Начертательная геометрия
.pdf
9.22. Провести прямую, параллельную прямым а, b, c и равноудаленную от них.
b2
a2
c2
xП2 П1
c1
a1
b1
d - искомая прямая - ось цилиндра, образующими которого являются прямые a, b, c.
9.23. Определить расстояние от точки А до плоскости (В,С,D).
C2 
A2
B2
D2
x |
П2 |
|
|
П1 |
B1 |
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
D1
C1
Тема 9
110
9.24. Построить проекции линии пересечения поверхности с плоскостью ( АВС).
|
B2 |
|
A2 |
|
C2 |
x |
П2 |
П1 |
|
|
A1 |
|
B1 |
|
C1 |
9.25. Построить точку, равноудаленную от трех данных точек и отстоящую от плоскости этих точек на 20 мм.
B2
A2 |
C2 |
xП2 П1
A1
C1
B1
Тема 9
111
9.26. Через биссектрису угла А треугольника АВС провести плоскость Г, перпендикулярную плоскости ( АВС).
B2
A2
C2
xП2
П1 A1
C1
B1
9.27. Определить натуральную величину сечения пирамиды SABC плоскостью (D, EF).
Тема 9
112
9.28. Вращением вокруг оси i совместить точку А: |
|
|
а) с поверхностью сферы; |
|
б) с плоскостью ( ВСD). |
|
|
C2 |
A2 |
A2 |
|
|
i2 |
|
|
|
|
|
|
D2 |
i2 |
|
B2 |
x |
x |
|
|
A1 |
D1 |
|
|
|
i1 |
|
|
|
|
i1 |
A1 |
|
B1 |
|
|
|
|
|
C1 |
9.29. Определить натуральную величину двугранного угла между плоскостями Г ( АВС) и ( АСD) способом плоскопараллельного перемещения.
B2
C2
D2
A2
x
B1 D1
C1
A1
Тема 9
113
Тест (Тема 9)
9.1. На какой плоскости проекций (а, б, в) можно определить истинную величину двугранного угла между плоскостями АВС и
ABD?
а) П4 АС, П4 П2 б) П4 АВ, П4 П1 в) П4 АВ, П4 П2
9.2. Как проводится (а, б, в, г) новая ось проекций при определении угла наклона плоскости АВС) к плоскости П2?
а) х1 А2В2
б) х1 В2С2 в) х1 В2С2
г) х1 А1В1
9.3. На каком чертеже (а, б, в) определена натуральная величина отрезка АВ вращением вокруг оси i ?
а) |
б) |
в) |
9.4. На каком чертеже (а, б, в) можно определить натуральную величину АВС плоскопараллельным перемещением относительно горизонтальной плоскости проекций?
а) |
б) |
в) |
Тема 9
114
Образовательный модуль 6
Тема 10. Развертки поверхностей
Цель: Построение разверток различных изделий.
Задачи: – Познакомиться с основными свойствами разверток.
– Изучить способы построения разверток различных поверхностей. Многие технические конструкции изготовлены из гнутого листового материала. Это
обшивка самолетов и судов; всевозможные резервуары и трубопроводы в нефтехимической и газовой промышленности; бункеры; стружко- и пылеуловители в машиностроении; изделия швейной и кожевенной промышленности.
Заготовки этих изделий представляют собой их развертки. Развертка - это фигура,
полученная при совмещении развертывающейся поверхности с плоскостью. Развертывающимися поверхностями называют такие, которые можно
совместить с плоскостью без складок и разрывов. Это пирамидальные,
призматические, конические и цилиндрические поверхности. При построении разверток многогранных поверхностей получаются точные развертки. Для цилиндрических и конических поверхностей строятся приближенные развертки, т.к. они в процессе построения развертки заменяются (аппроксимируются) вписанными или описанными многогранными поверхностями.
Хотя все остальные поверхности теоретически не развертываются на плоскость, но инженерная практика, тем не менее, требует построения их "разверток". Для этих поверхностей строятся так называемые условные развертки.
10.1. Основные свойства разверток поверхностей
Каждой точке (фигуре) на поверхности соответствует точка (фигура) на развертке и наоборот (рис.10.1), на основании этого можно сформулировать следующие свойства:
–длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой (замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковую площадь);
–угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке;
–прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке;
–параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке.
B
l
m
B0
l0
m0
|
|
|
|
C |
A |
C0 |
|
|
|
F |
|
F0 |
A0 |
|
Ф |
|
|
|||
|
|
Ф0 |
|
||
|
|
|
|
|
Рис. 10.1
Тема 10
115
10.2. Способ треугольников (триангуляции)
Сущность способа треугольников состоит в определении натуральных величин сторон треугольников, на которые разбивается развертываемая поверхность.
Способ триангуляции целесообразно применять для построения разверток пирамидальных поверхностей, которые уже состоят из треугольников, или для конических поверхностей, которые приближенно заменяются (аппроксимируются) пирамидальными.
