрическую школу, учение о подобии и методы построения многогранников. Аристотель (384-322г.г. до н.э.) ввел описание неопределенного понятия-

Тема 1

6

аксиомы и утверждения-теоремы. Архимед (287-212г.г. до н.э.) развил методы нахождения площадей, поверхностей и объемов различных фигур и тел. Гиппарх (180-125г.г. до н.э.) ввел систему координат для определения положения точки на земной поверхности.

Подведение итогов развития геометрии и ее дедуктивное построение было осуществлено Евклидом. Его главная работа “Начала” содержит положения планиметрии, стереометрии.

Вучении Платона (428-348г.г. до н.э.) описания многогранников играли важную роль. Тетраэдр символизировал огонь, куб-землю, октаэдр-воздух, икосаэдр-воду, а додекаэдр-вселенную.

Вгреческий период Симон из Клеонии ввел черчение в профиль с использованием перспективы. Основываясь на работах Симона, Агафарх написал книгу о своих графических приемах, которая помогла Анаксагору (500-428г.г. до н.э.) и Демокриту (460-370г.г. до н.э.) разработать теорию геометрических построений в перспективе. Новый метод черчения использовался Аполлодором в архитектурных проектах. Многие приемы современной компьютерной графики исходят своими корнями из древнегреческих графических работ.

Вримскую эпоху известен ученый Папп (250г. до н.э.), открывший общую теорему об объеме тел вращения. Значимы достижения римлян в области инженерных сооружений (мосты, дороги, многоэтажные дома и т.д.).

Следующий этап развития геометрии и графики связан с открытием университетов и ростом Европейских городов. В это время графике уделялось значительное внимание в университетском обучении живописи и инженерному делу. В 1450г. изобретено книгопечатание подвижными литерами.

В1516 веках продвижению общественного знания о графических изображениях содействовал Леонардо да Винчи (1452-1519), признанный художник и инженер. В 1525 году он опубликовал книгу о геометрических построениях. Леонардо принадлежит термин “золотое сечение”.

Альбрехт Дюрер (1471-1528), немецкий художник, математик заложил основы ортогонального проектирования, вывел математические правила перспективных построений.

В17 веке французские ученые П.Ферма и Р.Декарт заложили основания аналитической геометрии,

аЖ.Дезарг и Б. Паскаль разработали начала проективной геометрии.

Важнейшей предпосылкой для понимания окружающего нас мира были труды итальянского ученого Г.Галилея (1564-1642), немецкого ученого И.Кеплера (1571-1630) и польского астронома Н.Коперника

(1473-1543).

В1569 г. великий картограф Г.Меркатор опубликовал на 18 листах карту мира, где впервые использована цилиндрическая проекция и чертежи для решения навигационных задач.

Английский математик, художник Б.Тейлор (1685-1731) в 1715 году опубликовал труд “Принципы линейной перспективы”.

Впериод 1754-69г.г. влияние на зарождение начертательной геометрии оказывают работы французского инженера Фрезье, использовавшего ортогональные проекции на взаимноперпендикулярные плоскости.

Недостающее звено к системе графического изображения прибавил французский инженер Г.Монж (1746-1818), когда он комплексно связал на одной плоскости две ортогональные проекции трехмерного тела.

Будучи выдающимся геометром, прекрасным графиком, Г.Монж создал классический труд по начертательной геометрии “Geometriе descriptive”.

С 1795г. начертательная геометрия стала учебной дисциплиной во Франции, а затем в течении 50-ти лет распространилась в следующих странах: Россия - 1811г., США - 1817 г., Испания - 1819 г., Германия - 1828 г., Италия - 1838 г., Бельгия - 1840 г., Швеция - 1842 г., Египет - 1845 г., Норвегия - 1845 г., Британия - 1851 г.

На территории России с древних времен использовались графические изображения в строительном деле, в производстве рукописных и печатных книг и т.д.

В1570 г. разработан “Чертеж” Московской Руси. Картографические и чертежные работы успешно продолжил Семен Ремизов. В 1707 г. выпускается “Чертежная книга городов и земель Сибири”.

Широкое распространение чертежное дело получило при Петре I. Была создана Московская чертежная школа. Издается пособие по черчению “Приемы циркуля и линейки” (1725г.).

Во второй половине 18 века развитие экономики способствовало культурному и техническому подъему страны. Изучение чертежей, проектов, выполненных в этот период, позволяли утверждать, что методы проектирования и техника выполнения графических изображений достигли в России высокого уровня. И.И.Ползуновым (1728-1766) был создан чертеж первой в мире заводской паровой машины. На чертеже паросиловой установки (1763 г.) автор использует разрезы для раскрытия особенностей своего изобретения. Сохранились чертежи моста, выполненные русским изобретателем И.П.Кулибиным (1735-1818).