Рассмотрим алгоритм построения развертки поверхности, изображенной на рис. 10.2:
–коническая поверхность аппроксимируется пирамидальной, каждая грань - треугольник (количество граней определяет точность построения приближенной развертки);
–находится натуральная величина сторон треугольников;
–на плоскости строятся последовательно по трем сторонам треугольники в натуральную величину (рационально при построении использовать циркуль).
Рис. 10.2
Заданная коническая поверхность аппроксимирована трехгранной пирамидальной S1234. Натуральная величина образующих S2, S3, S4 определена вращением вокруг оси i (S i П1). Истинная величина образующей S1 и ломаной 1234 определена согласно условия задачи: S1 П2; 12, 23, 34 П1.
Построение развертки:
Проводится прямая, на которой откладывается Н.В. [S1] = |S212|, из точки 1 циркулем
Тема 10
116
чертится дуга радиуса, равного Н.В. [12] = |1121|, а из точки S - радиуса, равного Н.В. [S2] = |S2'22'|. Дуги пересекаются в точке 2. 1 2 S = S12, к которому аналогично пристраивается S23, затем S34. Точки 1, 2, 3, 4 соединяются плавной кривой, так как задана коническая поверхность.
Вывод: Построена приближенная развертка конической поверхности.
10.3. Способ нормального сечения
Сущность способа заключается в определении натуральных величин звеньев ломаной линии, получаемой при рассечении заданной поверхности плоскостью, перпендикулярной ребрам (нормальное сечение).
Способ нормального сечения целесообразно применять для построения разверток призматических или, аппроксимированных призматическими, цилиндрических поверхностей.
Алгоритм построения развертки поверхности (рис.10.3, а, б):
–призма пересекается плоскостью Г, перпендикулярной ее боковым ребрам;
–определяется натуральная величина сторон ломаной линии, по которой плоскость Г пересекает поверхность призмы;
–ломаная линия развертывается в отрезок прямой;
–на перпендикулярах, проведенных к этой прямой в точках, соответствующих вершинам ломаной, откладываются натуральные величины соответствующих частей ребер призмы;
–концы ребер последовательно соединяются отрезками прямых.
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
D2 |
E2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
[1F] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
.[A1] |
|
|
32= 3'2 |
2' |
1' |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
A2 |
B |
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
1 |
|
|
F1 |
' |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
С1 |
|
' |
|
|
|
E1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
31 =31 |
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
2 |
|
2' |
|
D1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
H.B. 123 |
|
|
|
Рис. 10.3, а |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 10 |
|
|
|
|
|
|
117 |
|
|
|
|
Натуральная величина 123 определена вращением вокруг оси, перпендикулярной плоскости П2 (на чертеже ось не указана).
Построение развертки: Чертится прямая линия, на
которой откладываются Н.В.
сторон 123: 12 = [11'21'], 23 =
[2 '3 '], 31 = [3 '1 ']. Через точки 1, |
|||
1 |
1 |
1 |
1 |
2, 3, 1 проводятся перпендикуляры, на которых откладываются Н.В. частей ребер призмы. Например, вверх от точки 1 откладывается Н.В. [1F]
= |12F2|, а вниз - Н.В. [1A] =
|12A2| и т.д. Полученные точки
A, B, C, A и F, D, E, F соединя-
ются ломаными линиями соответственно.
Вывод: Построена точная развертка призматической поверхности.
Рис. 10.3, б |
10.4. Способ вспомогательных цилиндрических поверхностей
Сущность способа заключается в аппроксимации одной из равных частей неразвертываемой поверхности цилиндрической поверхностью, касающейся заданной поверхности по меридиану, и выполнении приближенной развертки частей поверхности, совокупность которых принимается за условную развертку данной поверхности.
Этот способ применяется для построения условных разверток неразвертывающихся поверхностей вращения (рис.4.2-4.7).
|
|
|
0 |
|
3' |
|
|
2' K |
3 |
||
|
F |
2 |
Ф |
1' |
|
||
|
E 1 |
|
|
|
|
0' |
|
Ф' |
|
|
|
|
|
Рис. 10.4 |
|
Рассмотрим алгоритм построения условной развертки поверхности сферы (рис.10.4-10.5):
-поверхность сферы Ф разрезается на шесть равных частей Ф' (чем больше частей, тем точнее построения) с помощью меридиан 010', 01'0', ...;
-каждая часть Ф' заменяется фронтальнопроецирующей цилиндрической поверхностью, касающейся сферы по среднему меридиану 0Е0' (этот меридиан является одновременно нормальным
Тема 10
118
сечением цилиндрической поверхности, который аппроксимируется ломаной линией 0КFE...0');
- строится приближенная развертка этой цилиндрической поверхности (на вертикальной прямой от точки 0 откладываются шесть равных отрезков
0К = КF = FE = ... , причем |0К| =
[02К2], |КF| = [К2F2], ... , через точки К, F, E, ... проводятся горизонтальные прямые длиной |К3| = |К3'| = [К131], |F2| = |F2'| = [F121], |E1| = |E1'| = [E111], ... ,
полученные точки 1 2 3 0 3' 2' 1' ...0'... 1 плавной кривой);
- к полученной развертке одной части сферы причерчиваются пять, равных ей.
Вывод: Построена условная развертка сферической поверхности.
Рис. 10.5
Тема 10
119