Искусно владели проекционными методами русские зодчие: В.И.Баженов (1737-1799),

Тема 1

7

А.Н.Воронихин (1760-1814), М.Ф.Казаков (1738-1812). По их проектам созданы памятники классической русской архитектуры: “Дом Пашкова”, Казанский собор, Петровский дворец.

История начертательной геометрии в России неразрывно связана с деятельностью Института корпуса инженеров путей сообщения, основанного в Петербурге в 1809 г. Первым профессором начертательной геометрии был французский инженер К.Потье. Институт подготовил достаточно много квалифицированных преподавателей, из которых, прежде всего, отмечен Яков Александрович Севастьянов (1796-1846). В 1821 г. Севастьянов Я.А. издает первый русский учебник “Основания начертательной геометрии”.

В1855 г. выходят в свет труды профессора Института корпуса инженеров путей сообщения А.Х.Редера, посвященные методу проекций с числовыми отметками и аксонометрическим проекциям.

Значительное влияние на развитие методов преподавания начертательной геометрии в России оказали профессора Н.И.Макаров (1824-1904) и В.И.Курдюмов (1853-1904). Читая лекции, В.И.Курдюмов указывал, что “если чертеж является языком техники, одинаково понятным всем народам, то начертательная геометрия служит грамматикой этого языка, так как она учит нас правильно читать чужие

иизлагать наши собственные мысли, пользуясь в качестве слов только линиями и точками, как элементами всякого изображения”.

Втрудах академика Е.С.Федорова “Новая геометрия, как основа черчения” (1907г.), “Простое и

точное изображение точек – пространства четырех измерений на плоскости посредством векторов” (1909г.) показаны возможности использования проектированных свойств фигур в кристаллографии и разработаны методы плоских изображений четырехмерных систем.

Профессор А.К.Власов (1868-1922) положил начало применению проективной геометрии к теории аксонометрии и номографии.

Ученик Курдюмова, профессор Н.А.Рынин (1877-1942), успешно находил приложения графических построений к решению инженерных задач в строительном деле, авиации, механике, кораблестроении, киноперспективе.

Профессор Н.И.Мерцалов (1866-1948) – основоположник теории пространственных механизмов – использовал метод проекций для исследования пространственных зубчатых зацеплений.

Теорию перспективы и теорию теней в приложении к архитектурно-строительному проектированию разработал профессор А.И.Добряков (1865-1947).

Профессор Московского университета Н.А.Глаголев (1888-1945) написал первый курс начертательной геометрии целиком на проективной основе. В 1924 г. он сделал теоретическое обоснование основной теоремы по аксонометрии. Проективные методы Н.А.Глаголев использовал при построении номограмм, которые применяются в различных областях техники.

Совершенствованию преподавания начертательной геометрии в вузах способствовала научная и методическая работа профессора Н.Ф.Четверухина (1881-1974) и его учеников. Известны работы Четверухина в теории позиционной и метрической полноты изображений, в разработке параметрических методов построения проекционных чертежей.

Деятельность профессора И.И.Котова (1909-1976) была направлена на создание алгоритмов и геометрических моделей процессов конструирования, включая модели каркасных поверхностей, задачи воспроизведения поверхностей и их изображений с помощью ЭВМ.

Тема 1

8

1.2.Объекты отображения

иосновное содержание графической информации

Все предметы пространства, окружающие человека, характеризуются такими общими признаками, как форма, цвет, размеры, положение. Каждый предмет можно представить в виде множества точек, каждая из которых не имеет величины, но занимает в пространстве определенное место. Зафиксировать точку, т.е. определить ее положение в пространстве можно, например, с помощью системы координат х, у, z.

Точка - простейшая из фигур, у которой нет величины, нет формы, а есть положение, она является 0-мерным объектом.

Линия - траектория движущейся точки, имеет длину, форму (прямая, кривая) и положение относительно выбранной системы координат. Линия - 1-мерный объект отображения (имеет длину).

Более сложными являются объекты отображения в виде плоских и объемных фигур. Так, у плоской фигуры графическая информация содержит характеристику формы - прямоугольная, круглая или иная; два основных размера - длину и ширину и положение относительно выбранной системы координат. Поэтому плоская фигура - 2-мерный объект отображения. Объемная фигура (тело) имеет три измерения - длину, ширину, высоту - 3-мерный объект пространства.

Т.о. рассмотрены четыре разновидности объектов пространства (рис. 1.1 - 1.4): точка, линии, плоские и объемные фигуры, посредством графического отображения которых передается информация о форме, размерах (кроме точки) и о положении относительно выбранной системы координат.

1.3.Метод проекций. Аппарат проецирования

Воснову построения изображений объекта пространства на плоскости положен метод проекций. Проецирование - это построение изображения объекта на плоскости (рис. 1.5) при помощи проецирующих лучей, исходящих из одной точки (центра).

Тема 1

9